Pregunta 1. Sea A el conjunto de todos los seres humanos de un pueblo en un momento determinado. Determine si cada una de las siguientes relaciones es reflexiva, simétrica y transitiva:
(i) R = {(x. y) x e y trabajan en el mismo lugar}
(ii) R = {(x. y) x e y viven en la misma localidad}
(iii) R = {(x. y ) x es esposa de y}
(iv) R = {(x. y) x es padre de y}
Solución:
(i) Dada la relación R = {(x, y): x e y trabajan en el mismo lugar}
Ahora tenemos que comprobar si la relación es reflexiva o no.
Compruebe si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea x cualquier elemento de R.
Entonces, x ∈ R
⇒ x y x trabajan en el mismo lugar es cierto ya que son iguales.
⇒ (x, x) ∈ R [condición para relación reflexiva]
Entonces, R es una relación reflexiva.
Ahora tenemos que comprobar si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b) ∈ A.
Sea (x, y) ∈ R
⇒ x e y trabajan en el mismo lugar [ya que se da en la pregunta]
⇒ y y x trabajan en el mismo lugar [igual que “x e y trabajan en el mismo lugar”]
⇒ (y, x) ∈ R
Entonces, R también es una relación simétrica.
Ahora tenemos que comprobar si la relación dada es una relación transitiva o no. Se dice que la relación R es transitiva sobre el conjunto A si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sean (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R.
Entonces, x e y trabajan en el mismo lugar. [Dado]
y y z también funcionan en el mismo lugar. [(y, z) ∈ R]
⇒ x, yyz funcionan todos en el mismo lugar.
⇒ x y z trabajan en el mismo lugar.
⇒ (x, z) ∈ R
Por lo tanto, R también es una relación transitiva.
Entonces, la relación R = {(x, y): x e y trabajan en el mismo lugar} es una relación reflexiva, una relación simétrica y también una relación transitiva .
(ii) Dada la relación R = {(x, y): x e y viven en la misma localidad}
Ahora tenemos que comprobar si la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva o no.
Compruebe si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea x cualquier elemento de la relación R.
Entonces, x ∈ R
Se da que x y x viven en la misma localidad es cierto ya que son lo mismo.
Entonces, R es una relación reflexiva.
Ahora tenemos que comprobar si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b) ∈ A.
Sea (x, y) ∈ R
⇒ x e y viven en la misma localidad [se da en la pregunta]
⇒ y y x viven en la misma localidad [si x e y viven en la misma localidad, entonces y y x también viven en la misma localidad]
⇒ (y, x) ∈ R
Entonces, R también es una relación simétrica.
Ahora tenemos que comprobar si la relación dada es una relación transitiva o no. Se dice que la relación R es transitiva sobre el conjunto A si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sean x, y y z elementos cualquiera de R y (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R.
Después,
x e y viven en la misma localidad e y y z viven en la misma localidad
⇒ x, y y z todos viven en la misma localidad
⇒ x y z viven en la misma localidad
⇒ (x, z) ∈ R
Entonces, R también es una relación transitiva.
Entonces, la relación R = {(x, y): x e y viven en la misma localidad} es una relación reflexiva, una relación simétrica y también una relación transitiva.
(iii) Dado R = {(x, y): x es esposa de y}
Ahora tenemos que comprobar si la relación R es una relación reflexiva, simétrica y transitiva o no.
Compruebe si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea x un elemento de R.
Entonces, x es esposa de x no puede ser cierto. [ya que la misma persona no puede ser la esposa de sí misma]
⇒ (x, x) ∉ R
Entonces, R no es una relación reflexiva.
Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b) ∈ A.
Sea (x, y) ∈ R
⇒ x es esposa de y
⇒ x es mujer e y es hombre
⇒ y no puede ser esposa de x como y es esposo de x
⇒ (y, x) ∉ R
Entonces, R no es una relación simétrica.
Compruebe si la relación dada es una relación transitiva o no. Se dice que la relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sea (x, y) ∈ R, pero (y, z) ∉ R
Ya que x es esposa de y, pero y no puede ser esposa de z, ya que y es esposo de x.
⇒ x no es la esposa de z.
⇒(x, z)∈ R
Entonces, R es una relación transitiva.
Por lo tanto, la relación dada R = {(x, y): x es esposa de y} es una relación transitiva pero no una relación reflexiva y simétrica .
(iv) Dada la relación R = {(x, y): x es padre de y}
Ahora tenemos que comprobar si la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva o no.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea x un elemento arbitrario de R.
