Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Razones trigonométricas de ángulos múltiples y submúltiplos – Ejercicio 9.1

Pregunta 30(i). Si 0 ≤ x≤ π y x se encuentra en el segundo cuadrante tal que senx = 1/4, encuentre los valores de cos(x/2), sen(x/2) y tan(x/2).

Solución:

Dado que,

senx = 1/4

Como sabemos, senx = √(1 – cos ² x)

Asi que,

⇒ (1/4) ² = (1 – porque ² x)

⇒ (1/16) – 1 = – porque ² x

cos x = ± √15/4

Se da que x está en el segundo cuadrante, por lo que cosx es negativo.

cos x = – √15/4

Ahora,

Como sabemos que, cosx = 2 cos ² (x/2) – 1

Asi que,

⇒ – √15/4 = 2cos ² (x/2) – 1

⇒ cos ² (x/2) = – √15/8 + 1/2

cos(x/2) = ± (4-√15)/8

Se da que x está en el segundo cuadrante, por lo que cos(x/2) es positivo.

cos(x/2) = (4 – √15)/8

Otra vez,

cosx = cos ² (x/2) – sen ² (x/2)

⇒ – √15/4 = {(4 – √15)/8} ² – sen ² (x/2)

⇒ sen ² (x/2) = (4 + √15)/8

⇒ sin(x/2) = ± √{(4 + √15)/8} = √{(4 + √15)/8}

Ahora,

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

= $\frac{\sqrt{\frac{4+√15}{8}}}{\sqrt{\frac{4-√15}{8}}}$

= $\frac{\sqrt{4+√15}}{\sqrt{4-√15}}$

= $\sqrt{\frac{(4+√15)(4+√15)}{(4-√15)(4+√15)}}$

= $\frac{4+√15}{4^2-(√15)^2}$

= $\frac{4+√15}{16-15}$

= 4 + √15

Por lo tanto, el valor de cos(x/2) = (4 – √15)/8, sin(x/2) = √{(4 + √15)/8}, y tan(x/2) = 4 + √15 .

Pregunta 30(ii). Si cosx = 4/5 yx es aguda, encuentre tan2x.

Solución:

Dado que,

cos x = 4/5

Como sabemos, senx = √(1 – cos ² x)

Asi que,

= √(1 – (4/5) ² )

= √(1 – 16/25)

= √{(25 – 16)/25}

= √(9/25)

= 3/5

Como tanx = senx/cosx, entonces

= (3/5) / (4/5)

= 3/4

Como sabemos que,

tan2x = 2tanx / (1 – tan ^2x )

= 2(3/4) / {1 – (3/4) ² }

= 2(3/4) / (1 – 9/16)

= (3/2) / (7/16)

= 24/7

Por lo tanto, el valor de tan2x es 24/7

Pregunta 30(iii). Si senx = 4/5 y 0 < x < π/2, encuentre el valor de sen4x.

Solución:

Dado que,

senx = 4/5

Como sabemos, senx = √(1 – cos ² x)

Asi que,

⇒ (4/5) ² = 1 – porque ² x

⇒ 16/25 – 1 = -cos ² x

⇒ 9/25 = cos ² x

⇒cosx = ±3/5

Se da que, x está en el 1er cuadrante

Entonces, cos x = 3/5

Ahora,

sen4x = 2 sen2x cos2x

= 2 (2 senx cosx)(1 – 2sen ² x)

= 2(2 × 4/5 × 3/5)(1 – 2(4/5) ² )

= 2(24/25)(1-32/25)

= 2(24/25)((25-32)/25)

= 2(24/25)(-7/25)

= -336/625

Por lo tanto, el valor de sen4x es (- 336/625)

Pregunta 31. Si tanx = b/a, encuentra el valor de $\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}$

Solución:

Tenemos que encontrar el valor de $\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}$

Asi que,

= $\sqrt{\frac{1+\frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}}}+\sqrt{\frac{1-\frac{b}{a}}{1+\frac{b}{a}}}$

Se da que tanx = b/a, entonces

= $\sqrt{\frac{1+tanx}{1-tanx}}+\sqrt{\frac{1-tanx}{1+tanx}}$

= $\sqrt{\frac{1+\frac{sinx}{cosx}}{1-\frac{sinx}{cosx}}}+\sqrt{\frac{1-\frac{sinx}{cosx}}{1+\frac{sinx}{cosx}}}$

= $\sqrt{\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx}}+\sqrt{\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}}$

= $\frac{cosx+sinx+cosx-sinx}{\sqrt{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}}$

