Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 8 Fórmulas de transformación – Ejercicio 8.2 | Serie 1

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Pregunta 1. Exprese cada uno de los siguientes como el producto de senos y cosenos:

(i) sen 12θ + sen 4θ

Solución:

Sabemos, sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2

sen 12θ + sen 4θ = 2 sen (12θ + 4θ)/2 coseno (12θ – 4θ)/2

= 2 sen 16θ/2 cos 8θ/2

= 2 sen 8θ cos 4θ

(ii) sen 5 θ – sen θ

Solución:

Sabemos, sen A – sen B = 2 cos (A+B)/2 sen (A–B)/2

sen 5θ – sen θ = 2 cos (5θ + θ)/2 sen (5θ – θ)/2

= 2 cos 6θ/2 sen 4θ/2

= 2 cos 3θ sen 2θ

(iii) cos 12θ + cos 8θ

Solución:

Sabemos, cos A + cos B = 2 cos (A+B)/2 cos (A–B)/2

coseno 12θ + coseno 8θ = 2 coseno (12θ + 8θ)/2 coseno (12θ – 8θ)/2

= 2 cos 20θ/2 cos 4θ/2

= 2 cos 10θ cos 2θ

(iv) cos 12θ – cos 4θ

Solución:

Sabemos, cos A – cos B = –2 sen (A+B)/2 sen (A–B)/2

cos 12θ – cos 4θ = –2 sen (12θ + 4θ)/2 sen (12θ – 4θ)/2

= –2 sen 16θ/2 sen 8θ/2

= –2 sen 8θ sen 4θ

(v) sen 2θ + cos 4θ

Solución:

sen 2θ + cos 4θ = sen 2θ + sen (90 o – 4θ)

Sabemos, sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2

sen 2θ + sen (90 o – 4θ) = 2 sen (2x + 90 o – 4θ)/2 cos (2θ – 90 o + 4θ)/2

= 2 sen (90 ° – 2θ)/2 coseno (6θ – 90 ° )/2

= 2 sen (45 o – θ) cos (3θ – 45 o )

= 2 sen (45 o – θ) cos [–(45 o – 3θ)]

= 2 sen (45 o – θ) cos (45 o – 3θ)

= 2 sen (π/4 – θ) cos (π/4 – 3θ)

Pregunta 2. Demuestra que:

(i) sen 38° + sen 22° = sen 82°

Solución:

Dado, LHS = sen 38° + sen 22°.

Sabemos, sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2

sen 38° + sen 22° = 2 sen (38 o + 22 o )/2 cos (38 o – 22 o )/2

= 2 sen 60 o /2 cos 16 o /2

= 2 sen 30 o cos 8 o

= 2 × (1/2) × cos 8 o

= cos 8 o

= coseno (90° – 82°)

= sen 82°

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii) cos 100° + cos 20° = cos 40°

Solución:

Dado, LHS = cos 100° + cos 20°.

Sabemos, cos A + cos B = 2 cos (A+B)/2 cos (A–B)/2

cos 100° + cos 20° = 2 cos (100 o + 20 o )/2 cos (100 o – 20 o )/2

= 2 cos 120 o /2 cos 80 o /2

= 2 cos 60 o cos 40 o

= 2 × (1/2) × cos 40 o

= cos 40 o

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(iii) sen 50° + sen 10° = cos 20°

Solución:

Dado, LHS = sen 50° + sen 10°.

Sabemos que sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2.

sen 50° + sen 10° = 2 sen (50 o + 10 o )/2 cos (50 o – 10 o )/2

= 2 sen 60 o /2 cos 40 o /2

= 2 sen 30 o cos 20 o

= 2 × (1/2) × cos 20 o

= cos 20 o

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(iv) sen 23° + sen 37° = cos 7°

Solución:

Dado LHS = sen 23° + sen 37°.

Sabemos que sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2

sen 23° + sen 37° = 2 sen (23 o + 37 o )/2 cos (23 o – 37 o )/2

= 2 sen 60 o /2 coseno (–14 o /2)

= 2 sen 30 o cos (–7 o )

= 2 × (1/2) × cos 7 o

= cos 7 o

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(v) sen 105° + cos 105° = cos 45°

Solución:

Dado, LHS = sin 105° + cos 105°

sen 105° + cos 105° = sen 105 o + sen (90 o – 105 o )

= sen 105 o + sen (–15 o )

= sen 105 o – sen 15 o

Sabemos, sen A – sen B = 2 cos (A+B)/2 sen (A–B)/2

sen 105 o – sen 15 o = 2 cos (105 o + 15 o )/2 sen (105 o – 15 o )/2

= 2 cos 120 o /2 sen 90 o /2

= 2 cos 60 o sen 45 o

= 2 × (1/2) × (1/√2)

= 1/√2

= cos 45 o

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(vi) sen 40° + sen 20° = cos 10°

Solución:

Dado, LHS = sen 40° + sen 20°.