Entonces, x es padre de x no puede ser cierto. [ya que nadie puede ser padre de sí mismo]
Entonces, R no es una relación reflexiva.
Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Sea (x, y)∈ R
⇒ x es el padre de y.
⇒ y es hijo/hija de x.
⇒ (y, x) ∉ R
Entonces, R no es una relación simétrica.
Ahora, verifique si la relación dada es una relación transitiva o no. Se dice que la relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sean (x, y)∈ R y (y, z)∈ R.
Entonces, x es padre de y e y es padre de z
⇒ x es abuelo de z
⇒ (x, z)∉ R
Entonces, R no es una relación transitiva.
Por lo tanto, la relación dada R = {(x, y): x es padre de y} no es una relación reflexiva, ni una relación simétrica, ni tampoco una relación transitiva .
Pregunta 2. Tres relaciones R1, R2 y R3 se definen en un conjunto A = {a, b, c} como sigue:
R1 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) }
R2 = {(a, a)}
R3 = {(b, c)}
R4 = {(a, b), (b, c), (c, a)}.
Encuentre si cada una de las relaciones R1, R2, R3, R4 en A es o no (i) reflexiva (ii) simétrica y (iii) transitiva.
Solución:
i) Considerando la relación R1, tenemos
R1 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) }
Ahora tenemos que comprobar que R1 es reflexivo, simétrico y transitivo o no.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Dados (a, a), (b, b) y (c, c) ∈ R1 [dado que cada elemento se mapea a sí mismo]
Entonces, R1 es reflexivo.
Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Vemos que por cada par ordenado (x, y), hay un par (y, x) presente en la relación R1.
Entonces, R1 es simétrico.
Transitiva: Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
En la relación, (a, b) ∈ R1, (b, c) ∈ R1 y también (a, c) ∈ R1
Entonces, R1 es transitivo.
Por lo tanto, R1 es una relación reflexiva, una relación simétrica y también una relación transitiva.
(ii) Considerando la relación R2, tenemos
R2 = {(un, un)}
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Podemos ver que (a, a) ∈ R2. [ya que cada elemento se asigna a sí mismo]
Entonces, R2 es una relación reflexiva.
Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Podemos ver que (a, a) ∈ R
⇒ (a, a) ∈ R.
Entonces, R2 es simétrico.
Compruebe si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
R2 es claramente una relación transitiva. [ya que solo hay un elemento en él]
Por lo tanto, R2 es relación reflexiva, relación simétrica y también relación transitiva.
(iii) Considerando la relación R3, tenemos
R3 = {(b, c)}
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
En la relación, (a, a)∉ R3, (b, b)∉ R3 ni (c, c) ∉ R3.
Entonces, R3 no es reflexivo. [ya que todos los pares de tipo (x, x) deben estar presentes en la relación]
Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
En la relación, (b, c) ∈ R3, pero (c, b) ∉ R3
Entonces, R3 no es simétrico.
Compruebe si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
R3 tiene solo dos elementos.
Por lo tanto, R3 es transitivo.
Por lo tanto, R2 es una relación transitiva pero no una relación reflexiva y tampoco una relación simétrica .
(iv) Considerando la relación R4, tenemos
R4 = {(a, b), (b, c), (c, a)}
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
En la relación, (a, a) ∉ R4, (b, b) ∉ R4 (c, c) ∉ R4
Entonces, R4 no es una relación reflexiva.
Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Aquí, (a, b) ∈ R4, pero (b, a) ∉ R4.
Entonces, R4 no es simétrico.
Compruebe si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
En la relación, (a, b) ∈ R4, (b, c) ∈ R4, pero (a, c) ∉ R4
Entonces, R4 no es una relación transitiva.
Por tanto, R2 no es una relación reflexiva, ni una relación simétrica, ni tampoco una relación transitiva .
Pregunta 3. Pruebe si las siguientes relaciones R 1 , R 2 y R 3 son (i) reflexivas (ii) simétricas y (iii) transitivas:
(i) R 1 en Q0 definido por (a, b) ∈ R 1 ⇔ a = 1/b.
(ii) R 2 sobre Z definido por (a, b) ∈ R 2 ⇔ |a – b| ≤ 5
(iii) R 3 sobre R definido por (a, b) ∈ R 3 ⇔ a2 – 4ab + 3b2 = 0.
Solución:
i) Dado R 1 sobre Q 0 definido como (a, b) ∈ R 1 ⇔ a = 1/b.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea a un elemento de R1.
