Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 9 Razones trigonométricas de ángulos múltiples y submúltiplos – Ejercicio 9.1 | Serie 1

Posted on by Rudeus Greyrat

Acreditar las siguientes identidades: 

Pregunta 1. √[(1 – cos2x)/(1 + cos2x)] = tanx

Solución:

Resolvamos LHS,

= √[(1 – cos2x)/(1 + cos2x)]

Como sabemos que, cos2x =1 – 2 sen 2 x

= 2 cos 2 x – 1

Asi que,

= √[(1 – cos2x)/(1 + cos2x)] 

= √[(1 – (1 – 2sen 2 x))/(1 + (2cos 2 x – 1))]

= √(1 – 1 + 2sen 2 x)/(1 + 2cos 2 x – 1)1

= √[2 sen 2 x/2 cos 2 x]

= senx / cosx

= tangente 

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 2. sen2x/(1 – cos2x) = cotx

Solución:

Resolvamos LHS,

= sen 2x/(1 – cos 2x)

Como sabemos que,

cos 2x = 1 – 2 sen 2 x 

sen 2x = 2 sen x cos x

Asi que,

sen 2x/(1-cos 2x) = (2 sen x cos x)/(1 – (1 – 2sen 2 x))

= (2 sen x cos x)/(1 – 1 + 2 sen 2 x)]

= [2 sen x cos x/2 sen 2 x]

= cos x/sen x

= cuna x

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 3. sen 2x/(1 + cos 2x) = tan x

Solución:

Resolvamos LHS,

= sen 2x / (1+cos 2x) 

Como sabemos que,

cos 2x = 1 – 2 sen 2 x

= 2 cos 2 x – 1

sen 2x = 2 sen x cos x

Asi que,

sen 2x / (1 + cos2x) = [2 sen x cos x / (1 + (2cos 2 x – 1))]

= [2 sen x cos x / (1+2 cos 2 x – 1)]

= [2 sen x cos x/2 cos 2 x]

= sen x/cos x

= bronceado x

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 4.  \sqrt{2+\sqrt{2+cos4x}}=2cosx , 0 < r < π/4

Solución:

Resolvamos LHS,

\sqrt{2+\sqrt{2+cos4x}}=\sqrt{2+\sqrt{2+2(2cos^22x-1)}}

Como sabemos que,

 cos 2x = 2 cos 2 x – 1 ⇒ cos 4x = 2 cos 2 2x – 1

Asi que, 

= \sqrt{2+\sqrt{2+4cos^22x-2}}

= \sqrt{2+\sqrt{4cos^22x}}

= \sqrt{2+2cos2x}

= \sqrt{2+\sqrt{2(2cos^2x-1)}}

= \sqrt{2+4cos^2x-2}

= \sqrt{4cos^2x}

= 2 cos x

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 5. [1 – cos 2x + sen 2x]/[1 + cos 2x + sen 2x] = tan x

Solución: 

Resolvamos LHS,

= [1 – cos 2x + sen 2x]/[1 + cos 2x + sen 2x] 

Como sabemos que,

cos 2x = 1 – 2 sen 2 x

= 2 cos 2 x – 1

sen 2x = 2 sen x cos x

Asi que,

= {1 – (1 – 2sen 2 x) + 2senxcosx} / {1 + (2 cos 2 x – 1) + 2 sen x cosx}

= {1 − 1 + 2sen 2 x + 2senxcosx} / {1 + 2cos 2 x − 1 + 2senx cosx}

= {2 sen 2 x + 2 senxcosx} / {2 cos 2 x + 2 senxcosx}

= {2senx (senx + cosx)} / {2 cos x (cosx + sen x)}

= senx/cosx

= bronceado x

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 6. [sen x + sen 2x]/[1 + cos x + cos2x] = tanx

Solución:

Resolvamos LHS,

= [sen x + sen 2x]/[1 + cos x + cos 2x]

Como sabemos que,

cos 2x = cos 2 x sen 2 x

sen 2x = 2 sen x cos x

Asi que,

{sen x + sen 2x} / {1 + cos x + cos 2x} = {sen x + 2 sen x cos x} / {1 + cosx + ( 2 cos 2 x − 1)}

= {senx + 2 senx cos x} / {1 + cosx + 2cos 2 x − 1}

= {sen x + 2 sen x cosx} / {cosx + 2cos 2 x}

= {senx (1 + 2 cos x)} / {cosx (1 + 2cosx)}

= senx / cosx

= bronceado x 

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 7. cos 2x / (1+ sen 2x) = tan (π/4 – x)

Solución:

Resolvamos LHS,

= cos 2x / (1 + sen 2x)

Como sabemos que,

cos 2x = cos 2 x – sen 2 x

sen 2x = 2 sen x cos x

Asi que,

{cos 2x} / {1 + sen 2x} = {cos 2 x – sen 2 x} / {1 + 2 sen x cos x}

= {(cosx – senx)(cosx + senx)} / {sen 2 x + cos 2 x + 2 sen x cos x}

Ya que, a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) y sen 2 x + cos 2 x = 1

Asi que, 

= {(cosx – senx)(cosx + senx)} / {(senx + cos x) 2

Ya que, a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2

Asi que, 

 = {(cosx – senx)(cosx + senx)} / {(senx + cosx)(senx + cosx)}

= (cos x – sen x) / (sen x + cos x)

Ahora, multiplicando el numerador y el denominador por 1/√2, obtenemos,

= \frac{\frac{1}{√2}(cosx-sinx)}{\frac{1}{√2}(sinx+cosx)}

= \frac{(\frac{1}{√2}.cosx-\frac{1}{√2}.sinx)}{(\frac{1}{√2}.sinx+\frac{1}{√2}.cosx)}

= \frac{sin(\frac{π}{4})cosx-cos(\frac{π}{4})sinx}{sin(\frac{π}{4})sinx+cos(\frac{π}{4})cosx}

Como, 1/√2 = sen π/4, entonces

= \frac{sin(\frac{π}{4}-x)}{cos(\frac{π}{4}-x)}

Usando las fórmulas, obtenemos

sen(A – B) = senA cosB – senB cosA 

cos(A – B)= cosA cosB + senA senB

= bronceado (π/4 – x)

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 8. cos x/(1 – sen x) = tan (π/4 + x/2)

Solución:

Resolvamos LHS,

= cos x/(1 – sen x)

Como sabemos que,

cos 2x = cos 2 x – sen 2 x

cos x = cos 2 x/2 – sen 2 x/2 

sen 2x = 2 sen x cos x

sen x = 2 sen x/2 cos x/2

Asi que,

\frac{cosx}{1-sinx}=\frac{cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2})}{1-2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})}

= \frac{[cos(\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2})][cos(\frac{x}{2})+sin(\frac{x}{2})]}{sin^2(\frac{x}{2})+cos^2(\frac{x}{2})+2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})}

Usando las fórmulas, 

a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) y sen 2 x + cos 2 x = 1), obtenemos

= \frac{[cos(\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2})][cos(\frac{x}{2})+sin(\frac{x}{2})]}{[sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2})]^2}

= \frac{[cos(\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2})][cos(\frac{x}{2})+sin(\frac{x}{2})]}{[sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2})][sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2})]}

= \frac{cos(\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2})}{sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2})}

= \frac{cos(\frac{x}{2})+sin(\frac{x}{2})}{sin(\frac{x}{2})-cos(\frac{x}{2})}

Ahora multiplicamos numerador y denominador por 1/√2, obtenemos,

= \frac{\frac{1}{√2}[cos(\frac{x}{2})+sin(\frac{x}{2})]}{\frac{1}{√2}[sin(\frac{x}{2})-cos(\frac{x}{2})]}

= \frac{(\frac{1}{√2})cos(\frac{x}{2})+(\frac{1}{√2})sin(\frac{x}{2})}{(\frac{1}{√2})sin(\frac{x}{2})-(\frac{1}{√2})cos(\frac{x}{2})}