Sabemos, sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2

sen 40° + sen 20° = 2 sen (40 o + 20 o )/2 cos (40 o – 20 o )/2

= 2 sen 60 o /2 cos 20 o /2

= 2 sen 30 o cos 10 o

= 2 × (1/2) × cos 10 o

= cos 10 o

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

Pregunta 3. Demuestra que:

(i) cos 55° + cos 65° + cos 175° = 0

Solución:

Dado, LHS = cos 55° + cos 65° + cos 175°.

Sabemos, cos A + cos B = 2 cos (A+B)/2 cos (A–B)/2

cos 55° + cos 65° + cos 175° = 2 cos (55 o + 65 o )/2 cos (55 o – 65 o ) + cos (180 o – 5 o )

= 2 cos 120 o /2 cos (–10o)/2 – cos 5 o

= 2 cos 60° cos (–5°) – cos 5°

= 2 × (1/2) × cos 5 o – cos 5 o

= cos 5 o – cos 5 o

= 0

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(ii) sen 50° – sen 70° + sen 10° = 0

Solución:

Dado, LHS = sen 50° – sen 70° + sen 10°.

Sabemos, sen A – sen B = 2 cos (A+B)/2 sen (A–B)/2

sen 50° – sen 70° + sen 10° = 2 cos (50 o + 70 o )/2 sen (50 o – 70 o ) + sen 10 o

= 2 cos 120 o /2 sen (–20 o )/2 + sen 10 o

= 2 cos 60 o (–sen 10 o ) + sen 10 o

= 2 × (1/2) × (–sen 10 o ) + sen 10 o

= 0

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(iii) cos 80° + cos 40° – cos 20° = 0

Solución:

Dado LHS = cos 80° + cos 40° – cos 20°.

Sabemos, cos A + cos B = 2 cos (A+B)/2 cos (A–B)/2

cos 80° + cos 40° – cos 20° = 2 cos (80 o + 40 o )/2 cos (80 o – 40 o ) – cos 20 o

= 2 cos 120 o /2 cos 40 o /2 – cos 20 o

= 2 cos 60° cos 20 o – cos 20°

= 2 × (1/2) × cos 20 o – cos 20 o

= 0

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(iv) cos 20° + cos 100° + cos 140° = 0

Solución:

Dado, LHS = cos 20° + cos 100° + cos 140°.

Sabemos, cos A + cos B = 2 cos (A+B)/2 cos (A–B)/2.

cos 20° + cos 100° + cos 140° = 2 cos (20 o + 100 o )/2 cos (20 o – 100 o ) + cos (80 o – 40 o )

= 2 cos 120 o /2 cos (–80 o )/2 – cos 40 o

= 2 cos 60° cos (–40°) – cos 40°

= 2 × (1/2) × cos 40 o – cos 40 o

= 0

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(v) sen 5π/18 – cos 4π/9 = √3 sen π/9

Solución:

Dado, LHS = sin 5π/18 – cos 4π/9

= sen 5π/18 – sen (π/2 – 4π/9)

= sen 5π/18 – sen (9π – 8π)/18

= sen 5π/18 – sen π/18

Sabemos, sen A – sen B = 2 cos (A+B)/2 sen (A– B)/2

= 2 coseno (6π/36) sen (4π/36)

= 2 cos π/6 sen π/9

= 2 cos 30 o sen π/9

= 2 × (√3/2) × sen π/9

= √3 sen π/9

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(vi) cos π/12 – sen π/12 = 1/√2

Solución:

Dado, cos π/12 – sen π/12 = sen (π/2 – π/12) – sen π/12

= sen (6π – 5π)/12 – sen π/12

= sen 5π/12 – sen π/12

Sabemos, sen A – sen B = 2 cos (A+B)/2 sen (A–B)/2

= 2 coseno (6π/24) sen (4π/24)

= 2 cos π/4 sen π/6

= 2 cos 45 o sen 30 o

= 2 × (1/√2) × (1/2)

= 1/√2

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

(vii) sen 80° – cos 70° = cos 50°

Solución:

Tenemos, sen 80° = cos 50° + cos 70 o

Aquí, RHS = cos 50° + cos 70 o

Sabemos,

cos A + cos B = 2 cos (A+B)/2 cos (A–B)/2

cos 50° + cos 70 o = 2 cos (50 o + 70 o )/2 cos (50 o – 70 o )/2

= 2 cos 120 o /2 cos (–20 o )/2

= 2 cos 60 o cos (–10 o )

= 2 × (1/2) × cos 10 o

= cos 10 o

= coseno (90° – 80°)

= sen 80°

= LHS

Por lo tanto Probado.

(viii) sen 51° + cos 81° = cos 21°

Solución:

Dado, LHS = sen 51° + cos 81°

= sen 51 o + sen (90 o – 81 o )

= sen 51 o + sen 9 o

Sabemos, sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2

sen 51 o + sen 9 o = 2 sen (51 o + 9 o )/2 cos (51 o – 9 o )/2

= 2 sen 60 o /2 cos 42 o /2

= 2 sen 30 o cos 21 o

= 2 × (1/2) × cos 21 o

= cos 21 o

= lado derecho

Por lo tanto Probado.

Pregunta 4. Demuestra que:

(i) cos (3π/4 + x) – cos (3π/4 – x) = –√2 sen x

Solución:

Dado, LHS = cos (3π/4 + x) – cos (3π/4 – x)

Sabemos, cos A – cos B = –2 sen (A+B)/2 sen (A–B)/2

cos (3π/4 + x) – cos (3π/4 – x) = –2 sen (3π/4 + x + 3π/4 – x)/2 sen (3π/4 + x – 3π/4 + x) /2

= –2 sen (6π/4)/2 sen 2x/2

= –2 sen 6π/8 sen x

= –2 sen 3π/4 sen x

= –2 sen (π – π/4) sen x

= –2 sen π/4 sen x

= –2 × (1/√2) × sen x

= –√2 sen x

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii) cos (π/4 + x) + cos (π/4 – x) = √2 cos x

Solución:

Dado, LHS = cos (π/4 + x) + cos (π/4 – x)

Sabemos, cos A + cos B = 2 cos (A+B)/2 cos (A–B)/2

coseno (π/4 + x) + coseno (π/4 – x) = 2 coseno (π/4 + x + π/4 – x)/2 coseno (π/4 + x – π/4 + x)/ 2

= 2 porque (2π/4)/2 porque 2x/2

= 2 cos 2π/8 cos x

= 2 sen π/4 cos x

= 2 × (1/√2) × cos x

= √2 cos x

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 5. Demuestre que:

(i) sen 65 o + cos 65 o = √2 cos 20 o

Solución:

Dado LHS = sen 65 o + cos 65 o

= sen 65 o + sen (90 o – 65 o )

= sen 65 o + sen 25 o

Sabemos, sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2

sen 65 o + sen 25 o = 2 sen (65 o + 25 o )/2 cos (65 o – 25 o )/2

= 2 sen 90 o /2 cos 40 o /2

= 2 sen 45 o cos 20 o

= 2 × (1/√2) × cos 20 o

= √2 cos 20 o

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii) sen 47 o + cos 77 o = cos 17 o

Solución:

Dado, LHS = sen 47 o + cos 77 o

= sen 47 o + sen (90 o – 77 o )

= sen 47 o + sen 13 o

Sabemos, sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2

sen 47 o + sen 13 o = 2 sen (47 o + 13 o )/2 cos (47 o – 13 o )/2

= 2 sen 60 o /2 cos 34 o /2

= 2 sen 30 o cos 17 o

= 2 × (1/2) × cos 17 o

= cos 17 o

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 6. Demuestra que:

(i) cos 3A + cos 5A + cos 7A + cos 15A = 4 cos 4A cos 5A cos 6A

Solución:

Dado, LHS = cos 3A + cos 5A + cos 7A + cos 15A

= (cos 5A + cos 3A) + (cos 15A + cos 7A)

Sabemos, cos A + cos B = 2 cos (A+B)/2 cos (A–B)/2

= (cos 5A + cos 3A) + (cos 15A + cos 7A)

= [2 cos (5A+3A)/2 cos (5A–3A)/2] + [2 cos (15A+7A)/2 cos (15A–7A)/2]

= [2 cos 8A/2 cos 2A/2] + [2 cos 22A/2 cos 8A/2]

= [2 cos 4A cos A] + [2 cos 11A cos 4A]

= 2 cos 4A (cos 11A + cos A)

= 2 cos 4A [2 cos (11A+A)/2 cos (11A-A)/2]

= 2 cos 4A [2 cos 12A/2 cos 10A/2]

= 2 cos 4A [2 cos 6A cos 5A]

= 4 cos 4A cos 5A cos 6A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii) cos A + cos 3A + cos 5A + cos 7A = 4 cos A cos 2A cos 4A

Solución:

Dado LHS = cos A + cos 3A + cos 5A + cos 7A

= (cos 3A + cos A) + (cos 7A + cos 5A)

Sabemos, cos A + cos B = 2 cos (A+B)/2 cos (A–B)/2

= (cos 3A + cos A) + (cos 7A + cos 5A)

= [2 cos (3A+A)/2 cos (3A–A)/2] + [2 cos (7A+5A)/2 cos (7A–5A)/2]

= [2 cos 4A/2 cos 2A/2] + [2 cos 12A/2 cos 2A/2]

= [2 cos 2A cos A] + [2 cos 6A cos A]

= 2 cos A (cos 6A + cos 2A)

= 2 cos A [2 cos (6A+2A)/2 cos (6A–2A)/2]

= 2 cos A [2 cos 8A/2 cos 4A/2]

= 2 cos A [2 cos 4A cos 2A]

= 4 cos A cos 2A cos 4A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(iii) sen A + sen 2A + sen 4A + sen 5A = 4 cos A/2 cos 3A/2 sen 3A

Solución:

Dado, LHS = sen A + sen 2A + sen 4A + sen 5A

= (sen 2A + sen A) + (sen 5A + sen 4A)

Sabemos, sen A + sen B = 2 sen (A+B)/2 cos (A–B)/2

= (sen 2A + sen A) + (sen 5A + sen 4A)

= [2 sen (2A+A)/2 cos (2A–A)/2] + [2 sen (5A+4A)/2 cos (5A–4A)/2]

= [2 sen 3A/2 cos A/2] + [2 sen 9A/2 cos A/2]

= 2 cos A/2 (sen 9A/2 + sen 3A/2)

= 2 cos A/2 [2 sen (9A/2 + 3A/2)/2 cos (9A/2 – 3A/2)/2]

= 2 cos A/2 [2 sen ((9A+3A)/2)/2 cos ((9A–3A)/2)/2]

= 2 cos A/2 [2 sen 12A/4 cos 6A/4]

= 2 cos A/2 [2 sen 3A cos 3A/2]

= 4 cos A/2 cos 3A/2 sen 3A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(iv) sen 3A + sen 2A – sen A = 4 sen A cos A/2 cos 3A/2

Solución:

Dado, LHS = sen 3A + sen 2A – sen A

= (sen 3A – sen A) + sen 2A

Sabemos, sen A – sen B = 2 cos (A+B)/2 sen (A–B)/2

= (sen 3A – sen A) + sen 2A

= 2 coseno (3A + A)/2 sen (3A – A)/2 + sen 2A

= 2 cos 4A/2 sen 2A/2 + sen 2A

= 2 cos 2A sen A + 2 sen A cos A

= 2 sen A (cos 2A + cos A)

= 2 sen A [2 cos (2A+A)/2 cos (2A-A)/2]

= 2 sen A [2 cos 3A/2 cos A/2]

= 4 sen A cos A/2 cos 3A/2

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(v) cos 20 o cos 100 o + cos 100 o cos 140 o – cos 140 o cos 200 o = – 3/4

Solución:

Dado LHS = cos 20 o cos 100 o + cos 100 o cos 140 o – cos 140 o cos 200 o

= 1/2 [2 cos 100 o cos 20 o + 2 cos 140 o cos 100 o – 2 cos 200 o cos 140 o ]

Sabemos que, 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A–B)

= 1/2 [cos (100 o + 20 o ) + cos (100 o – 20 o ) + cos (140 o + 100 o ) + cos (140 o – 100 o ) – cos (200 o + 140 o ) – porque (200 o – 140 o )]]

= 1/2 [cos 120 o + cos 80 o + cos 240 o + cos 40 o – cos 340 o – cos 60 o ]

= 1/2 [cos (90 o + 30 o ) + cos 80 o + cos (180 o + 60 o ) + cos 40 o – cos (360 o – 20 o ) – cos 60 o ]

= 1/2 [–sen 30 o + cos 80 o – cos 60 o + cos 40 o – cos 20 o – cos 60 o ]

= 1/2 [–sen 30 o + cos 80 o + cos 40 o – cos 20 o – 2 cos 60 o ]

= 1/2 [–sen 30 o + 2 cos (80 o +40 o )/2 cos (80 o –40 o )/2 – cos 20 o – 2 × 1/2]

= 1/2 [–sen 30 o + 2 cos 120 o /2 cos 40 o /2 – cos 20 o – 1]

= 1/2 [–sen 30 o + 2 cos 60 o cos 20 o – cos 20 o – 1]

= 1/2 [–1/2 + 2×(1/2)×cos 20 o – cos 20 o – 1]

= 1/2 [–1/2 + cos 20 o – cos 20 o – 1]

= 1/2 [–1/2 –1]

= 1/2 [–3/2]

= –3/4

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(vi) sen x/2 sen 7x/2 + sen 3x/2 sen 11x/2 = sen 2x sen 5x

Solución:

Dado LHS = sen x/2 sen 7x/2 + sen 3x/2 sen 11x/2

= 1/2 [2 sen 7x/2 sen x/2 + 2 sen 11x/2 sen 3x/2]

Sabemos, 2 sen A sen B = cos (A–B) – cos (A+B)

= 1/2 [cos (7x/2 – x/2) – cos (7x/2 + x/2) + cos (11x/2 – 3x/2) – cos (11x/2 + 3x/2)]

= 1/2 [cos (7x–x)/2 – cos (7x+x)/2 + cos (11x–3x)/2 – cos (11x+3x)/2]

= 1/2 [cos 6x/2 – cos 8x/2 + cos 8x/2 – cos 14x/2]

= 1/2 [cos 3x – cos 7x]

= –1/2 [cos 7x – cos 3x]

= –1/2 [–2 sen (7x+3x)/2 sen (7x–3x)/2]

= –1/2 [–2 sen 10x/2 sen 4x/2]

= –1/2 [–2 sen 5x sen 2x]

= –2/–2 sen 5x sen 2x

= sen 2x sen 5x

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(vii) cos x cos x/2 – cos 3x cos 9x/2 = sen 4x sen 7x/2

Solución:

Dado LHS = cos x cos x/2 – cos 3x cos 9x/2

= 1/2 [2 cos x cos x/2 – 2 cos 9x/2 cos 3x]

Sabemos, 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A–B)

= 1/2 [cos (x + x/2) + cos (x – x/2) – cos (9x/2 + 3x) – cos (9x/2 – 3x)]

= 1/2 [cos (2x+x)/2 + cos (2x–x)/2 – cos (9x+6x)/2 – cos (9x–6x)/2]

= 1/2 [cos 3x/2 + cos x/2 – cos 15x/2 – cos 3x/2]

= 1/2 [cos x/2 – cos 15x/2]

= – 1/2 [cos 15x/2 – cos x/2]

= – 1/2 [–2 sen (15x/2 + x/2)/2 sen (15x/2 – x/2)/2]

= -1/2 [–2 sen (16x/2)/2 sen (14x/2)/2]

= -1/2 [–2 sen 16x/4 sen 7x/2]

= – 1/2 [–2 sen 4x sen 7x/2]

= –2/–2 [sen 4x sin 7x/2]

= sen 4x sen 7x/2

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 7. Demuestra que:

(i) \frac{\sin A + \sin 3A}{\cos A - \cos 3A} = \cot A

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\sin A + \sin 3A}{\cos A - \cos 3A}

= \frac{2\sin \left( \frac{A + 3A}{2} \right) \cos \left( \frac{A - 3A}{2} \right)}{2\sin \left( \frac{A + 3A}{2} \right) \sin \left( \frac{3A - A}{2} \right)}

= \frac{\sin 2A \cos \left( - A \right)}{\sin 2A \sin A}

= \frac{\sin 2A \cos A}{\sin 2A \sin A}

= cuna A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii) \frac{\sin 9A - \sin 7A}{\cos 7A - \cos 9A} = \cot 8A

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\sin 9A - \sin 7A}{\cos 7A - \cos 9A}

= \frac{2\sin \left( \frac{9A - 7A}{2} \right) \cos \left( \frac{9A + 7A}{2} \right)}{2\sin \left( \frac{7A + 9A}{2} \right) \sin \left( \frac{9A - 7A}{2} \right)}

= \frac{\sin A \cos 8A}{\sin 8A \sin A}

= cuna 8A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(iii)\frac{sinA-sinB}{cosA+cosB}=tan\frac{A-B}{2}

Solución:

Tenemos,

IZQ =\frac{sinA-sinB}{cosA+cosB}

=\frac{2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}}{2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}

=\frac{sin\frac{A-B}{2}}{cos\frac{A-B}{2}}

=tan\frac{A-B}{2}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(iv)\frac{sinA+sinB}{sinA-sinB}=tan(\frac{A+B}{2})cot(\frac{A-B}{2})

Solución:

Tenemos,

IZQ =\frac{sinA+sinB}{sinA-sinB}

=\frac{2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}}

=\frac{sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}}

=tan(\frac{A+B}{2})cot(\frac{A-B}{2})

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(iv)\frac{cosA+cosB}{cosB-cosA}=cot(\frac{A+B}{2})cot(\frac{A-B}{2})

Solución:

Tenemos,

IZQ =\frac{cosA+cosB}{cosB-cosA}

=\frac{2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{B-A}{2}}

=\frac{cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}}

=cot(\frac{A+B}{2})cot(\frac{A-B}{2})

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 8. Demuestre que:

(i) \frac{\sin A + \sin 3A + \sin 5A}{\cos A + \cos 3A + \cos 5A} = \tan 3A

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\sin A + \sin 3A + \sin 5A}{\cos A + \cos 3A + \cos 5A}

= \frac{\sin A + \sin 5A + \sin 3A}{\cos A + \cos 5A + \cos 3A}

= \frac{2\sin \left( \frac{A + 5A}{2} \right) \cos \left( \frac{A - 5A}{2} \right) + \sin 3A}{2\cos \left( \frac{A + 5A}{2} \right) \cos \left( \frac{A - 5A}{2} \right) + \cos 3A}

= \frac{2 \sin 3A \cos \left( - 2A \right) + \sin 3A}{2\cos 3A \cos \left( - 2A \right) + \cos 3A}

= \frac{2\sin 3A \cos 2A + \sin 3A}{2\cos 3A \cos 2A + \cos 3A}

= \frac{\sin 3A \left[ 2\cos 2A + 1 \right]}{\cos 3A \left[ 2\cos 2A + 1 \right]}

= bronceado 3A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii)\frac{cos3A+2cos5A+cos7A}{cosA+2cos3A+cos5A}=\frac{cos5A}{cos3A}

Solución:

Tenemos,

IZQ =\frac{cos3A+2cos5A+cos7A}{cosA+2cos3A+cos5A}

=\frac{2cos\frac{10A}{2}cos\frac{4A}{2}+2cos5A}{cos\frac{6A}{2}cos\frac{4A}{2}+2cos3A}

=\frac{2cos5Acos2A+2cos5A}{2cos3Acos2A+2cos3A}

=\frac{2cos5A(cos2A+1)}{2cos3A(cos2A+1)}

=\frac{cos5A}{cos3A}

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(iii) \frac{\cos 4A + \cos 3A + \cos 2A}{\sin 4A + \sin 3A + \sin 2A} = \cot 3A

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\cos 4A + \cos 3A + \cos 2A}{\sin 4A + \sin 3A + \sin 2A}

= \frac{\cos 4A + \cos 2A + \cos 3A}{\sin 4A + \sin 2A + \sin 3A}

= \frac{2\cos \left( \frac{4A + 2A}{2} \right) \cos \left( \frac{4A - 2A}{2} \right) + \cos 3A}{2\sin \left( \frac{4A + 2A}{2} \right) \cos \left( \frac{4A - 2A}{2} \right) + \sin 3A}

= \frac{2\cos 3A \cos A + \cos 3A}{2\sin 3A \cos A + \sin 3A}

= \frac{\cos 3A\left[ 2\cos A + 1 \right]}{\sin 3A\left[ 2\cos A + 1 \right]}

= cuna 3A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(iv) \frac{\sin 3A + \sin 5A + \sin 7A + \sin 9A}{\cos 3A + \cos 5A + \cos 7A + \cos 9A} = \tan 6A

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\sin 3A + \sin 5A + \sin 7A + \sin 9A}{\cos 3A + \cos 5A + \cos 7A + \cos 9A}

= \frac{\sin 3A + \sin 9A + \sin 5A + \sin 7A}{\cos 3A + \cos 9A + \cos 5A + \sin 7A}

= \frac{2\sin \left( \frac{3A + 9A}{2} \right) \cos \left( \frac{3A - 9A}{2} \right) + 2\sin \left( \frac{5A + 7A}{2} \right) \cos \left( \frac{5A - 7A}{2} \right)}{2\cos \left( \frac{3A + 9A}{2} \right) \cos \left( \frac{3A - 9A}{2} \right) + 2\cos \left( \frac{5A + 7A}{2} \right) \cos \left( \frac{5A - 7A}{2} \right)}

= \frac{2\sin 6A \cos \left( - 3A \right) + 2\sin 6A \cos \left( - A \right)}{2\cos 6A \cos \left( - 3A \right) + 2\cos 6A \cos \left( - A \right)}

= \frac{2\sin 6A \cos 3A + 2\sin 6A \cos A}{2\cos 6A \cos 3A + 2\cos 6A \cos A}

= \frac{2\sin 6A\left[ \cos 3A + \cos A \right]}{2\cos 6A\left[ \cos 3A + \cos A \right]}

= bronceado 6A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(v) \frac{\sin 5A - \sin 7A + \sin 8A - \sin 4A}{\cos 4A + \cos 7A - \cos 5A - \cos 8A} = \cot 6A

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\sin 5A - \sin 7A + \sin 8A - \sin 4A}{\cos 4A + \cos 7A - \cos 5A - \cos 8A}

= \frac{\sin 5A - \sin 7A + \sin 8A - \sin 4A}{\cos 4A - \cos 8A + \cos 7A - \sin 5A}

= \frac{2\sin \left( \frac{5A - 7A}{2} \right) \cos \left( \frac{5A + 7A}{2} \right) + 2\sin \left( \frac{8A - 4A}{2} \right) \cos \left( \frac{8A + 4A}{2} \right)}{- 2\sin \left( \frac{4A + 8A}{2} \right) \sin \left( \frac{4A - 8A}{2} \right) - 2\sin \left( \frac{7A + 5A}{2} \right) \sin \left( \frac{7A - 5A}{2} \right)}

= \frac{2\sin \left( - A \right) \cos 6A + 2\sin 2A \cos 6A}{- 2\sin 6A \sin \left( - 2A \right) - 2\sin 6A \sin A}

= \frac{- 2\sin A \cos 6A + 2\sin 2A cos 6A}{2\sin 6A \sin 2A - 2\sin 6A \sin A}

= \frac{2\cos 6A\left[ \sin 2A - \sin A \right]}{2\sin 6A\left[ \sin 2A - \sin A \right]}

= cuna 6A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(vi) \frac{\sin 5A \cos 2A - \sin 6A \cos A}{\sin A \sin 2A - \cos 2A \cos 3A} = \tan A

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\sin 5A \cos 2A - \sin 6A \cos A}{\sin A \sin 2A - \cos 2A \cos 3A}

Multiplicando numerador y denominador por 2, obtenemos

= \frac{2\sin 5A \cos 2A - 2\sin 6A \cos A}{2\sin A \sin 2A - 2\cos 2A \cos 3A}

= \frac{\sin \left( 5A + 2A \right) + \sin \left( 5A - 2A \right) - \sin \left( 6A + A \right) - \sin \left( 6A - A \right)}{\cos \left( A - 2A \right) + \cos \left( A + 2A \right) - \cos \left( 2A + 3A \right) - \cos \left( 2A - 3A \right)}

= \frac{\sin 7A + \sin 3A - \sin 7A - \sin 5A}{\cos \left( - A \right) + \cos 3A - \cos 5A - \cos \left( - A \right)}

= \frac{\sin 7A + \sin 3A - \sin 7A - \sin 5A}{\cos A + \cos 3A - \cos 5A - cos A}

= \frac{\sin 3A - \sin 5A}{\cos 3A - \cos 5A}

= \frac{2\sin \left( \frac{3A - 5A}{2} \right) \cos \left( \frac{3A + 5A}{2} \right)}{- 2\cos \left( \frac{3A + 5A}{2} \right) \cos\left( \frac{3A - 5A}{2} \right)}

= \frac{\sin \left( - A \right) \cos 4A}{- \cos 4A \cos \left( - A \right)}

= \frac{- \sin A \cos 4A}{- \cos 4A\cos A}

= \frac{\sin A}{\cos A}

= bronceado A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(vii)\frac{sin11AsinA+sin7Asin3A}{cos11AsinA+cos7Asin3A}=tan8A

Solución:

Tenemos,

IZQ =\frac{sin11AsinA+sin7Asin3A}{cos11AsinA+cos7Asin3A}

=\frac{cos10A-cos12A+cos4A-cos10A}{sin12A-sin10A+sin10A-sin4A}

=\frac{cos4A-cos12A}{sin12A-sin4A}

=\frac{2sin\frac{16A}{2}sin\frac{8A}{2}}{2cos\frac{16A}{2}sin\frac{8A}{2}}

=\frac{2sin8Asin4A}{2cos8Asin4A}

= bronceado 8A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(viii) \frac{\sin 3A \cos 4A - \sin A \cos 2A}{\sin 4A \sin A + \cos 6A \cos A} = \tan 2A

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\sin 3A \cos 4A - \sin A \cos 2A}{\sin 4A sin A + \cos 6A \cos A}

Al multiplicar el numerador y el denominador por 2, obtenemos

= \frac{2\sin 3A \cos 4A - 2\sin A \cos 2A}{2\sin 4A \sin A + 2\cos 6A \cos A}

= \frac{\sin \left( 3A + 4A \right) + \sin \left( 3A - 4A \right) - \sin \left( A + 2A \right) - \sin \left( A - 2A \right)}{\cos \left( 4A - A \right) - \cos \left( 4A + A \right) + \cos \left( 6A + A \right) + \cos \left( 6A - A \right)}

= \frac{\sin 7A + \sin \left( - A \right) - \sin 3A - \sin \left( - A \right)}{\cos 3A - \cos 5A + \cos 7A + \cos 5A}

= \frac{\sin 7A - \sin A - \sin 3A + \sin A}{\cos 3A - \cos 5A + \cos 7A + \cos 5A}

= \frac{\sin 7A - \sin 3A}{\cos 3A + \cos 7A}

= \frac{2\sin \left( \frac{7A - 3A}{2} \right) \cos \left( \frac{7A + 3A}{2} \right)}{2\cos \left( \frac{3A + 7A}{2} \right) \cos \left( \frac{3A - 7A}{2} \right)}

= \frac{\sin 2A \cos 5A}{\cos 5A \cos \left( - 2A \right)}

= \frac{\sin 2A \cos 5A}{\cos 5A \cos 2A}

= bronceado 2A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ix) \frac{\sin A \sin 2A + \sin 3A \sin 6A}{\sin A \cos 2A + \sin 3A \cos 6A} = \tan 5A

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\sin A \sin 2A + \sin 3A \sin 6A}{\sin A \cos 2A + \sin 3A \cos 6A}

Al multiplicar el numerador y el denominador por 2, obtenemos

= \frac{2\sin A \sin 2A + 2\sin 3A \sin 6A}{2\sin A \cos 2A + 2\sin 3A \cos 6A}

= \frac{\cos \left( A - 2A \right) - \cos \left( A + 2A \right) + \cos \left( 3A - 6A \right) - \cos \left( 3A + 6A \right)}{\sin \left( A + 2A \right) + \sin \left( A - 2A \right) + \sin \left( 3A + 6A \right) + \sin \left( 3A - 6A \right)}

= \frac{\cos\left( - A \right) - \cos 3A + \cos \left( - 3A \right) - \cos 9A}{\sin 3A \sin\left( - A \right) + \sin 9A + \sin \left( - 3A \right)}

= \frac{\cos A - \cos 3A + \cos 3A - \cos 9A}{\sin 3A - \sin A + \sin 9A - \sin 3A}

= \frac{\cos A - \cos 9A}{\sin 9A - \sin A}

= \frac{- 2\sin \left( \frac{A + 9A}{2} \right) \sin \left( \frac{A - 9A}{2} \right)}{2\cos \left( \frac{A + 9A}{2} \right) \sin \left( \frac{9A - A}{2} \right)}

= \frac{\sin5A\cos4A}{\sin 5A \cos \left( - 4A \right)}

= bronceado 5A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(X) \frac{\sin A + 2 \sin 3A + \sin 5A}{\sin 3A + 2 \sin 5A + \sin 7A} = \frac{\sin 3A}{\sin 5A}

Solución:

Tenemos,

IZQ = \frac{\sin A + 2 \sin 3A + \sin 5A}{\sin 3A + 2 \sin 5A + \sin 7A}

= \frac{\sin 5A \sin A + 2\sin 3A}{\sin 7A \sin 3A + 2\sin 5A }

= \frac{2\sin \left( \frac{5A +A}{2} \right) \cos \left( \frac{5A - A}{2}\right) + 2\sin \left(3A \right)}{2\sin \left(\frac{ 7A + 3A}{2} \right) \cos \left(\frac{7A - 3A}{2} \right) + 2\sin \left( 5A \right) }

= \frac{2\sin3A\cos2A+2\sin3A}{2\sin5A\cos2A + 2\sin5A}

= \frac{2\sin3A(\cos2A +1)}{2\sin5A(\cos2A +1)}

= sen3A/sen5A

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(xi)\frac{sin(θ+Ø)-2sinθ+sin(θ-Ø)}{cos(θ+Ø)-2cosθ+cos(θ-Ø)}=tanθ

Solución:

Tenemos,

IZQ =\frac{sin(θ+Ø)-2sinθ+sin(θ-Ø)}{cos(θ+Ø)-2cosθ+cos(θ-Ø)}

=\frac{sin(θ+Ø)+sin(θ-Ø)-2sinθ}{cos(θ+Ø)+cos(θ-Ø)-2cosθ}

=\frac{2sin\frac{(θ+Ø+θ-Ø)}{2}cos\frac{(θ+Ø-θ+Ø)}{2}-2sinθ}{2cos\frac{(θ+Ø+θ-Ø)}{2}cos\frac{(θ+Ø-θ+Ø)}{2}-2cosθ}

=\frac{2sin\frac{2θ}{2}cos\frac{2Ø}{2}-2sinθ}{2cos\frac{2θ}{2}cos\frac{2Ø}{2}-2cosθ}

=\frac{2sinθcosØ-2sinθ}{2cosθcosØ-2cosθ}

=\frac{2sinθ(cosØ-1)}{2cosθ(cosØ-1)}

=\frac{sinθ}{cosθ}

= bronceado θ

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 9. Demostrar que:

(i) sen α + sen β + sen γ – sen (α + β + γ) = 4 sen (α + β)/2 sen (β + γ)/2 sen (α + γ)/2

Solución:

Tenemos,

LHS = sen α + sen β + sen γ – sen (α + β + γ)

=2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}+2cos(\frac{γ+α+β+γ}{2})sin(\frac{γ-α-β-γ}{2})

=2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}+2cos(\frac{α+β+2γ}{2})sin(\frac{-(α+β)}{2})

=2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}-2cos(\frac{α+β+2γ}{2})sin(\frac{α+β}{2})

=2sin\frac{α+β}{2}(cos\frac{α-β}{2}-cos\frac{α+β+2γ}{2})

=2sin\frac{α+β}{2}(-2sin\frac{\frac{α-β+α+β+2γ}{2}}{2}sin\frac{\frac{α-β-α-β-2γ}{2}}{2})

=2sin\frac{α+β}{2}(2sin\frac{α+γ}{2}sin\frac{β+γ}{2})

= 4 sen (α + β)/2 sen (β + γ)/2 sen (α + γ)/2

= lado derecho

Por lo tanto probado.

(ii) cos (A + B + C) + cos (A – B + C) + cos (A + B – C) + cos (–A + B + C) = 4 cos A cos B cos C

Solución:

Tenemos,

LHS = coseno (A + B + C) + coseno (A – B + C) + coseno (A + B – C) + coseno (–A + B + C)

=2cos\frac{A+B+C+A-B+C}{2}cos\frac{A+B+C-A+B-C}{2}+2cos\frac{A+B-C-A+B+C}{2}cos\frac{A+B-C+A-B-C}{2}

=2cos\frac{2A+2C}{2}cos\frac{2B}{2}+2cos\frac{2B}{2}cos\frac{2A-2C}{2}

= 2 coseno (A + C) coseno B + 2 coseno B coseno (A − C)

= 2 cos B [cos (A + C) + cos (A − C)]

= 2 cos B\left[2cos\frac{A+C+A-C}{2}cos\frac{A+C-A+C}{2}\right]

= 2 cos B [2 cos A cos C]

= 4 cos A cos B cos C

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 10. Si cos A + cos B = 1/2 y sen A + sen B = 1/4, prueba que tan\frac{A+B}{2}=\frac{1}{2} .

Solución:

Tenemos,

cos A + cos B = 1/2

sen A + sen B = 1/4

=>\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}

=>\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}=\frac{1}{2}

=>\frac{2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}{2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}=\frac{1}{2}

=>\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}=\frac{1}{2}

=>tan\frac{A+B}{2}=\frac{1}{2}

Por lo tanto probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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