Entonces, a ∈ R1
⇒ un ≠1/a ∀ un ∈ Q 0
Entonces, R1 no es reflexivo.
Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Sea (a, b) ∈ R1
Entonces, (a, b) ∈ R1
Por lo tanto, podemos escribir ‘a’ como a =1/b
⇒ b = 1/a
⇒ (b, a) ∈ R1
Entonces, R1 es simétrico.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Aquí, (a, b) ∈ R1 y (b, c) ∈ R2
⇒ a = 1/b y b = 1/c
⇒ a = 1/ (1/c) = c
⇒ un ≠ 1/c
⇒ (a, c) ∉ R1
Entonces, R1 no es una relación transitiva.
(ii) Dado R2 sobre Z definido como (a, b) ∈ R2 ⇔ |a – b| ≤ 5
Ahora tenemos que comprobar si R2 es reflexivo, simétrico y transitivo o no.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea a un elemento de R2.
Entonces, a ∈ R2
Al aplicar la condición dada obtendremos,
⇒ | a−a | = 0 ≤ 5
Entonces, R1 es una relación reflexiva.
Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Sea (a, b) ∈ R2
⇒ |a−b| ≤ 5 [Ya que, |a−b| = |b−a|]
⇒ |b−a| ≤ 5
⇒ (b, a) ∈ R2
Entonces, R2 es una relación simétrica.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sean (1, 3) ∈ R2 y (3, 7) ∈ R2
⇒|1−3|≤5 y |3−7|≤5
Pero |1−7| ≰ 5
⇒ (1, 7) ∉ R2
Entonces, R2 no es una relación transitiva.
(iii) Dado R3 sobre R definido como (a, b) ∈ R3 ⇔ a 2 – 4ab + 3b 2 = 0.
Ahora tenemos que comprobar si R2 es reflexivo, simétrico y transitivo o no.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea a un elemento de R3.
Entonces, a ∈ R3.
⇒ un 2 − 4a × a+ 3a 2 = 0
Entonces, R3 es reflexivo
Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Sea (a, b) ∈ R3
⇒ a 2 −4ab+3b 2 =0
Pero b 2 −4ba+3a 2 ≠ 0 ∀ a, b ∈ R
Entonces, R3 no es simétrico.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sean (1, 2) ∈ R3 y (2, 3) ∈ R3
⇒ 1 − 8 + 6 = 0 y 4 – 24 + 27 = 0
Pero 1 – 12 + 9 ≠ 0
Entonces, R3 no es una relación transitiva.
Pregunta 4. Sea A = {1, 2, 3}, y sea R1 = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 1), ( 3, 3)}, R2 = {(2, 2), (3, 1), (1, 3)}, R3 = {(1, 3), (3, 3)}. Encuentre si cada una de las relaciones R1, R2, R3 en A es o no (i) reflexiva (ii) simétrica (iii) transitiva.
Solución:
Considerando la relación R1, tenemos
R1 = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 1), (3, 3)}
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Aquí, (1, 1) ∈ R, (2, 2) ∈ R, (3, 3) ∈ R
Entonces, R1 es reflexivo.
Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
En la relación dada, (2, 1) ∈ R1 pero (1, 2) ∉ R1
Entonces, R1 no es simétrico.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
En la relación, (2, 1) ∈ R1 y (1, 3) ∈ R1 pero (2, 3) ∉ R1
Entonces, R1 no es transitivo.
Por lo tanto, la relación R1 es una relación reflexiva pero no simétrica y transitiva.
Ahora considerando la relación R2, tenemos
R2 = {(2, 2), (3, 1), (1, 3)}
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Claramente, (1, 1) y (3, 3) ∉ R2
Entonces, R2 no es una relación reflexiva.
Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
En la relación, (1, 3) ∈ R2 y (3, 1) ∈ R2
Entonces, R2 es una relación simétrica.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
En la relación, (1, 3) ∈ R2 y (3, 1) ∈ R2 pero (3, 3) ∉ R2
Entonces, R2 no es una relación transitiva.
Por lo tanto, la relación R2 es simétrica pero no una relación reflexiva y transitiva .
Considerando la relación R3, tenemos
R3 = {(1, 3), (3, 3)}
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
En la relación, (1, 1) ∉ R3
Entonces, R3 no es reflexivo.
Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
En la relación (1, 3) ∈ R3, pero (3, 1) ∉ R3
Entonces, R3 no es simétrico.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Aquí, (1, 3) ∈ R3 y (3, 3) ∈ R3
Además, (1, 3) ∈ R3
Entonces, R3 es transitivo.
Por lo tanto, la relación R3 es transitiva pero no una relación reflexiva y simétrica .
Pregunta 5. La siguiente relación se define sobre el conjunto de los números reales.
(i) aRb si a – b > 0
(ii) aRb si y si 1 + ab > 0
(iii) aRb si |a| ≤ segundo.
Encuentra si la relación es reflexiva, simétrica o transitiva.
Solución:
(i) Considere la relación definida como aRb si a – b > 0
Ahora, para esta relación, tenemos que verificar si es reflexiva, transitiva y simétrica o no.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea a un elemento de R.
Entonces, a ∈ R
Pero un − un = 0 ≯ 0
Entonces, esta relación no es una relación reflexiva.
Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Sean (a, b) ∈ R
⇒ un – segundo > 0
⇒ − (b − a) > 0
⇒ segundo − un < 0
Entonces, la relación dada no es una relación simétrica.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sean (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R.
Entonces, a − b > 0 y b − c > 0
Sumando los dos, obtendremos
un – segundo + segundo – do > 0
⇒ a – c > 0
⇒ (a, c) ∈ R.
Entonces, la relación dada es una relación transitiva.
(ii) Considere la relación definida como aRb iff (léase como “si y solo si”) 1 + ab > 0
Ahora, para esta relación, tenemos que verificar si es reflexiva, transitiva y simétrica o no.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea a un elemento de R.
Entonces, a ∈ R
⇒ 1 + a × a > 0
es decir, 1 + a 2 > 0 [ya que el cuadrado de cualquier número es positivo]
Entonces, la relación dada es una relación reflexiva.
Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Sean (a, b) ∈ R
⇒ 1 + ab > 0
⇒ 1 + ba > 0
⇒ (b, a) ∈ R
Entonces, la relación dada es simétrica.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sean (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R
⇒1 + ab > 0 y 1 + bc >0
Pero 1+ ac ≯ 0
⇒ (a, c) ∉ R
Entonces, la relación dada no es una relación transitiva.
(iii) Considere la relación definida como aRb si |a| ≤ segundo.
Ahora, para esta relación, tenemos que verificar si es reflexiva, transitiva y simétrica o no.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea a un elemento de la relación R.
Entonces, a ∈ R [Ya que, |a|=a]
⇒ |a| ≮ un
Entonces, R no es una relación reflexiva.
Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Sean (a, b) ∈ R
⇒ |a| ≤ segundo
⇒ |b| ≰ un ∀ un, segundo ∈ R
⇒ (b, a) ∉ R
Entonces, R no es una relación simétrica.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sean (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R
⇒ |un| ≤ by |b| ≤ do
Multiplicando los lados correspondientes, obtendremos
|un| × |b| ≤ antes de Cristo
⇒ |un| ≤ do
⇒ (a, c) ∈ R
Por lo tanto, R es una relación transitiva.
Pregunta 6. Comprueba si la relación R definida en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} como R = {(a, b): b = a + 1} es reflexiva, simétrica o transitiva.
Solución:
Dado R = {(a, b): b = a + 1}
Ahora, para esta relación tenemos que comprobar si es reflexiva, transitiva y simétrica o no.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea a un elemento de R.
Entonces, a = a + 1 no puede ser cierto para todo a ∈ A.
⇒ (a, a) ∉ R
Entonces, R no es una relación reflexiva sobre el conjunto dado.
Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Sean (a, b) ∈ R
⇒ segundo = un + 1
⇒ −a = −b + 1
⇒ un = segundo − 1
Entonces, (b, a) ∉ R
Por tanto, R no es una relación simétrica sobre el conjunto dado.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Sean (1, 2) y (2, 3) ∈ R
⇒ 2 = 1 + 1 y 3
2 + 1 es cierto.
Pero 3 ≠ 1+1
⇒ (1, 3) ∉ R
Entonces, R no es una relación transitiva sobre el conjunto dado.
Pregunta 7. Comprueba si la relación R sobre R definida como R = {(a, b): a ≤ b 3 } es reflexiva, simétrica o transitiva.
Solución:
Hemos dado la relación R = {(a, b): a ≤ b 3 }
Primero comprobemos si la relación dada es reflexiva o no.
Se puede observar que (1/2, 1/2) en R como 1/2 > (1/2) 3 = 1/8
Entonces, R no es una relación reflexiva.
Ahora, comprueba si la relación es simétrica o no.
(1, 2) ∈ R (como 1 < 2 3 = 8)
Pero,
(2, 1) ∉ R (como 2 > 1 3 = 1)
Entonces, R no es una relación simétrica.
Tenemos (3, 3/2), (3/2, 6/5) en “R as” 3 < (3/2) 3 y 3/2 < (6/5) 3
Pero (3, 6/5) ∉ R cuando 3 > (6/5) 3
Entonces, R no es una relación transitiva.
Por lo tanto, R no es ni reflexivo, ni simétrico, ni transitivo .
Pregunta 8. Demuestre que toda relación de identidad en un conjunto es reflexiva, pero lo contrario no es necesariamente cierto.
Solución:
Verificaremos esto tomando un ejemplo.
Sea A un conjunto.
Entonces, la relación de Identidad IA=I A es reflexiva, ya que (a, a) ∈ A ∀ a ∈ A.
Lo contrario de esto no tiene por qué ser necesariamente cierto.
Ahora, considere el conjunto A = {1, 2, 3}
Aquí, la relación R = {(1, 1), (2, 2) , (3, 3), (2, 1), (1, 3)} es reflexiva sobre A.
Pero, R no es una relación de identidad.
Por lo tanto, se demostró que toda relación de identidad en un conjunto es reflexiva, pero lo contrario no es necesariamente cierto.
Pregunta 9. Si A = {1, 2, 3, 4} define relaciones en A que tienen propiedades de ser
(i) Reflexivo, transitivo pero no simétrico
(ii) Simétrico pero ni reflexivo ni transitivo.
(iii) Reflexivo, simétrico y transitivo.
Solución:
(i) Hemos dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4}
La relación en A que tiene las propiedades de ser reflexiva, transitiva, pero no simétrica es
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 1)}
La relación R satisface la reflexividad y la transitividad.
⇒ (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R [satisface la propiedad de reflexividad]
y (1, 1), (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R [satisface la propiedad de transitividad]
Sin embargo, (2, 1) ∈ R, pero (1, 2) ∉ R [no satisface la propiedad simétrica]
(ii) Hemos dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4}
La relación en A que tiene las propiedades de ser reflexiva, transitiva, pero no simétrica es
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 1)}
La relación R satisface la reflexividad y la transitividad.
⇒ (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R [satisface la propiedad de reflexividad]
Y (1, 1), (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R [satisface la propiedad de transitividad]
Sin embargo, (2, 1) ∈ R, pero (1, 2) ∉ R [no satisface la propiedad simétrica]
(iii) Hemos dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4}
La relación sobre A que tiene las propiedades de ser simétrica, reflexiva y transitiva es
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1)}
La relación R satisface reflexividad, simetría y transitividad.
⇒ (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R [satisface la propiedad de reflexividad]
⇒ (1, 1) ∈ R y (2, 1) ∈ R [satisface la propiedad simétrica]
⇒ (1, 1), (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R [satisface la propiedad de transitividad]
Pregunta 10. Sea R una relación definida sobre el conjunto de los números naturales N como R={(x, y): x, y ∈ N, 2x + y = 41}. Encuentre el dominio y el rango de R. También verifique si R es (i) reflexivo (ii) simétrico (iii) transitivo.
Solución:
Hemos dado,
{(x, y) : x, y ∈ norte, 2x + y = 41}
Ahora,
2x + y = 41
⇒ y = 41 – 2x
Ponga el valor de x uno por uno para formar la relación R.
La relación la haremos después de poner x = 1, 2, 3,……. ,20 es:
[no podemos poner x=21 ya que y = 41 – 2(2) < 0, que no es un número natural]R = {(1, 39), (2, 37), (3, 35)………….., (20, 1)}
Entonces el dominio de R es
Dominio(R) = {1, 2, 3, ………, 20}Y el rango de R es
Rango(R) = {39, 37, 33, ……. ,1} y se puede reorganizar como {1, 3, 5, ……….. ,39}Ahora, para esta relación, tenemos que verificar si es reflexiva, transitiva y simétrica o no.
Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.
Sea x un elemento cualquiera de la relación R.
Como, (2, 2) ∉ R
Entonces, R no es una relación reflexiva.
Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.
Como (1, 39) ∈ R pero (39, 1) ∉ R.
Entonces, R no es simétrico.
Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.
Como (15,11) ∈ R y (11,19) ∈ R pero (15,19) ∉ R.
Por tanto, R no es transitiva.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por AnupamPrakash1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA