Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Razones trigonométricas de ángulos múltiples y submúltiplos – Ejercicio 9.1 | conjunto 2

Posted on by Rudeus Greyrat

Acreditar las siguientes identidades: 

Pregunta 16. cos 2 (π/4 – x) – sen 2 (π/4 – x) = sen 2x

Solución:

Resolvamos LHS,

= cos 2 (π/4 – x) – sen 2 (π/4 – x)

Como sabemos que,

cos 2 A – sen 2 A = cos 2 A

Asi que,

= cos 2 (π/4 – x) sen 2 (π/4 – x)

= cos 2 (π/4 – x)

= coseno (π/2 – 2x)

= sen 2x [Como sabemos que, cos (π/2 – A) = sen A]

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 17. cos 4x = 1 – 8 cos 2 x + 8 cos 4 x

Solución:

Resolvamos LHS,

= cos 4x

Como sabemos que,

cos 2x = 2 cos 2 x – 1

Asi que,

cos 4x = 2 cos 2 2x – 1

= 2(2 cos 2 2x – 1) 2 – 1 

= 2[(2 cos 2 2x) 2 + 1 2 – 2 × 2 cos 2 x] – 1

= 2(4 cos 4 2x + 1 – 4 cos 2 x) – 1

= 8 cos 4 2x + 2 – 8 cos 2 x – 1

= 8 cos 4 2x + 1 – 8 cos 2 x

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 18. sen 4x = 4 sen x cos 3 x – 4 cos x sen 3 x

Solución:

Resolvamos LHS,

= sen 4x

Como sabemos que,

sen 2x = 2 sen x cos x

cos 2x = cos 2 x – sen 2 x

Asi que,

sen 4x = 2 sen 2x cos 2x

= 2 (2 sen x cos x) (cos 2 x – sen 2 x)

= 4 sen x cos x (cos 2 x – sen 2 x)

= 4 sen x cos 3 x – 4 sen 3 x cos x

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 19. 3(sen x – cos x) 4 + 6 (sen x + cos x) 2 + 4 (sen 6 x + cos 6 x) = 13

Solución:

Resolvamos LHS,

= 3(sen x – cos x) 4 + 6 (sen x + cos x) 2 + 4 (sen 6 x + cos 6 x) 

Como sabemos que,

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab

(a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 + b 2 – ab)

Asi que,

= 3{(senx – cosx) 2 } 2 + 6 {(senx) 2 + (cosx) 2 + 2 senx cosx} + 4 {(senx 2 x) 3 + (cos 2 x) 3 }

= 3{(senx) 2 + (cosx) 2 – 2 senx cosx} 2 + 6(sen 2 x + cos 2 x + 2 senx cosx) + 4{(sen 2 x + cos 2 x)(sen 4 x + cos 4 x – sen 2 x cos 2 x)}

= 3(1 – 2 senx cosx) 2 + 6(1 + 2 senx cosx) + 4{(1)(sen 4 x + cos 4 x – seno 2 x cos 2 x)}

Ya que, 

sen 2 x + cos 2 x = 1

Asi que,

= 3{1 2 + (2 senx cosx) 2 – 4 senx cosx} + 6(1 + 2 senx cosx) + 4{(senx 2 x) 2 + (cos 2 x) 2 + 2 sen 2 x cos 2 x – 3 sen 2 x cos 2 x}

= 3{1 + 4 sen 2 x cos 2 x – 4 senx cosx} + 6(1 + 2 senx cosx) + 4{(sen 2 x + cos 2 x) 2 – 3 sen 2 x cos 2 x}

= 3 + 12 sen 2 x cos 2 x – 12 senx cosx + 6 + 12 senx cosx + 4{(1) 2 – 3 sen 2 x cos 2 x}

= 9 + 12 sen 2 x cos 2 x + 4(1 – 3 sen 2 x cos 2 x)

= 9 + 12 sen 2 x cos 2 x + 4 – 12 sen 2 x cos 2 x

= 13

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 20. 2(sen 6 x + cos 6 x) – 3(sen 4 x + cos 4 x) + 1 = 0

Solución:

Resolvamos LHS,

= 2(sen 6 x + cos 6 x) – 3(sen 4 x + cos 4 x) + 1 

Como sabemos que,

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 – ab) 

Asi que,

 = 2(sen 6 x + cos 6 x) – 3(sen 4 x + cos 4 x) + 1 

= 2{(sen 2 x) 3 + (cos 2 x) 3 } – 3{(sen 2 x) 2 + (cos 2 x) 2 } + 1

= 2((sen 2 x + cos 2 x)(sen 4 x + cos 4 x – sen 2 x cos 2 x) – 3{(sen 2 x) 2 + (cos 2 x) 2 + 2 sen 2 x cos 2 x – 2 sen 2 x cos 2 x} + 1

= 2{(1)(sen 4 x + cos 4 x + 2 sen 2 x cos 2 x – 3 sen 2 x cos 2 x) – 3((sen 2 x + cos 2 x) 2 – 2 sen 2 x cos 2 x) + 1

Ya que

sen 2 x + cos 2 x = 1

Asi que, 

= 2{(sen 2 x + cos 2 x) 2 – 3 sen 2 x cos 2 x} – 3{(1) 2 – 2 sen 2 x cos 2 x} + 1

= 2{(1) 2 – 3 sen 2 x cos 2 x} – 3(1 – 2 sen 2 x cos 2 x) + 1

= 2(1 – 3 sen 2 x cos 2 x) – 3 + 6 sen 2 x cos 2 x + 1

= 2 – 6 sen 2 x cos 2 x – 2 + 6 sen 2 x cos 2 x

= 0 

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 21. cos 6 x – sen 6 x = cos 2x (1 – 1/4 sen 2 2x)

Solución:

Resolvamos LHS,

= cos 6 x – sen 6 x

Como sabemos que,

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + b 2 + ab)

Asi que,

cos 6 x – sen 6 x = (cos 2 x) 3 – (sen 2 x) 3

 = (cos 2 x – sen 2 x) (cos 4 x + sen 4 x + cos 2 x sen 2 x)

Como sabemos que,

cos 2x = cos 2 x – sen 2 x

Asi que,

= cos 2x [(cos 2 x) 2 + (sen 2 x) 2 + 2 cos 2 x sen 2 x – cos 2 x sen 2 x]

= cos 2x [(cos 2 x) 2 + (sen 2 x) 2 – 1/4 × 4 cos 2 x sen 2 x]

Como sabemos que,

sen 2 x + cos 2 x = 1

Asi que,

= cos2x [(1) 2 – 1/4 × (2 cosx senx) 2 ]

Como sabemos que,

sen2x = 2 senx cosx

Asi que,

= cos 2x [1 – 1/4 × (sen 2x) 2 ]

= cos 2x [1 – 1/4 × sen 2 2x]

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 22. tan (π/4 + x) + tan (π/4 – x) = 2 seg2x

Solución:

Resolvamos LHS,

= bronceado (π/4 + x) + bronceado (π/4 – x)

Como sabemos que,

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B) 

Asi que, 

= \frac{tan(\frac{π}{4})+tanx}{1-tan(\frac{π}{4})tanx}+\frac{tan(\frac{π}{4})-tanx}{1+tan(\frac{π}{4})tanx}

Ya que, tan π/4 = 1

Asi que,

= \frac{1+tanx}{1-tanx}+\frac{1-tanx}{1+tanx}

= \frac{(1+tanx)^2+(1-tanx)^2}{(1-tanx)(1+tanx)}

Usando fórmulas, obtenemos

(a – b)(a + b) = a 2 – b 2

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab & (a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab

Asi que,

= \frac{1^2+tan^2x+2tanx+1^2+tan^2x-2tanx}{1^2-tan^2x}

= \frac{1+tan^2x+1+tan^2x}{1-tan^2x}

= \frac{2(1+tan^2x)}{1-tan^2x}

Como sabemos que,

tan x = sen x/cos x

Asi que,

= \frac{2(1+(sinx/cosx)^2)}{1-(sinx/cosx)^2}

= \frac{2(1+sin^2x/cos^2x)}{1-sin^2x/cos^2x}

= \frac{2(\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x})}{\frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x}}

Usando las fórmulas, obtenemos

cos 2 x + sen 2 x = 1 & cos 2x = cos 2 x – sen 2 x

Asi que,

= \frac{2(\frac{1}{cos^2x})}{\frac{cos2x}{cos^2x}}

= 2/cos2x

= 2 seg2x

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 23. cot 2 x – tan 2 x = 4cot2x cosec2x

Solución:

Resolvamos LHS,

= cuna 2 x – bronceado 2 x

= cos 2 x/sen 2 x – sen 2 x/cos 2 x

= [(cos 2 x) 2 – (sen 2 x) 2 ] / sen 2 x cos 2 x

= [(cos 2 x + sen 2 x)(cos 2 x – sen 2 x)] / sen 2 x cos 2 x

= (1 × cos2x) / sen 2 x cos 2 x

= 4cos2x / 4sen 2 xcos 2 x

= 4(cos2x) / (sen2x) 2

= 4(cos2x) / (sen2x) × 1 / (sen2x)

= 4 cot2x cosex2x 

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 24. cos4x – cos4α = 8(cosx – cosα)(cosx + cosα)(cosx – sinα)(cosx + sinα)

Solución:

Resolvamos RHS,

= 8(cosx – cosα)(cosx + cosα)(cosx – sinα)(cosx + sinα)

= 8(cos 2 x – cos 2 α)(cos 2 x – sen 2 α)

= 8(cos 4 x – cos 2 x × sen 2 α – cos 2 α × cos 2 x + cos 2 α × sen 2 α)

= 8{cos 4 x – cos 2 x (sen 2 α + cos 2 α) + cos 2 α × sen 2 α}

= 8{cos 4 x – cos 2 x + cos 2 α × (1 – cos 2 α)}

= 8{cos 4 x – cos 2 x + cos 2 α – cos 4 α)}

= 8{cos 2 x (cos 2 x – 1) + cos 2 α × (1 – cos 2 α)}

= 8{1/2 cos 2 x (2 cos 2 x – 1 – 1) – 1/2 cos 2 α (2 cos 2 α – 1 -1)}

= 8{1/2 cos 2 x (cos2x – 1) – 1/2 cos 2 α (cos 2 α – 1)}

= 8[1/4 {2cos 2 x (cos2x – 1) – 2cos 2 x (cos2α – 1)}]

= 8[1/4 {(1 + cos2x)(cos2x – 1) – (1 + cos2α)(cos2α – 1)}]

= 8[1/4 { cos 2 2x – 1 – cos 2 2α + 1}]

= 8[1/8 {2cos 2 2x – 2cos 2 2α}]

= [{(1 + cos4x) – (1 + cos4α)}]

= [1 + cos4x – 1 – cos4α]

= cos4x – cos4α 

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 25. sen3x + sen2x – senx = 4 senx cos(x/2) cos(3x/2)

Solución:

Resolvamos LHS,

= sen3x + sen2x – senx

= sin3x + 2sin(2x – x)/2 cos(2x + x)/2

= sen3x + 2sen(x/2) cos(3x/2)

= 2sen(3x/2) cos(3x/2) + 2sen(3x/2) cos(x/2)

= 2 cos(3x/2)[sen(3x/2) cos(x/2)]

= 2 cos(3x/2)[2sen(3x/2+x/2)/2 cos(3x/2 – x/2)/2]

= 2 cos(3x/2)[2senx cos(x/2)]

= 4 senx cos(x/2) cos(3x/2)

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 26.  tan82\frac{1}{2}° = (√3 + √2)(√2 + 1) = √2 + √3 + √4 + √6

Solución:

Resolvamos LHS,

tan(82,5)° = tan(90 – 7,5)° = cot(7,5)° = 1/ tan(7,5)°

Tenemos,

tan(x/2) = senx/(1 + cosx)

Ahora al poner x = 15°, obtenemos

tan(15/2) = sen15°/(1 + cos15°)

= sen(45-30)°/{1 + coseno(45-30)°}

 = (sen45°cos30° – sen30°cos45°) / (1 + cos45° sen30°)

= \frac{(\frac{1}{√2})(\frac{√3}{2})-(\frac{1}{2})(\frac{1}{√2})}{1+(\frac{1}{√2})(\frac{√3}{2})+(\frac{1}{√2})(\frac{1}{2})}

= \frac{\frac{√3}{2√2}-\frac{1}{2√2}}{1+\frac{√3}{2√3}+\frac{1}{2√2}}

= \frac{√3-1}{2√2+√3+1}

Ahora,

tan(82.5)° = 1/tan(7.5)°

 = (2√2 + √3 + 1)/(√3 – 1)

= (2√2 + √3 + 1)/(√3 – 1) × (√3 + 1)/(√3 + 1)

= [√3 + 1(2√2 + √3 + 1)] / [(√3) 2 – 1 2 ]

= (2√6 + 3 + √3 + 2√2 + √3 + 1) / (3 – 1)

= (2√6 + 2√3 + 2√2 + 4) / (2)

= √6 + √3 + √2 + 2

= √2 + √3 + √4 + √6 …..(yo)

= √6 + √3 + 2 + √2

= √3(√2 + 1) + √2(√2 + 1)

= (√3 + √2)(√2 + 1) …..(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos 

tan(82.5)° = (√3 + √2)(√2 + 1) = √2 + √3 + √4 + √6

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 27.  cot22\frac{1}{2}° = √2 + 1