= $\frac{2cosx}{\sqrt{cos^2x-sin^2x}}$

= $\frac{2cosx}{\sqrt{cos2x}}$

Por lo tanto, el valor de $\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}$ es $\frac{2cosx}{\sqrt{cos2x}}$

Pregunta 32. Si tanA = 1/7 y tanB = 1/3, demuestre que cos2A = sen4B

Solución:

Dado que, tanA = 1/7 y tanB = 1/3

Mostrar: cos2A = sen4B

Como sabemos, tan2B = 2tanB / (1 – tan ² B)

= (2 × 1/3)(1 – 1/9) = 3/4

Entonces, cos2A = (1 – tan ² A)/(1 + tan ² A)

= {1-(1/7) ² }/{1+(1/7) ² }

= 48/50

= 24/25

Y sen4B = 2tan2B / (1 + tan ² 2B)

= {2 × 3/4}{1 + (3/4) ² }

= 24/25

Por lo tanto, cos2A = sen4B

Pregunta 33. cos7° cos14° cos28° cos56° = sen68°/16cos83°

Solución:

Resolvamos LHS

= cos7° cos14° cos28° cos56°

Al dividir y multiplicar por 2sen7°, obtenemos

= $\frac{1}{2sin7°}$ × 2sen7° × cos7° × cos14° × cos28° × cos56°

= $\frac{2sin14°}{2×2sin7°}$ × cos28° × cos56°

= $\frac{2sin56°}{2×8sin7°}$ × cos56°

= $\frac{sin112°}{16sin7°}$

= $\frac{sin(180°-68°)}{16sin(90°-83°)}$

= $\frac{sin68°}{16cos83°}$

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 34. Probó que, cos(2π/15)cos(4π/15)cos(8π/15)cos(16π/15) = 1/16

Solución:

Resolvamos LHS

= cos(2π/15)cos(4π/15)cos(8π/15)cos(16π/15)

Al dividir y multiplicar por 2sin(2π/15), obtenemos

= $\frac{1}{2sin(\frac{2π}{15})}×2sin(\frac{2π}{15})×cos(\frac{2π}{15})×cos(\frac{4π}{15})×cos(\frac{8π}{15})×cos(\frac{16π}{15})$

= $\frac{1}{2×4sin(\frac{2π}{15})}[2sin(\frac{8π}{15})×cos(\frac{8π}{15})]×cos(\frac{16π}{15})$

= $\frac{1}{2×8sin(\frac{2π}{15})}[2sin(\frac{16π}{15})×cos(\frac{16π}{15})]$

= $\frac{1}{16sin(\frac{2π}{15})}sin(\frac{32π}{15})$

= $-\frac{1}{16sin(\frac{2π}{15})}sin(2π-\frac{32π}{15})$

= $-\frac{1}{16sin(\frac{2π}{15})}sin(-\frac{2π}{15})$

= 1/16

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 35. Probó que, cos(π/5)cos(2π/5)cos(4π/5)cos(8π/5) = -1/16

Solución:

Resolvamos LHS

= cos(π/5)cos(2π/5)cos(4π/5)cos(8π/5)

Al dividir y multiplicar por 2sin(2π/5), obtenemos

= $\frac{1}{2sin(\frac{π}{5})}$ × 2sen(π/5)cos(π/5)cos(2π/5)cos(4π/5)cos(8π/5)

= $\frac{1}{2sin(\frac{π}{5})}$ (sen(2π/5)cos(2π/5)cos(4π/5)cos(8π/5))

= $\frac{1}{4sin(\frac{π}{5})}$ [2sen(2π/5)cos(2π/5)cos(4π/5)cos(8π/5)]

= $\frac{1}{4sin(\frac{π}{5})}$ [sen(4π/5)cos(4π/5)cos(8π/5)]

= $\frac{1}{8sin(\frac{π}{5})}$ [2sen(4π/5)cos(4π/5)cos(8π/5)]

= $\frac{1}{8sin(\frac{π}{5})}$ [sen(8π/5)cos(8π/5)]

= $\frac{1}{16sin(\frac{π}{5})}$ [2sen(8π/5)cos(8π/5)]

= $\frac{sin(\frac{16π}{5})}{16sin(\frac{π}{5})}$

= $\frac{sin(3π+\frac{π}{5})}{16sin(\frac{π}{5})}$

= $-\frac{sin(\frac{π}{5})}{16sin(\frac{π}{5})}$

= -1/16

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 36. Probó que, cos(π/65)cos(2π/65)cos(4π/65)cos(8π/65)cos(16π/65)cos(32π/65) = 1/64

Solución:

Resolvamos LHS

= cos(π/65)cos(2π/65)cos(4π/65)cos(8π/65)cos(16π/65)cos(32π/65)

Ahora al dividir y multiplicar por 2sin(π/65), obtenemos

= $\frac{1}{2sin(\frac{π}{65})}$ × 2sen(π/65)cos(π/65)cos(2π/65)cos(4π/65)cos(8π/65)cos(16π/65)cos(32π/65)

= $\frac{2×sin2(\frac{π}{65})}{2×2sin(\frac{π}{65})}$ × [cos(2π/65) × cos(4π/65) × cos(8π/65) × cos(16π/65) × cos(32π/65)]

= $\frac{2×sin4(\frac{π}{65})}{2×4sin(\frac{π}{65})}$ × coseno(4π/65) × coseno(8π/65) × coseno(16π/65) × coseno(32π/65)

= $\frac{2×sin8(\frac{π}{65})}{2×8sin(\frac{π}{65})}$ × cos(8π/65) × cos(16π/65) × cos(32π/65)

= $\frac{2×sin16(\frac{π}{65})}{2×16sin(\frac{π}{65})}$ × cos(16π/65) × cos(32π/65)

= $\frac{2×sin32(\frac{π}{65})}{2×32sin(\frac{π}{65})}$ × cos(32π/65)

= $\frac{sin64(\frac{π}{65})}{64sin(\frac{π}{65})}$

= $\frac{sin(π-\frac{π}{65})}{64sin(\frac{π}{65})}$

= $\frac{sin(\frac{π}{65})}{64sin(\frac{π}{65})}$

= 1/64

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 37. Si 2tanα = 3tanβ, prueba que tan(α – β) = sen2β / (5 – cos2β)

Solución:

Dado que,

2tanα = 3tanβ

Demostrar: tan(α – β) = sen2β / (5 – cos2β)

Prueba:

Resolvamos LHS

= $\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$

= $\frac{3/2tanβ-tanβ}{1+3/2tan^2β}$

= $\frac{1/2tanβ}{1+3/2tan^2β}$

= $\frac{tanβ}{2+3tan^2β}$

= $\frac{\frac{sinβ}{cosβ}}{2+3\frac{sin^2β}{cos^2β}}$

= $\frac{\frac{sinβ}{cosβ}cos^2β}{2cos^2β+3sin^2β}$

= $\frac{sinβcosβ}{2cos^2β+2sin^2β+sin^2β}$

= $\frac{1}{2}\frac{2sinβcosβ}{2(cos^2β+sin^2β)+sin^2β}$

= $1/2\frac{sin2β}{(2+sin^2β)}$

= $\frac{sin2β}{4+2sin^2β}$

= $\frac{sin2β}{4+2(1-cos^2β)}$

= $\frac{sin2β}{6-2cos^2β}$

= $\frac{sin2β}{6-(1+cos2β)}$

= $\frac{sin2β}{5-cos2β}$

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 38(i). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que sen(α + β) = 2ab/(a ² + b ² )

Solución:

Dado que,

sinα + sinβ = a y cosα + cosβ = b

Demostrar: sen(α + β) = 2ab/(a ² + b ² )

Prueba:

Como sabemos que, $sinC+sinD=2sin\frac{C+D}{2}cos\frac{C-D}{2}$

entonces $2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}=a$ ……(yo)

Ahora, usando la identidad

$cosα+cosβ=2cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}=b$ …..(ii)

Ahora al dividir la ecuación (i) y (ii), obtenemos

tan(α + β)/2 = a/b

Como sabemos que,

sen2x = 2 tanx/(1 + tan ² x)

$sin(α+β)=\frac{2tan[\frac{(α+β)}{2}]}{1+tan^2[\frac{(α+β)}{2}]}$

= $\frac{2\frac{a}{b}}{1+\frac{a^2}{b^2}}$

= 2ab/(a ² + b ² )

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 38(ii). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que cos(α – β) = (a ² + b ² – 2)/2

Solución:

Dado que,

senα + senβ = a ……(i)

cosα + cosβ = b …….(ii)

Ahora, al elevar al cuadrado las ecuaciones (i) y (ii) y luego sumarlas, obtenemos

sen ² α + sen ² β + 2sinαsinβ + cos ² α + cos ² β + 2cosαcosβ = a ² + b ²

⇒ 1 + 1 + 2(sinαsinβ + cosαcosβ) = a ² + b ²

⇒ 2(sinαsinβ + cosαcosβ) = a ² + b ² – 2

⇒ 2 cos(α – β) = a ² + b ² – 2

⇒ cos(α – β) = (a ² + b ² – 2)/2

Por lo tanto probado.

Pregunta 39. Si 2tan(α/2) = tan(β/2), prueba que cosα = $\frac{3+5cosβ}{5+3cosβ}$

Solución:

Dado que,

2tan(α/2) = tan(β/2)

Demostrar: cosα = $\frac{3+5cosβ}{5+3cosβ}$

Prueba:

Resolvamos RHS

= $\frac{3+5cosβ}{5+3cosβ}$

= $\frac{3+5(\frac{1-tan^2β}{1+tan^2β})}{5+3(\frac{1-tan^2β}{1+tan^2β})}$

= $\frac{3+3tan^2(\frac{β}{2})+5-5tan^2(\frac{β}{2})}{5+5tan^2(\frac{β}{2})+3-3tan^2(\frac{β}{2})}$

= $\frac{8-2tan^2(\frac{β}{2})}{8+2tan^2(\frac{β}{2})}$

= $\frac{8-8tan^2(\frac{α}{2})}{8+8tan^2(\frac{α}{2})}$

= $\frac{8(1-tan^2(\frac{α}{2}))}{8(1+tan^2(\frac{α}{2}))}$

= $\frac{1-tan^2(\frac{α}{2})}{1+tan^2(\frac{α}{2})}$

= cosα

RHS = LHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 40. Si cosx = $\frac{cosα+cosβ}{1+cosαcosβ}$ , demuestre que tan(x/2) = ± tan(α/2)tan(β/2).

Solución:

Dado que,

$cosx=\frac{cosα+cosβ}{1+cosαcosβ}$ …..(i)

⇒ $\frac{1-tan^2(\frac{x}{2})}{1+tan^2(\frac{x}{2})}=\frac{cosα+cosβ}{1+cosαcosβ}$

Ahora, por componendo y dividendo, obtenemos

⇒ $\frac{(1-tan^2(\frac{x}{2}))+(1+tan^2(\frac{x}{2}))}{(1-tan^2(\frac{x}{2}))-(1+tan^2(\frac{x}{2}))}=\frac{1+cosαcosβ+cosα+cosβ}{-(1+cosαcosβ-cosα-cosβ)}$

⇒ $\frac{2}{2tan^2(\frac{x}{2})}=\frac{(1+cosα)(1+cosβ)}{(1-cosα)(1-cosβ)}$

⇒ $tan^2(\frac{x}{2})=\frac{(1-cosα)(1-cosβ)}{(1+cosα)(1+cosβ)}$

⇒ $tan^2(\frac{x}{2})=\frac{2sin^2(\frac{α}{2})2sin^2(\frac{β}{2})}{2cos^2(\frac{α}{2})(2cos^2(\frac{β}{2})}$

⇒ bronceado ² (x/2) = bronceado ² (α/2) bronceado ² (β/2)

⇒ tan(x/2) = ±tan(α/2)tan(β/2)

Por lo tanto Probado.

Pregunta 41. Si sec(x + α) + sec(x – α) = 2secx, prueba que cosx = ± √2 cos(α/2).

Solución:

Dado que,

segundo(x + α) + segundo(x – α) = 2segx

Asi que,

⇒ $\frac{1}{cosxcosα-sinxsinα}+\frac{1}{cosxcosα+sinxsinα}=\frac{2}{cosx}$

⇒ $\frac{2cosxcosα}{cos^2xcos^2α-sin^2xsin^2α}=\frac{2}{cosx}$

⇒ $\frac{cosxcosα}{cos^2xcos^2α-(1-cos^2x)sin^2α}=\frac{1}{cosx}$

⇒ cos ² xcosα = cos ² x(cos ² α + sen ² α) – sen ² α

⇒ cos ² x(1 – cosα) = sen ² α

⇒ $cos^2x=\frac{sin^2α}{2sin^2(\frac{α}{2})}$

= $\frac{4sin^2(\frac{α}{2}).cos^2(\frac{α}{2})}{2sin^2(\frac{α}{2})}$

⇒ cosx = ± √2 cos(α/2)

Por lo tanto probado

Pregunta 42. Si cosα + cosβ = 1/3 y senα + sinβ = 1/4, demuestre que cos(α – β)/2 = ±5/24.

Solución:

Dado que,

cosα + cosβ = 1/3

sinα + sinβ = 1/4, obtenemos

Demostrar: cos(α – β)/2 = ±5/24

Prueba:

(cos ² α + cos ² β + cosαcosβ) + (sen ² α + sen ² β + 2sinαsenβ) = 1/9 + 1/16

1 + 1 + 2(cosαcosβ + sinαsinβ) = 25/144

2 + 2cos(α – β) = -263/288 …..(i)

Ahora,

$cos^2(\frac{α-β}{2})=\frac{1+cos(α-β)}{2}$

= $\frac{1-\frac{263}{288}}{2}$ [De (i)]

= 25/576

= ± 5/24

Por lo tanto probado.

Pregunta 43. Si senα = 4/5 y cosβ = 5/13, prueba que cos{(α – β)/2} = 8/√65.

Solución:

Dado que,

senα = 4/5 y cosβ = 5/13

Como sabemos eso.

cosα = √(1 – sen ² α)

Asi que,

= √{1 – (4/5) ² }

= 3/5

Además, senβ = √(1 – cos ² β)

= √{1 – (5/13) ² }

= 12/13

Ahora,

cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ

= (3/5)(5/13)(4/5)(12/13)

= 63/65

De este modo,

cos{(α – β)/2} = $\sqrt{\frac{1+cos(α-β)}{2}}$

= $\sqrt{\frac{1+63/65}{2}}$

= 8/√65

Por lo tanto Probado.

Pregunta 44. Si acos2θ + bsin2θ = c tiene como raíces α y β prueba que,

(i) tanα + tanβ = 2b/(a + c)

(ii) tanα tanβ = (c – a)/(c + a)

(iii) tan(α + β) = b/a

Solución:

Como sabemos que

$cos2θ=\frac{1-tan^2θ}{1+tan^2θ}$

$sin2θ=\frac{2tanθ}{1+tan^2θ}$

Ahora sustituimos estos valores en la ecuación dada, obtenemos

a(1 – tan ² θ) + b(2tan θ) = c(1 + tan ² θ)

(c + a)tan ² θ + 2btanθ + c – a = 0

(i) Como α y β son raíces

Entonces, suma de las raíces:

tanα + tanβ = 2b / (c + a)

(ii) Como α y β son raíces

Entonces, producto de raíces:

tanα tanβ = (c – a) / (c + a)

(iii) tan(α + β)= $\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$

= $\frac{2b}{c+a-c+a}$

= b/a

Por lo tanto probado.

Pregunta 45. Si cosα + cosβ = 0 = sinα + sinβ, entonces prueba que cos2α + cos2β = -2cos(α + β).

Solución:

Dado que,

cosα + cosβ = 0 = senα + senβ

Demostrar: cos2α + cos2β = -2cos(α + β)

Prueba:

cosα + cosβ = 0

Al elevar al cuadrado en ambos lados, obtenemos

cos ² α + cos ² β + 2 cosα cosβ = 0 ….(i)

Similarmente

sinα + sinβ = 0

Al elevar al cuadrado en ambos lados, obtenemos

sen ² α + sen ² β + 2 senα senβ = 0 …..(ii)

Ahora, restando la ecuación (ii) de (i), obtenemos

⇒ (cos ² α + cos ² β + 2 cosα cosβ) – (sen ² α + sen ² β + 2 senα senβ) = 0

⇒ cos ² α – sen ² α + cos ² β – sen ² β + 2(cosα cosβ – senα senβ) = 0

⇒ cos2α + cos2β + 2cos(α + β) = 0

⇒ cos2α + cos2β = -2cos(α + β)

Por lo tanto probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Razones trigonométricas de ángulos múltiples y submúltiplos – Ejercicio 9.1 | conjunto 3

Pregunta 30(i). Si 0 ≤ x≤ π y x se encuentra en el segundo cuadrante tal que senx = 1/4, encuentre los valores de cos(x/2), sen(x/2) y tan(x/2).

Pregunta 30(ii). Si cosx = 4/5 yx es aguda, encuentre tan2x.

Pregunta 30(iii). Si senx = 4/5 y 0 < x < π/2, encuentre el valor de sen4x.

Pregunta 31. Si tanx = b/a, encuentra el valor de $\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}$

Pregunta 32. Si tanA = 1/7 y tanB = 1/3, demuestre que cos2A = sen4B

Pregunta 33. cos7° cos14° cos28° cos56° = sen68°/16cos83°

Pregunta 34. Probó que, cos(2π/15)cos(4π/15)cos(8π/15)cos(16π/15) = 1/16

Pregunta 35. Probó que, cos(π/5)cos(2π/5)cos(4π/5)cos(8π/5) = -1/16

Pregunta 36. Probó que, cos(π/65)cos(2π/65)cos(4π/65)cos(8π/65)cos(16π/65)cos(32π/65) = 1/64

Pregunta 37. Si 2tanα = 3tanβ, prueba que tan(α – β) = sen2β / (5 – cos2β)

Pregunta 38(i). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que sen(α + β) = 2ab/(a ² + b ² )

Pregunta 38(ii). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que cos(α – β) = (a ² + b ² – 2)/2

Pregunta 39. Si 2tan(α/2) = tan(β/2), prueba que cosα = $\frac{3+5cosβ}{5+3cosβ}$

Pregunta 40. Si cosx = $\frac{cosα+cosβ}{1+cosαcosβ}$ , demuestre que tan(x/2) = ± tan(α/2)tan(β/2).

Pregunta 41. Si sec(x + α) + sec(x – α) = 2secx, prueba que cosx = ± √2 cos(α/2).

Pregunta 42. Si cosα + cosβ = 1/3 y senα + sinβ = 1/4, demuestre que cos(α – β)/2 = ±5/24.

Pregunta 43. Si senα = 4/5 y cosβ = 5/13, prueba que cos{(α – β)/2} = 8/√65.

Pregunta 44. Si acos2θ + bsin2θ = c tiene como raíces α y β prueba que,

Pregunta 45. Si cosα + cosβ = 0 = sinα + sinβ, entonces prueba que cos2α + cos2β = -2cos(α + β).

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 30(i). Si 0 ≤ x≤ π y x se encuentra en el segundo cuadrante tal que senx = 1/4, encuentre los valores de cos(x/2), sen(x/2) y tan(x/2).

Pregunta 30(ii). Si cosx = 4/5 yx es aguda, encuentre tan2x.

Pregunta 30(iii). Si senx = 4/5 y 0 < x < π/2, encuentre el valor de sen4x.

Pregunta 31. Si tanx = b/a, encuentra el valor de

Pregunta 32. Si tanA = 1/7 y tanB = 1/3, demuestre que cos2A = sen4B

Pregunta 33. cos7° cos14° cos28° cos56° = sen68°/16cos83°

Pregunta 34. Probó que, cos(2π/15)cos(4π/15)cos(8π/15)cos(16π/15) = 1/16

Pregunta 35. Probó que, cos(π/5)cos(2π/5)cos(4π/5)cos(8π/5) = -1/16

Pregunta 36. Probó que, cos(π/65)cos(2π/65)cos(4π/65)cos(8π/65)cos(16π/65)cos(32π/65) = 1/64

Pregunta 37. Si 2tanα = 3tanβ, prueba que tan(α – β) = sen2β / (5 – cos2β)

Pregunta 38(i). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que sen(α + β) = 2ab/(a 2 + b 2 )

Pregunta 38(ii). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que cos(α – β) = (a 2 + b 2 – 2)/2

Pregunta 39. Si 2tan(α/2) = tan(β/2), prueba que cosα =

Pregunta 40. Si cosx = , demuestre que tan(x/2) = ± tan(α/2)tan(β/2).

Pregunta 41. Si sec(x + α) + sec(x – α) = 2secx, prueba que cosx = ± √2 cos(α/2).

Pregunta 42. Si cosα + cosβ = 1/3 y senα + sinβ = 1/4, demuestre que cos(α – β)/2 = ±5/24.

Pregunta 43. Si senα = 4/5 y cosβ = 5/13, prueba que cos{(α – β)/2} = 8/√65.

Pregunta 44. Si acos2θ + bsin2θ = c tiene como raíces α y β prueba que,

Pregunta 45. Si cosα + cosβ = 0 = sinα + sinβ, entonces prueba que cos2α + cos2β = -2cos(α + β).

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 31. Si tanx = b/a, encuentra el valor de $\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}$

Pregunta 38(i). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que sen(α + β) = 2ab/(a ² + b ² )

Pregunta 38(ii). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que cos(α – β) = (a ² + b ² – 2)/2

Pregunta 39. Si 2tan(α/2) = tan(β/2), prueba que cosα = $\frac{3+5cosβ}{5+3cosβ}$

Pregunta 40. Si cosx = $\frac{cosα+cosβ}{1+cosαcosβ}$ , demuestre que tan(x/2) = ± tan(α/2)tan(β/2).