Pregunta 11. Sea O el origen. Definimos una relación entre dos puntos P y Q en un plano si OP = OQ. Muestre que la relación así definida es una relación de equivalencia.
Solución:
Sea A el conjunto de puntos del plano
y sea R = {(P, Q): OP = OQ} una relación sobre A donde O es el origen.
ahora (i) reflexibilidad:
sea P ∈ A
ya que, OP = OP
:. P, P ∈ R
entonces, la relación R es reflexiva
(ii) simetría:
sea (P, Q) ∈ R para P, Q ∈ A
=>OQ = PO
:. (Q, P) ∈ R
por lo tanto, la relación R es simétrica.
lly (iii) transitiva:
sea (P,Q) ∈ R y (Q,S) ∈ R
OP = sistema operativo
(P, S) ∈ R
por tanto, la relación R es transitiva.
entonces, la relación R es una relación de equivalencia sobre A.
Pregunta 12. Sea R la relación definida en el conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7} por R={(a,b): tanto a como b son pares o impares}. Demuestre que R es una relación de equivalencia. Además, demuestre que todos los elementos del subconjunto {1,3,5,7} están relacionados entre sí y todos los elementos del subconjunto {2,4,6} están relacionados entre sí, pero ningún elemento del subconjunto {1,3,5,7} está relacionado con cualquier elemento del subconjunto {2,4,6}
Solución:
Dado, A={1,2,3,4,5,6,7}
R={(a,b): tanto a como b son pares o impares}
claramente, (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7) ∈ R
entonces, la relación R es reflexiva.
Además, por simetría,
a, b ∈ A tal que (a, b) ∈ R
tanto a como b son pares o impares
tanto b como a son pares o impares
=>(b, a) ∈ R
entonces, la relación R también es simetría
lly, por transitividad,
sean a, b, c ∈ Z tales que (a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R
tanto a como b son pares o impares
tanto b como c son pares o impares
si tanto a como b son pares entonces,
(b,c) ∈ R => tanto b como c son pares
:. tanto a como c son pares
y si tanto a como b son impares, entonces
(b,c) ∈ R =>tanto b como c son impares
tanto a como c son impares
Por lo tanto, tanto a como c son pares e impares.
por tanto, (a,c) ∈ R
entonces, (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R => (a,c) ∈ R
entonces, la relación R es transitiva
prueba que R es una relación de equivalencia.
Observamos que {1,3,5,7} solo están relacionados entre sí y {2,4,6} están relacionados entre sí.
Pregunta 13. Sea el conjunto S una relación sobre el conjunto de todos los números reales definidos como S = {(a,b) ∈ R x R: a 2 + b 2 = 1}
Solución:
Observemos las siguientes propiedades de S
(i) Reflexibilidad: sea a un elemento arbitrario de R
un ∈ R
=> a 2 + a 2 ≠ 1 para todo a ∈ R
entonces, S no es reflexivo sobre R.
(ii) simetría:
sea (a, b) ∈ R
un 2 + segundo 2 = 1
segundo 2 + un 2 = 1
=> (b, a) ∈ S para todo a, b ∈ R
Entonces, S es simétrica en R
(iii) transitividad:
Sean (a,b) y (b,c) ∈ S
a 2 + b 2 = 1 y b 2 + c 2 = 1
Sumando ambas ecuaciones obtendremos,
a 2 + c 2 = 2 – 2b 2 ≠ 1 para todo a, b, c ∈ R
Entonces, S no es transitivo en R
Por lo tanto, S no es una relación de equivalencia en R
Pregunta 14. Sea Z el conjunto de todos los enteros y Z 0 el conjunto de todos los enteros distintos de cero. Sea definida una relación R sobre Z x Z 0 como (a,b) R (c,d) <=>ad =bc para todo (a,b), (c,d) ∈ Z x Z 0 . Demuestre que R es una relación de equivalencia sobre Z x Z 0 .
Solución:
Observemos las propiedades de R
(i) reflexibilidad:
sea (a,b) un elemento arbitrario de Z x Z 0
(a,b) ∈ ZxZ 0
a,b ∈ Z,Z 0
ab = ba
(a,b) ∈ R para todo (a,b) ∈ ZxZ 0
R es reflexivo
(ii) simetría:
Sean (a,b), (c,d) ∈ ZxZ 0 tal que (a,b) R (c,d)
=> anuncio = bc
=> cb = da
(c, d) R (a, b)
Así, (a,b) R (c,d) => (c,d) R (a,b) para todo (a,b), (c,d) ∈ ZxZ 0
entonces, R es simétrica.