Solución:

Como sabemos que, π/8 =  22\frac{1}{2}° = 45°

Sea A = 22\frac{1}{2}°

Usando la identidad cot2A = (cot 2 A – 1)/2cotA, obtenemos

cuna45° = {cot 2 ( 22\frac{1}{2})° – 1} / 2cot( 22\frac{1}{2}°)°

⇒ 1 = {cot 2 ( 22\frac{1}{2})° – 1} / 2cot( 22\frac{1}{2})°

⇒ 2cot( 22\frac{1}{2})° – cuna 2 ( 22\frac{1}{2})° + 1 = 0

⇒ cuna 2 ( 22\frac{1}{2})° – 2 cuna ( 22\frac{1}{2})° – 1 = 0

⇒ { cuna 2 ( 22\frac{1}{2}) – 2 cuna ( 22\frac{1}{2})° + 1} – 2 = 0

⇒ { cuna( 22\frac{1}{2})° – 1} 2 = 2

⇒ cuna( 22\frac{1}{2})° – 1 = √2

⇒ cuna( 22\frac{1}{2})° = √2 + 1

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 28 (i). Si cosx = (-3/5) y x está en el tercer cuadrante, encuentra los valores de cos(x/2), sen(x/2), sen2x.

Solución:

Dado que, 

cos x = (-3/5)

⇒ cosx = cos 2 (x/2) – sen 2 (x/2)

⇒ -3/5 = 2 cos 2 (x/2) – 1

⇒ 1 – 3/5 = 2 cos 2 (x/2)

⇒ 2/5 = 2 cos 2 (x/2)

⇒ 1/5 = cos 2 (x/2)

⇒ cos(x/2) = ± √(1/5)

Además, dado que x se encuentra en el tercer cuadrante, entonces x/2 se encuentra en el segundo cuadrante.

cos(x/2) = – √(1/5)

 Otra vez,

cosx = cos 2 (x/2) – sen 2 (x/2)

⇒ -3/5 = (- √(1/5)) 2 – sen 2 (x/2)

⇒ – 3/5 = 1/5 – sen 2 (x/2)

⇒ -1/5 -3/5 = -sen 2 (x/2)

⇒ 4/5 = sen 2 (x/2)

⇒ sen(x/2) = ± 2/√5

Está dado que x está en el 3er cuadrante, entonces x/2 está en el 2do cuadrante.

sen(x/2) = 2/√5

Ahora,

senx = √(1 – cos 2 x)

= √(1 – (-3/5)) 2

= √(1 – 9/25)

= ± 4/5

Se da x llies en el 3er cuadrante, por lo que senx es negativo.

senx = – 4/5

sen2x = 2 senx cosx

= 2 (-4/5) (-3/5)

= 24/25

Por lo tanto, el valor de cos(x/2) = – √(1/5), sin(x/2) = 2/√5 y sin2x = 24/25.

Pregunta 28 (ii). Si cosx = (-3/5) y x está en el 3er cuadrante, encuentra los valores de sin2x y sin(x/2).

Solución:

Dado que, 

 cos x = (-3/5)

 senx = \sqrt{1-cos^2x}=\sqrt{1-(-3/5)^2}

⇒ senx = ± 4/5

Aquí, x se encuentra en el segundo cuadrante

Entonces, senx = 4/5

Como sabemos que, 

sen2x = 2 senx cosx

sen2x = 2 × 4/5 × (-3/5) = (-24/25)

Ahora,

cosx = 1 – 2 sen 2 (x/2)

⇒ 2sen2(x/2) = 1 – (-3/5) = 8/5

⇒ senx2(x/2) = 4/5

⇒ sen(x/2) = ± 2/√5

Como x está en el segundo cuadrante,

x/2 se encuentra en el primer cuadrante

Entonces, sin(x/2) = 2/√5

Por tanto, el valor de sin2x = (-24/25) y sin(x/2) = 2/√5

Pregunta 29. Si senx = √5/3 y x está en el 2.º cuadrante, encuentra los valores de cos(x/2), sen(x/2) y tan(x/2).

Solución:

Dado que, senx = √5/3

Como sabemos que senx = P/H 

Entonces, P = √5, H = 3 y B = 2

Ahora, cosx = B/H = -2/3

Asi que, 

cos(x/2) = √{(1 + cosx)/2} = √{(1 – 2/3)/2} = 1/√6

sin(x/2) = √{(1 – cosx)/2} = √{(1 + 2/3)/2} = √(5/6)

tan(x/2) = sin(x/2)/cos(x/2) = {√(5/6)} / (1/√6) = √5

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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