= \frac{sin(\frac{π}{4})cos(\frac{x}{2})+cos(\frac{π}{4})sin(\frac{x}{2})}{sin(\frac{π}{4})sin(\frac{x}{2})-cos(\frac{π}{4})cos(\frac{x}{2})}

= \frac{sin(π/4-x)}{cos(π/4-x)}

 = bronceado (π/4 – x)

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 9. cos 2 π/8 + cos 2 3π/8 + cos 2 5π/8 + cos 2 7π/8 = 2

Solución:

Resolvamos LHS,

= cos 2 π/8 + cos 2 3π/8 + cos 2 5π/8 + cos 2 7π/8

Como sabemos que,

cos 2x = 2 cos 2 x – 1

cos 2x+1=2 cos 2 x

cos 2 x = (cos 2x + 1)/2

Asi que,

= cos 2 π/8 + cos 2 3π/8 + cos 2 5π/8 + cos 2 7π/8

= \frac{1+cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1+cos(\frac{6π}{8})}{2}+\frac{1+cos(\frac{10π}{8})}{2}+\frac{1+cos(\frac{14π}{8})}{2}

= \frac{1+cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1+cos(π-\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1+cos(π+\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1+cos(2π-\frac{2π}{8})}{2}

= \frac{1+cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1-cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1-cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1+cos(\frac{2π}{8})}{2}

Como sabemos que, cos (π – A) =- cos A, cos (π+ A) = -cos A y cos (2π – A) = cos A

= 2 x {1 + cos(2π/8)/2} + 2 x {1 – cos(2π/8)/2}

= 1 + cos(2π/8) + 1 – cos(2π/8)

= 2 

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 10. sen 2 π/8 + sen 2 3π/8 + sen 2 5π/8 + sen 2 7π/8

Solución:

Resolvamos LHS,

= sen 2 π/8 + sen 2 3π/8 + sen 2 5π/8 + sen 2 7π/8

Como sabemos que, 

cos 2x = 1 – 2sen 2 x

2sen 2x = 1 – cos 2x

sen 2 x = (1 – cos 2x)/2

Asi que,

= \frac{1-cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1-cos(\frac{6π}{8})}{2}+\frac{1-cos(\frac{10π}{8})}{2}+\frac{1-cos(\frac{14π}{8})}{2}

= \frac{1-cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1-cos(π-\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1-cos(π+\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1-cos(2π-\frac{2π}{8})}{2}

= \frac{1-cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1+cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1+cos(\frac{2π}{8})}{2}+\frac{1-cos(\frac{2π}{8})}{2}

Como sabemos, cos (π – A) = -cos A, cos (π + A) = -cos A y cos (2π – A) = cos A

= 2 x {1 – cos(2π/8)/2} + 2 x {1 + cos(2π/8)/2}

= 1 – coseno(2π/8) + 1 + coseno(2π/8)

= 2

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 11. (cos α + cos β) 2 + (sen α + sen β) 2 = 4 cos 2 (α – β)/2

Solución:

Resolvamos LHS,

= (cos α+ cos β) 2 + (sen α+ sen β) 2

Al expandir, obtenemos,

= cos 2 α + cos 2 β + 2 cos α cos β + sen 2 α+ sen 2 β + 2 sen α sen β

= 2+2 cos α cos β + 2 sen α sen β

= 2 (1+ cos α cos β+ sen α sen β)

= 2 (1 + cos (α – β)) [Usando, cos (A – B) = cos A cos B+ sen A sen B]

= 2 (1 + 2 cos 2 (α – β)/2 – 1) [Usando, cos2x = 2 cos 2 x – 1]

= 2 (2 cos 2 (α – β)/2)

= 4 cos 2 (α – β)/2

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 12. sen 2 (π/8 + x/2) – sen 2 (π/8 – x/2) = 1/√2 sen x

Solución:

Resolvamos LHS,

= sen 2 (π/8 + x/2) – sen 2 (π/8 – x/2)

Como sabemos que, 

sen 2 A – sen 2 B = sen (A + B) sen (AB)

Asi que,

sen 2 (π/8 + x/2) – sen 2 (π/8 – x/2) = sen (π/8 + x/2 + π/8 – x/2) sen (π/8 + x/ 2 – (π/8 – x/2))

= sen (π/8 + π/8) sen (π/8 + x/2 – π/8 + x/2)

= sen π/4 sen x

= 1/√2 sen x [Como sabemos, π/4 = 1/√2]

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 13. 1 + cos 2 2x = 2 (cos 4 x + sen 4 x)

Solución:

Resolvamos LHS,

= 1 + cos 2 2x

Como sabemos que, 

cos2x = cos 2 x sen 2 x

cos 2 x+ sen 2 x = 1

Asi que,

1 + cos 2 2x = (cos 2 x+ sen 2 x) 2 + (cos 2 x – sen 2 x) 2 

= (cos 4 x + sen 4 x + 2 cos 2 x sen 2 x) + (cos 4 x + sen 4 x – 2 cos 2 x sen 2 x)

= cos 4 x + sen 4 x + cos 4 x + sen 4 x

= 2 cos 4 x + 2 sen 4 x

= 2 (cos 4 x + sen 4 x)

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 14. cos 3 2x + 3 cos 2x = 4 (cos 6 x – sen 6 x)

Solución:

Resolvamos RHS,

= 4 (cos 6 x – sen 6 x)

Al expandir, obtenemos,

4 (cos 6 x – sen 6 x) = 4 [(cos 2 x) 3 – (sen 2 x) 3 ]

= 4 (cos 2 x – sen 2 x) (cos 4 x + sen 4 x + cos 2 x sen 2 x)

Ahora, usando la fórmula, obtenemos

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + b 2 + ab)

= 4 cos 2x (cos 4 x + sen 4 x + cos 2 x sen 2 x + cos 2 x sen 2 x – cos 2 x sen 2 x

Como sabemos que, 

cos 2x = cos 2 x – sen 2 x

Asi que,

= 4 cos 2x (cos 4 x + sen 4 x + 2 cos 2 x sen 2 x – cos 2 x sen 2 x)

= 4 cos 2x [(cos 2 x) 2 + (sen 2 x) 2 + 2 cos 2 x sen 2 x – cos 2 x sen 2 x]

Usando la fórmula, 

a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 , obtenemos

= 4 cos 2x [(1) 2 – 1/4 (4 cos 2 x sen 2 x)]

= 4 cos 2x [(1) 2 -1/4 (2 cos x sen x) 2 ] 

Ya que

sen 2x = 2 sen x cos x

= 4 cos 2x [(1 2 ) – 1/4 (sen 2x) 2 ]

= 4 cos 2x (1 – 1/4 sen 2 2x)

Ya que

sen 2 x = 1 – cos 2 x

= 4 cos 2x [1 – 1/4 (1 – cos 2 2x)]

= 4 cos 2x [1 – 1/4 + 1/4 cos 2 2x]

= 4 cos 2x [3/4 + 1/4 cos 2 2x]

= 4 (3/4 cos 2x + 1/4 cos³ 2x)

= 3 cos 2x + cos 3 2x

= cos 3 2x + 3 cos 2x

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 15. (sen 3A + sen A) sen A + (cos 3A – cos A) cos A = 0

Solución:

Resolvamos LHS,

= (sen 3A + sen A) sen A + (cos 3A – cos A) cos A

= (sen 3A) (sen A) + sen 2 A + (cos 3A) (cos A) – cos 2 A

= [(sen 3A) (sen A) + (cos 3A) (cos A)] + (sen 2 A – cos 2 A)

= [(sen 3A) (sen A) + (cos 3A) (cos A)] – (cos 2 A – sen 2 A)

= coseno (3A – A) – coseno 2A

Como sabemos que, 

cos 2x = cos 2 A – sen 2 A

cos A cos B + sen A sen B = cos (A – B)

Asi que,

= cos 2A – cos 2A

= 0

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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