(iii) transitividad:
Sean (a,b), (c,d), (e,f) ∈ NxN 0 tales que (a,b) R (c,d) y (c,d) R (e,f)
(a,b) R (c,d) => ad = bc
(c,d) R (e,f) => cf = de
de esto, obtenemos (ad) (cf) = (bc) (de)
=> af = ser
(a, b) R (e, f)
entonces, R es transitiva.
Por tanto, se prueba que la relación R es una relación de equivalencia.
Pregunta 15. Si R y S son relaciones en un conjunto A, entonces demuestre que
(i) R y S son simétricos = R ∩ S y R ∪ S son simétricos
(ii) R es reflexivo y S es cualquier relación => R∪ S es reflexivo.
Solución:
(i) R y S son relaciones simétricas en el conjunto A
=> R ⊂ A x A y S ⊂ A x A
=> R ∩ S ⊂ UN x UN
por tanto, R ∩ S es una relación sobre A
sea a, b ∈ A tal que (a,b) ∈ R ∩ S
(a, b) ∈ R ∩ S
=> (a,b) ∈ R y (a,b) ∈ S
=> (b,a) ∈ R y (b,a) ∈ S
por tanto, (a,b) ∈ R ∩ S
=> (b,a) ∈ R ∩ S para todo a, b ∈ A
entonces, R ∩ S es simétrico en A
Además, sean a, b ∈ R tales que (a,b) ∈ R ∪ S
=> (a,b) ∈ R o (a,b) ∈ S
= (b,a) ∈ R o (b,a) ∈ S [ya que R y S son simétricos]
=> (b,a) ∈ R ∪ S
por lo tanto, R ∪ S es simétrico en A
(ii) R es reflexivo y S es cualquier relación:
Supongamos que un ∈ A
entonces, (a,a) ∈ R [ya que R es reflexiva]
=> (a,a) ∈ R ∪ S
=> R ∪ S es reflexivo sobre A .
Pregunta 16. Si R y S son relaciones transitivas sobre un conjunto A, entonces demuestre que R ∪ S puede no ser una relación transitiva sobre A.
Solución:
Sean A = {a,b,c} y R y S dos relaciones sobre A, dadas por
R = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)} y
S = {(b, b), (b, c), (c, b), (c, c)}
Aquí, las relaciones R y S son transitivas en A
(a,b) ∈ R ∪ S y (b,c) ∈ R ∪ S
pero (a,c) ∉ R ∪ S
Por tanto, R ∪ S no es una relación transitiva sobre A.
Pregunta 17. Sea C el conjunto de todos los números complejos y C 0 el conjunto de todos los números complejos distintos de cero. Sea una relación R y C 0 definida como Z 1 RZ 2 <=> z 1 – z 2 / z 1 + z 2 es real para todo Z 1 , Z 2 ∈ C 0. Demuestre que R es una relación de equivalencia.
Solución:
(i) reflexibilidad:
ya que, z 1 – z 2 / z 1 + z 2 = 0 que es un número real
entonces, (z 1 , z 1 ) ∈ R entonces,
la relación R es reflexiva.
(ii) simetría;
z 1 – z 2 / z 1 + z 2 = x, donde x es un número real
=> – (z 1 – z 2 / z 1 + z 2 ) = -x
entonces, (z 2 , z 1 ) ∈ R
Por lo tanto, R es simétrica.
(iii) transitividad:
Sean (z 1 ,z 2 ) ∈ R y (z 2 ,z 3 ) ∈ R
después,
z 1 -z 2 / z 1 +z 2 = x donde x es un número real
=> z 1 – z 2 = xz 1 + xz 2
=> z 1 – xz 1 = z 2 + xz 2
=> z 1 (1 – x) = z 2 (1+x)
=> z 1 /z 2 = (1+x)/(1-x) …. ecuación (1)
también, z 2 -z 3 /z 2 +z 3 = y donde y es un número real
=> z2 – z3 = yz2 + yz3
=> z2 – yz2 = z3 + yz3
=> z 2 (1-y) = z 3 (1+y)
=> z 2 /z 3 = (1+y)/(1-y)….ecuación(2)
dividiendo (1) y (2) obtenemos
z 1 /z 3 = (1+x / 1-x) X (1-y / 1+y) = z donde z es un número real
=> z 1 -z 3 / z 1 +z 3 = z-1/z+1 que es real
=> (z 1 , z 3 ) ∈ R
Por lo tanto, R es transitiva
Por tanto, se prueba que la relación R es una relación de equivalencia.
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Artículo escrito por richamshh27 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA