Clase 11 Solución RD Sharma – Capítulo 18 Teorema del binomio – Ejercicio 18.2

Pregunta 1. Encuentra el término 11 desde el principio y el término 11 desde el final en la expansión de (2x – 1/x ² ) ²⁵ .

Solución:

Nos dan, (2x – 1/x ² ) ²⁵ .

La expresión dada contiene 25 + 1 = 26 términos.

Entonces, el término 11 desde el final es el (26 − 11 + 1) término = 16 desde el principio.

Por lo tanto, T ₁₆ = T ₁₅₊₁ = ²⁵ C ₁₅ (2x) ^25-15 (−1/x ² ) ¹⁵

= ²⁵ C ₁₅ (2 ¹⁰ ) (x) ¹⁰ (−1/x ³⁰ )

= – ²⁵ C ₁₅ (2 ¹⁰ / x ²⁰ )

Ahora, el undécimo término desde el principio es,

T ₁₁ = T ₁₀₊₁ = ²⁵ C ₁₀ (2x) ^25-10 (−1/x ² ) ¹⁰

= ²⁵ C ₁₀ (2 ¹⁵ ) (x) ¹⁵ (1/x ²⁰ )

= ²⁵ C ₁₀ (2 ¹⁵ / x ⁵ )

Pregunta 2. Encuentra el séptimo término en la expansión de (3x ² – 1/x ³ ) ¹⁰ .

Solución:

Nos dan, (3x ² – 1/x ³ ) ¹⁰ .

El séptimo término de la expresión está dado por,

T ₇ = T ₆₊₁

= ¹⁰ C ₆ (3x ² ) ¹⁰⁻⁶ (−1/x ³ ) ⁶

= ¹⁰ C ₆ (3) ⁴ (x) ⁸ (1/x ¹⁸ )

= $\frac{10×9×8×7×81}{4×3×2×x^{10}}$

= 17010/ × ¹⁰

Pregunta 3. Encuentra el quinto término desde el final en la expansión de (3x – 1/x ² ) ¹⁰ .

Solución:

Nos dan, (3x – 1/x ² ) ¹⁰

El quinto término desde el final es el (11 – 5 + 1) º = séptimo término desde el principio.

Entonces, T ₇ = T ₆₊₁

= ¹⁰ C ₆ (3x) ^10-6 (–1/x ² ) ⁶

= ¹⁰ C ₆ (3) ⁴ (x) ⁴ (1/x ¹² )

= $\frac{10×9×8×7×81}{4×3×2×x^8}$

= 17010/ x ⁸

Pregunta 4. Encuentra el octavo término en la expansión de (x ^3/2 y ^1/2 – x ^1/2 y ^3/2 ) ¹⁰ .

Solución:

Nos dan, (x ^3/2 y ^1/2 – x ^1/2 y ^3/2 ) ¹⁰ .

El octavo término de la expresión está dado por,

T ₈ = T ₇₊₁

= ¹⁰ C ₇ (x ^3/2 y ^1/2 ) ^10–7 (–x ^1/2 y ^3/2 ) ⁷

= $\frac{-(10×9×8)}{3×2} x^{9/2} y^{3/2} (x^{7/2} y^{21/2})$

= –120 x ⁸ y ¹²

Pregunta 5. Encuentra el séptimo término en la expansión de (4x/5 + 5/2x) ⁸ .

Solución:

Nos dan, (4x/5 + 5/2x) ⁸ .

El octavo término de la expresión está dado por,

T ₇ = T ₆₊₁

= $^8C_6(\frac{4x}{5})^{8-6}(\frac{5}{2x})^6$

= $\frac{8×7×6!}{6!2!}(\frac{16x^2}{25})(\frac{125×125}{64x^6})$

= 4375/ × ⁴

Pregunta 6. Encuentra el cuarto término desde el principio y el cuarto término desde el final en la expansión de (x + 2/x) ⁹ .

Solución:

Nos dan, (x + 2/x) ⁹ .

La expresión dada contiene 9 + 1 = 10 términos.

Entonces, el cuarto término desde el final es (10 − 4 + 1) el término = séptimo término desde el principio.

Por lo tanto, T ₇ = T ₆₊₁ = ⁹ C ₆ (x) ^9-6 (2/x) ⁶

= $\frac{9×8×7}{3×2}(x^3)(\frac{64}{x^6})$

= 5376/ × ³

Ahora, el cuarto término desde el principio es,

T ₄ = T ₃₊₁ = ⁹ C ₃ (2x) ^9-3 (2/x) ³

= $\frac{9×8×7}{3×2}(x^6)(\frac{8}{x^3})$

⁼ 672×3

Pregunta 7. Encuentra el cuarto término desde el final en la expansión de (4x/5 – 5/2x) ⁹ .

Solución:

Nos dan, (4x/5 – 5/2x) ⁹

El cuarto término desde el final es (10 − 4 + 1) término = séptimo término, desde el principio.

T ₇ = T ₆₊₁

= $^9C_6(\frac{4x}{5})^{9-6}(\frac{5}{2x})^6$

= $\frac{9×8×7}{3×2}(\frac{64x^3}{125})(\frac{125×125}{64x^6})$

= 10500/ × ³

Pregunta 8. Encuentra el séptimo término desde el final en la expansión de (2x ² – 3/2x) ⁸ .

Solución:

Nos dan, (2x ² – 3/2x) ⁸

El séptimo término desde el final es (9 − 7 + 1) término = 3er término, desde el principio.

T3 ₌ T2 ₊₁

= $^8C_2(2x^2)^{8-2}(\frac{-3}{2x})^2$

= $\frac{8×7}{2×1}(64x^{12})(\frac{9}{4x^2})$

⁼ 4032×10

Pregunta 9. Encuentra el coeficiente de:

(i) x ¹⁰ en la expansión de (2x ² – 1/x) ²⁰

Solución:

Nos dan, (2x ² – 1/x) ²⁰

Sabemos que el (r+1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

T _r+1 = ^norte C _r X ^n-r un ^r

= ²⁰ C _r (2x ² ) ^20-r (-1/x) ^r

= (-1) ^r ²⁰ C _r (2) ^20-r x ^40-2r-r

Si x ¹⁰ existe en la expansión, debemos tener,

=> 40 − 3r = 10

=> 3r = 30

=> r = 10

Coeficiente de x ¹⁰ = (-1) ¹⁰ ²⁰ C ₁₀ (2) ^20-10

= ²⁰ C ₁₀ (2) ¹⁰

(ii) x ⁷ en la expansión de (x – 1/x ² ) ⁴⁰

Solución:

Nos dan, (x – 1/x ² ) ⁴⁰

Sabemos que el (r+1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

T _r+1 = ^norte C _r X ^n-r un ^r

= ⁴⁰ C _r (x) ^40-r (-1/x ² ) ^r

= (-1) ^r ⁴⁰ C _r x ^40-r-2r

Si x ⁷ existe en la expansión, debemos tener,

=> 40 − 3r = 7

=> 3r = 33

=> r = 11

Coeficiente de x ⁷ = (-1) ¹¹ ⁴⁰ C ₁₁

= − ⁴⁰ C ₁₁

(iii) x ^-15 en la expansión de (3x ² – a/3x ³ ) ¹⁰

Solución:

Nos dan, (3x ² – a/3x ³ ) ¹⁰

Sabemos que el (r+1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

T _r+1 = ^norte C _r X ^n-r un ^r

= ¹⁰ C _r (3x ² ) ^10-r (a/3x ³ ) ^r

= (-1) ^r ¹⁰ C _r 3 ^10-rr x ^20-2r-3r a ^r

Si x ^-15 existe en la expansión, debemos tener,

=> 20 − 5r = −15

=> 5r = 35

=> r = 7

Coeficiente de x ^-15 = (-1) ⁷ ¹⁰ C ₇ 3 ^10-14 a ⁷

= $-\frac{10×9×8}{3×2×9×9}a^7$

= −40a ^7/27

(iv) x ⁹ en la expansión de (x ² – 1/3x) ⁹

Solución:

Nos dan, (x ² – 1/3x) ⁹

Sabemos que el (r+1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

T _r+1 = ^norte C _r X ^n-r un ^r

= ⁹ C _r (x ² ) ^9-r (-1/3x) ^r

= (-1) ^r ⁹ C _r x ^18-2r-r (1/3) ^r

Si x ⁹ existe en la expansión, debemos tener,

=> 18 − 3r = 9

=> 3r = 9

=> r = 3

Coeficiente de x ⁹ = (-1) ³ ⁹ C ₃ (1/3) ³

= $-\frac{9×8×7}{2×9×9}$

= −28/9

(v) x ^m en el desarrollo de (x + 1/x) ⁿ

Solución:

Nos dan, (x + 1/x) ⁿ

Sabemos que el (r + 1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

T _r+1 = ^norte C _r x ^{n- r} (1/x ^r )

= ⁿ C _r x ^{n- 2r}

Si x ^m existe en la expansión, debemos tener,

=> norte – 2r = metro

=> r = (n – m)/2

Coeficiente de x ^m = ⁿ C _(nm)/2

= $\frac{n!}{\left( \frac{n - m}{2} \right)! \left( \frac{n + m}{2} \right)!}$

(vi) x en la expansión de (1 – 2x ³ + 3x ⁵ ) (1 + 1/x) ⁸

Solución:

Nos dan, (1 – 2x ³ + 3x ⁵ ) (1 + 1/x) ⁸

Sabemos que el (r + 1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

= (1 – 2x ³ + 3x ⁵ ) ( ⁸ C ₀ + ⁸ C ₁ (1/x) + ⁸ C ₂ (1/x ² ) + ⁸ C ₃ (1/x ³ ) + ⁸ C ₄ (1/ x ⁴ ) + ⁸ C ₅ (1/x ⁵ ) + ⁸ C ₆ (1/x ⁶ ) + ⁸ C ₇ (1/x ⁷ ) + ⁸ C ₈ (1/x ⁸ ))

Aquí, x aparece en la expresión anterior en -2 x ^{3 8} C ₂ (1/x ² ) + 3x ⁵ . ⁸ C ₄ (1/x ⁴ )

Entonces, coeficiente de x = $-2\left( \frac{8!}{2! 6!} \right) + 3\left( \frac{8!}{4! 4!} \right)$

= – 56 + 210

= 154

(vii) a ⁵ b ⁷ en la expansión de (a – 2b) ¹²

Solución:

Nos dan, (a – 2b) ¹²

Sabemos que el (r+1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

T _r+1 = ^norte C _r X ^n-r un ^r

= (-1) ^r ¹² C _r (a) ^12-r (2b) ^r

Si existe a ⁵ b ⁷ en la expansión, debemos tener,

=> 12 − r = 5

=> r = 7

Coeficiente de a ⁵ b ⁷ = (-1) ^{7 12} C ₇ (2) ⁷

= $-\frac{12×11×10×9×8×128}{5×4×3×2}$

= − 101376

(viii) x en la expansión de (1 – 3x + 7 x ² ) (1 – x) ¹⁶

Solución:

Nos dan,(1 – 3x + 7 x ² ) (1 – x) ¹⁶

Sabemos que el (r + 1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

= (1 – 3x + 7x ² ) ( ¹⁶ C ₀ + ¹⁶ C ₁ (-x) + ¹⁶ C ₂ (-x) ² + ¹⁶ C ₃ (-x) ³ + ¹⁶ C ₄ (-x) ⁴ + ¹⁶ C ₅ (-x) ⁵ + ¹⁶ C ₆ (-x) ⁶ + ¹⁶ C ₇ (-x) ⁷ + ¹⁶ C ₈ (-x) ⁸ + ¹⁶ C ₉(-x) ⁹ + ¹⁶ C ₁₀ (-x) ¹⁰ + ¹⁶ C ₁₁ (-x) ¹¹ + ¹⁶ C ₁₂ (-x)12 + ¹⁶ C ₁₃ (-x) ¹³ + ¹⁶ C ₁₄ (-x) ¹⁴ + ¹⁶ C ₁₅ (-x) ¹⁵ + ¹⁶ C ₁₆ (-x) ¹⁶ )

Aquí, x aparece en la expresión anterior en ¹⁶ C ₁ (-x) – 3x ¹⁶ C ₀

Entonces, el coeficiente de x = $-\left( \frac{16!}{1! 15!} \right) - 3\left( \frac{16!}{0! 16!} \right)$

= – 16 – 3

= – 19

Pregunta 10. ¿Qué término en la expansión de $\left[\left(\frac{x}{\sqrt{y}}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{x}{\sqrt[3]{y}}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{21}$ contiene xey a una y la misma potencia?

Solución:

Se nos da, $\left[\left(\frac{x}{\sqrt{y}}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{x}{\sqrt[3]{y}}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{21}$

Sabemos que el (r+1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

T _r+1 = ^norte C _r X ^n-r un ^r

= $^{21}C_r\left[(\frac{x}{\sqrt{y}})^{\frac{1}{3}}\right]^{21-r}\left[(\frac{y}{\sqrt[3]x})^{\frac{1}{2}}\right]^{r}$

= ²¹ C _r x ^7-r/2 y ^2r/3-7/2

Si x e y tienen la misma potencia, debemos tener,

=> 7 − r/2 = 2r/3 − 7/2

=> 7r/6 = 21/2

=> r = 9

Por lo tanto, el término requerido es 9 + 1 = 10 ^º término.

Pregunta 11. ¿La expansión de (2x ² – 1/x) ²⁰ contiene algún término que involucre x ⁹ ?

Solución:

Nos dan, (2x ² – 1/x) ²⁰

Sabemos que el (r+1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

T _r+1 = ^norte C _r X ^n-r un ^r

= ²⁰ C _r (2x ² ) ^20-r (1/x) ^r

= ²⁰ C _r (2) ^20-r x ^40-2r-r

Si x ⁹ existe en la expansión, debemos tener,

=> 40 − 3r = 9

=> 3r = 31

=> r = 31/3

No es posible, ya que r no es un número entero.

Por lo tanto, no hay ningún término con x ⁹ en el desarrollo dado.

Pregunta 12. Muestre que la expansión de (x ² + 1/x) ¹² no contiene ningún término que involucre a x ^-1 .

Solución:

Tenemos, (x ² + 1/x) ¹²

Sabemos que el (r+1) ^ésimo término de la expresión está dado por,

T _r+1 = ^norte C _r X ^n-r un ^r

= ¹² C _r (x ² ) ^12-r (1/x) ^r

= ¹² C _r x ^24-2r-r

Para que este término contenga x ^-1 , debemos tener

=> 24 – 3r = −1

=> 3r = 24 + 1

=> 3r = 25

=>r = 25/3

No es posible, ya que r no es un número entero.

Por lo tanto, no hay ningún término con x ^-1 en el desarrollo dado.

Pregunta 13. Encuentra el término medio en la expansión de:

(yo) (2/3x – 3/2x) ²⁰

Solución:

Tenemos,

(2/3x – 3/2x) ²⁰ donde, n = 20 (que es un número par)

Entonces, el término medio es (n/2 + 1) = (20/2 + 1) = (10 + 1) = 11. ^° término

Ahora,

T ₁₁ = T ₁₀₊₁

= ²⁰ C ₁₀ (2/3x) ^20-10 (3/2x) ¹⁰

= ²⁰ C ₁₀ (2 ¹⁰ /3 ¹⁰ ) × (310/210) x ^10-10

= ²⁰ C ₁₀

(ii) (x ² – 2/x) ¹⁰

Solución:

Tenemos,

(x ² – 2/x) ¹⁰ donde, n = 10 (que es un número par)

Entonces, el término medio es (n/2 + 1) = (10/2 + 1) = (5 + 1) = 6 ^° término

Ahora,

T ₆ = T ₅₊₁

= ¹⁰ C ₅ (x ² ) ^10-5 (-2/x) ⁵

= $-\frac{10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1}×32x^5$

= − 8064 × ⁵

(iii) (x/a – a/x) ¹⁰

Solución:

Tenemos,

(x/a – a/x) ¹⁰ donde, n = 10 (número par).

Entonces el término medio es (n/2 + 1) = (10/2 + 1) = (5 + 1) = 6 ^° término

Ahora,

T ₆ = T ₅₊₁

= ¹⁰ C ₅ (x/a) ^10-5 (-a/x) ⁵

= $-\frac{10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1}$

= −252

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Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Solución RD Sharma – Capítulo 18 Teorema del binomio – Ejercicio 18.2 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra el término 11 desde el principio y el término 11 desde el final en la expansión de (2x – 1/x ² ) ²⁵ .

Pregunta 2. Encuentra el séptimo término en la expansión de (3x ² – 1/x ³ ) ¹⁰ .

Pregunta 3. Encuentra el quinto término desde el final en la expansión de (3x – 1/x ² ) ¹⁰ .

Pregunta 4. Encuentra el octavo término en la expansión de (x ^3/2 y ^1/2 – x ^1/2 y ^3/2 ) ¹⁰ .

Pregunta 5. Encuentra el séptimo término en la expansión de (4x/5 + 5/2x) ⁸ .

Pregunta 6. Encuentra el cuarto término desde el principio y el cuarto término desde el final en la expansión de (x + 2/x) ⁹ .

Pregunta 7. Encuentra el cuarto término desde el final en la expansión de (4x/5 – 5/2x) ⁹ .

Pregunta 8. Encuentra el séptimo término desde el final en la expansión de (2x ² – 3/2x) ⁸ .

Pregunta 9. Encuentra el coeficiente de:

(i) x ¹⁰ en la expansión de (2x ² – 1/x) ²⁰

(ii) x ⁷ en la expansión de (x – 1/x ² ) ⁴⁰

(iii) x ^-15 en la expansión de (3x ² – a/3x ³ ) ¹⁰

(iv) x ⁹ en la expansión de (x ² – 1/3x) ⁹

(v) x ^m en el desarrollo de (x + 1/x) ⁿ

(vi) x en la expansión de (1 – 2x ³ + 3x ⁵ ) (1 + 1/x) ⁸

(vii) a ⁵ b ⁷ en la expansión de (a – 2b) ¹²

(viii) x en la expansión de (1 – 3x + 7 x ² ) (1 – x) ¹⁶

Pregunta 10. ¿Qué término en la expansión de $\left[\left(\frac{x}{\sqrt{y}}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{x}{\sqrt[3]{y}}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{21}$ contiene xey a una y la misma potencia?

Pregunta 11. ¿La expansión de (2x ² – 1/x) ²⁰ contiene algún término que involucre x ⁹ ?

Pregunta 12. Muestre que la expansión de (x ² + 1/x) ¹² no contiene ningún término que involucre a x ^-1 .

Pregunta 13. Encuentra el término medio en la expansión de:

(yo) (2/3x – 3/2x) ²⁰

(ii) (x ² – 2/x) ¹⁰

(iii) (x/a – a/x) ¹⁰

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Pregunta 1. Encuentra el término 11 desde el principio y el término 11 desde el final en la expansión de (2x – 1/x 2 ) 25 .

Pregunta 2. Encuentra el séptimo término en la expansión de (3x 2 – 1/x 3 ) 10 .

Pregunta 3. Encuentra el quinto término desde el final en la expansión de (3x – 1/x 2 ) 10 .

Pregunta 4. Encuentra el octavo término en la expansión de (x 3/2 y 1/2 – x 1/2 y 3/2 ) 10 .

Pregunta 5. Encuentra el séptimo término en la expansión de (4x/5 + 5/2x) 8 .

Pregunta 6. Encuentra el cuarto término desde el principio y el cuarto término desde el final en la expansión de (x + 2/x) 9 .

Pregunta 7. Encuentra el cuarto término desde el final en la expansión de (4x/5 – 5/2x) 9 .

Pregunta 8. Encuentra el séptimo término desde el final en la expansión de (2x 2 – 3/2x) 8 .

Pregunta 9. Encuentra el coeficiente de:

(i) x 10 en la expansión de (2x 2 – 1/x) 20

(ii) x 7 en la expansión de (x – 1/x 2 ) 40

(iii) x -15 en la expansión de (3x 2 – a/3x 3 ) 10

(iv) x 9 en la expansión de (x 2 – 1/3x) 9

(v) x m en el desarrollo de (x + 1/x) n

(vi) x en la expansión de (1 – 2x 3 + 3x 5 ) (1 + 1/x) 8

(vii) a 5 b 7 en la expansión de (a – 2b) 12

(viii) x en la expansión de (1 – 3x + 7 x 2 ) (1 – x) 16

Pregunta 10. ¿Qué término en la expansión de contiene xey a una y la misma potencia?

Pregunta 11. ¿La expansión de (2x 2 – 1/x) 20 contiene algún término que involucre x 9 ?

Pregunta 12. Muestre que la expansión de (x 2 + 1/x) 12 no contiene ningún término que involucre a x -1 .

Pregunta 13. Encuentra el término medio en la expansión de:

(yo) (2/3x – 3/2x) 20

(ii) (x 2 – 2/x) 10

(iii) (x/a – a/x) 10

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Pregunta 1. Encuentra el término 11 desde el principio y el término 11 desde el final en la expansión de (2x – 1/x ² ) ²⁵ .

Pregunta 2. Encuentra el séptimo término en la expansión de (3x ² – 1/x ³ ) ¹⁰ .

Pregunta 3. Encuentra el quinto término desde el final en la expansión de (3x – 1/x ² ) ¹⁰ .

Pregunta 4. Encuentra el octavo término en la expansión de (x ^3/2 y ^1/2 – x ^1/2 y ^3/2 ) ¹⁰ .

Pregunta 5. Encuentra el séptimo término en la expansión de (4x/5 + 5/2x) ⁸ .

Pregunta 6. Encuentra el cuarto término desde el principio y el cuarto término desde el final en la expansión de (x + 2/x) ⁹ .

Pregunta 7. Encuentra el cuarto término desde el final en la expansión de (4x/5 – 5/2x) ⁹ .

Pregunta 8. Encuentra el séptimo término desde el final en la expansión de (2x ² – 3/2x) ⁸ .

(i) x ¹⁰ en la expansión de (2x ² – 1/x) ²⁰

(ii) x ⁷ en la expansión de (x – 1/x ² ) ⁴⁰

(iii) x ^-15 en la expansión de (3x ² – a/3x ³ ) ¹⁰

(iv) x ⁹ en la expansión de (x ² – 1/3x) ⁹

(v) x ^m en el desarrollo de (x + 1/x) ⁿ

(vi) x en la expansión de (1 – 2x ³ + 3x ⁵ ) (1 + 1/x) ⁸

(vii) a ⁵ b ⁷ en la expansión de (a – 2b) ¹²

(viii) x en la expansión de (1 – 3x + 7 x ² ) (1 – x) ¹⁶

Pregunta 10. ¿Qué término en la expansión de $\left[\left(\frac{x}{\sqrt{y}}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{x}{\sqrt[3]{y}}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{21}$ contiene xey a una y la misma potencia?

Pregunta 11. ¿La expansión de (2x ² – 1/x) ²⁰ contiene algún término que involucre x ⁹ ?

Pregunta 12. Muestre que la expansión de (x ² + 1/x) ¹² no contiene ningún término que involucre a x ^-1 .

(yo) (2/3x – 3/2x) ²⁰

(ii) (x ² – 2/x) ¹⁰

(iii) (x/a – a/x) ¹⁰