Pregunta 1. Demostrar que la relación R = {(a,b): ab es divisible por 3;, a, b ∈ Z} es una relación de equivalencia.
Solución:
Según pregunta, relación R = {(a,b): ab es divisible por 3;, a, b ∈ Z}
Tenemos que demostrar que R es una relación de equivalencia.
(i) reflexividad:
sea a = z
=> un – un = 0
=> 0 es divisible por 3
:. a es divisible por 3
(a, a) ∈ R,
Por lo tanto, la relación R es reflexiva.
(ii) simetría:
Sean a, b∈ Z y (a, b) ∈ R
=> a – b es divisible por 3
=> a – b = 3x, para alguna x ∈ Z
=> b -a = 3 (-x)
aquí, -x ∈ Z
:. b – a es divisible por 3
Por tanto, (b- a) ∈ R para todo a, b ∈ Z
Entonces, la relación R es simétrica.
(iii) transitividad:
sean (a, b) y (b, c) ∈ R
a – b y b – c es divisible por 3
a – b = 3x, para alguna x ∈ Z & (ecuación 1)
b – c = 3y, para alguna y ∈ Z (ecuación 2)
Sumando las ecuaciones anteriores 1 y 2, obtenemos
a-c = 3(x + y)
aquí, x e y ∈ Z
entonces, a – c es divisible por 3
Por tanto, a – c ∈ R para todo a, c ∈ Z
por tanto, la relación R es transitiva.
Como sabemos si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva al mismo tiempo, entonces se le llama relación de equivalencia.
Por tanto, la Relación R es una relación de equivalencia.
Pregunta 2. Demostrar que la relación R sobre el conjunto de los enteros, dada por R = {(a, b): 2 divide a – b}, es una relación de equivalencia.
Solución:
Dado, R = {(a, b): 2 divide a – b} que se define en Z
Tenemos que demostrar que la relación R es una relación de equivalencia
(i) reflexibilidad:
sea na un elemento arbitrario en el conjunto Z
entonces a ∈ R
un – un = 0
=> 0 X 2 = 0
2 divide a – a
=> (un, un) ∈ R
:. La relación R es una relación reflexiva.
Ahora, (ii) simétrico:
sea (a, b) ∈ R
2 divide a – b
a – b = 2x para algún x ∈ Z
b – a = 2 (- x) donde – x ∈ Z
2 divide b – a
=> (b, a) ∈ R
y (a, b) ∈ R
por lo tanto, la relación R es simétrica.
(iii) transitividad:
sean a, b, c ∈ Z tales que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R
entonces, (a, b) ∈ R => 2 divide b – a
b – a = 2x para algún x ∈ Z (ecuación 1)
y(b – c) ∈ R
2 divide c – b => c – b = 2y para alguna y ∈ Z (ecuación 2)
al resolver la ecuación 1 y 2,
c – a = 2 (x + y) donde x + y ∈ Z
2 divide c – a
(a, c) ∈ R
Por tanto, la relación R es transitiva.
Por tanto, la relación R es una relación de equivalencia.
Pregunta 3. Demostrar que la relación R sobre Z definida por (a, b) ∈ R <=> a – b es divisible por 5 es una relación de equivalencia sobre Z.
Solución:
Dada, la relación R sobre Z definida por (a, b) ∈ R <=> a – b es divisible por 5
ya que tenemos que demostrar que es una relación de equivalencia, la relación R debe ser reflexiva, simétrica además de transitiva.
(i) Reflexibilidad:
Sea a un elemento arbitrario de R
=> un – un = 0
=> 0 es divisible por 5
=> a – a es divisible por 5
=> (a, a) ∈ R para todo a ∈ Z
:. la relación R es reflexiva.
De nuevo, (ii) simetría
Sea (a, b) ∈ R
=> a − b es divisible por 5
=> a − b = 5x para algún x ∈ Z , b − a = 5 (−x)
ya que (−x) ∈ Z
b − a es divisible por 5
(b, a) ∈ R para todo a, b ∈ Z
Entonces, la relación R es simétrica.
(iii) transitividad;
Sean (a, b) y (b, c) ∈ R
=> a − b es divisible por 5
=>a − b = 5x para algún x ∈ Z (ecuación 1)
Además, b − c es divisible por 5
=> b − c = 5y para alguna y ∈ Z (ecuación 2)
Sumando las dos ecuaciones anteriores,
a −b + b − c = 5x + 5y
=> un − c = 5 (x + y)
=> a − c es divisible por 5
Ya que, x + y ∈ Z
=>(a, c) ∈ R para todo a, c ∈ Z
Entonces, R es transitiva sobre Z.
Como la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva,
Por tanto, R es una relación de equivalencia sobre Z.
Pregunta 4. Sea n un entero positivo fijo. Defina una relación R sobre Z como sigue: (a, b) ∈ R <=> a – b es divisible por n.
Solución:
Dado (a, b) ∈ R ⇔ a − b es divisible por n es una relación R definida en Z.
es necesario que la relación R sea reflexiva, simétrica y transitiva.
(i) Reflexividad:
Sea a ∈ N
un − un = 0
= 0 × norte
=> a − a es divisible por n
=> (un, un) ∈ R
=> (a, a) ∈ R para todo a ∈ Z
:. R es reflexiva sobre Z.
(ii) Simetría:
Sea (a, b) ∈ R
a − b es divisible por n
=> a − b = nx para algún x ∈ Z
=> segundo − un = norte (−x)
=> b − a es divisible por n
=> (b, a) ∈ R
Entonces, la relación R es simétrica en Z.
lly (iii) Transitividad:
Sean (a, b) y (b, c) ∈ R
a − b es divisible por n y b − c es divisible por n.
=> a − b= nx para algún x ∈ Z (ecuación . 1)
Y b−c = ny para alguna y ∈ Z (ecuación 2)
a – b + b – c = nx + ny
=> un − c = norte (pag + q)
=> (a, c) ∈ R para todo a, c ∈ Z
Entonces, la relación R es transitiva sobre Z.
Por lo tanto, R es reflexiva, simétrica y transitiva.
Por tanto, R es una relación de equivalencia sobre Z.
Pregunta 5. Sea Z el conjunto de los enteros. Demostrar que la relación R = {(a, b): a, b ∈ Z y a + b es par} es una relación de equivalencia sobre Z.
Solución:
Dado R = {(a, b): a, b ∈ Z y a + b es par} es una relación definida sobre R.
También dado que Z es el conjunto de los números enteros
es necesario que la relación dada sea reflexiva, simétrica y transitiva.
reflexividad:
Sea a un elemento arbitrario de Z.
Entonces, a ∈ R
a + a = 2a es par para todo a ∈ Z.
=> (a, a) ∈ R para todo a ∈ Z
Entonces, R es reflexivo sobre Z.
(ii) Simetría:
Sea (a, b) ∈ R
=> a + b es par
=> b + a es par
=>(b, a) ∈ R para todo a, b ∈ Z
Entonces, R es simétrico en Z.
(iii) Transitividad:
Sean (a, b) y (b, c) ∈ R
=> a + b y b + c son pares
sea a + b = 2x para algún x ∈ Z (ecuación 1)
Y b + c = 2y para algún y ∈ Z (ecuación 2)
Sumando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos
A + 2b + c = 2x + 2y
=> a + c = 2 (x + y − b), que es par para todo x, y, b ∈ Z
Así, (a, c) ∈ R
Entonces, R es transitiva sobre Z.
Por tanto, la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia en Z
6. Se dice que m está relacionado con n si m y n son números enteros y m − n es divisible por 13. ¿Define esto una relación de equivalencia?
Pregunta 6. Se dice que m está relacionado con n si m y n son números enteros y m − n es divisible por 13. ¿Esto define una relación de equivalencia?
Solución:
Dado que se dice que m está relacionado con n si m y n son números enteros y m − n es divisible por 13
Entonces, tenemos que verificar si la relación dada es de equivalencia o no.
Sea R = {(m, n): m, n ∈ Z : m − n es divisible por 13}
reflexividad:
Sea m un elemento arbitrario de Z.
Entonces, m ∈ R
=> metro – metro = 0 = 0 × 13
=> m − m es divisible por 13
=> (m, m) es reflexiva sobre Z.
Ahora, simetría:
Sea (m, n) ∈ R.
Entonces, m − n es divisible por 13
=> metro – norte = 13p
Aquí, p ∈ Z
=>n – m = 13 (−p)
=> n − m es divisible por 13
=>(n, m) ∈ R para todo m, n ∈ Z
Entonces, R es simétrico en Z.
Transitividad:
Sean (m, n) y (n, o) ∈ R
=>m − n y n − o son divisibles por 13 (ecuación 1)
=>m – n = 13p y n − o = 13q para algún p, q ∈ Z (ecuación 2)
Sumando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos
=>m-n + n-o = 13p + 13q
=> m−o = 13 (p + q)
=> m − o es divisible por 13
=>(m, o) ∈ R para todo m, o ∈ Z
Entonces, R es transitiva sobre Z.
Por lo tanto, R es reflexiva, simétrica y transitiva.
Por tanto, R es una relación de equivalencia sobre Z.
Pregunta 7. Sea R una relación sobre el conjunto A de pares ordenados de enteros definidos por (x, y) R (u, v) si xv = y u. Demuestre que R es una relación de equivalencia.
Solución:
Primero sea R una relación en A
Se da que el conjunto A de pares ordenados de enteros definidos por (x, y) R (u, v) si xv = yu
Tenemos que comprobar si la relación dada es de equivalencia o no.
reflexividad:
Sean (a, b) un elemento arbitrario del conjunto A.
Entonces, (a, b) ∈ A
=> ab = ba
=>(a, b) R (a, b)
Por lo tanto, R es reflexivo sobre A.
De nuevo, simetría:
Sean (x, y) y (u, v) ∈ A tales que (x, y) R (u, v). Después,
xv = tu
=> vx = uy
=> uy = vx
=>(u, v) R (x, y)
Entonces, R es simétrico en A.
Transitividad:
Sean (x, y), (u, v) y (p, q) ∈R tales que (x, y) R (u, v) y (u, v) R (p, q)
=> xv = yu y uq = vp
Multiplicando los lados correspondientes, obtenemos
xv × uq = yu × vp
=> xq = yp
=>(x, y) R (p, q)
Entonces, R es transitiva sobre A.
Por lo tanto, R es reflexiva, simétrica y transitiva.
Por tanto, R es una relación de equivalencia sobre A.
Pregunta 8. Demuestre que la relación R en el conjunto A = {x ∈ Z; 0 ≤ x ≤ 12}, dada por R = {(a, b): a = b}, es una relación de equivalencia. Encuentre el conjunto de todos los elementos relacionados con 1.
Solución:
De acuerdo a la pregunta, conjunto A = {x ∈ Z; 0 ≤ x ≤ 12}
También dado que la relación R = {(a, b): a = b} está definida en el conjunto A
Tenemos que encontrar si la relación dada es de equivalencia o no.
(i) Reflexividad:
Sea a un elemento arbitrario de A.
Entonces, a ∈ R
=>a = a (porque cada elemento es igual a sí mismo)
=> (a, a) ∈ R para todo a ∈ A
:. R es reflexivo sobre A.
(ii) Simetría:
Sea (a, b) ∈ R
=>b = un
=> (b, a) ∈ R para todo a, b ∈ A
Entonces, R es simétrico en A.
(iii) Transitividad:
Sean (a, b) y (b, c) ∈ R
=> a =b y b = c
=>a = ac
=>a = c
=> (a, c) ∈ R
Entonces, R es transitiva sobre A.
Por tanto, la relación R es una relación de equivalencia sobre A.
Por tanto, la relación R es reflexiva, simétrica y transitiva.
El conjunto de todos los elementos relacionados con 1 es {1}.
Pregunta 9. Sea L el conjunto de todas las líneas en el plano XY y R la relación en L definida como R = {(L 1, L 2 ) : L 1 es paralela a L 2 }. Demuestre que R es una relación de equivalencia. Encuentre el conjunto de todas las líneas relacionadas con la línea y = 2x + 4.
Solución:
Dado, L es el conjunto de rectas.
R = {(L 1 , L 2 ) : L 1 es paralela a L 2 } sea una relación en L
Ahora, (i) reflexibilidad:
como sabemos, una recta siempre es paralela a sí misma,
Entonces, L 1 , L 2 ∈ R
Por lo tanto, R es reflexivo.
Nuevamente, (ii) simetría:
Suponga que L 1 , L 2 ∈ L y (L1, L2) ∈ R
Como L 1 es paralela a L 2
:. L 2 también es paralelo a L 1
Por lo tanto, la relación R es simétrica.
(iii) transitividad:
sean L 1 , L 2 , L 3 ∈ R de tal forma que (L 1 , L 2 ) ∈ R y (L 2 , L 3 ) ∈ R
L 1 es paralelo a L 2
L 2 es paralelo a L 3
Por lo tanto L 1 es paralelo a L 3
Por lo tanto, la relación R es transitiva.
Entonces, la relación R es una relación de equivalencia.
Ahora, el conjunto de todas las rectas relacionadas con la recta y = 2x + 4 es y = 2x + c para todo c ∈ R.
Pregunta 10. Demostrar que la relación R, definida sobre el conjunto A de todos los polígonos como R = {(P1, P2):P1 y P2 tienen el mismo número de lados}, es una relación de equivalencia. ¿Cuál es el conjunto de todos los elementos en A relacionados con el triángulo rectángulo T con lados 3, 4 y 5?
Solución:
La relación R se define como R = {(P 1 , P 2 ):P 1 y P 2 tienen el mismo número de lados}
(i) reflexibilidad:
Sea P cualquier polígono de A
Entonces, P y P tienen el mismo número de lados.
(P, P) ∈ R
Por lo tanto, la relación R es reflexiva.
(ii) simetría:
Sean P 1 y P 2 cualquier polígono de A tal que, (P 1 , P 2 ) ∈ R
(P 1 , P 2 ) ∈ R
P 1 y P 2 tienen el mismo número de lados
entonces, P 2 y P 1 también tendrán el mismo número de lados
Por lo tanto (P 1 , P 2 ) ∈ R
entonces, la relación R es simétrica.
por último (iii) transitividad:
sean P 1 , P 2 , P 3 tres polígonos en A de tal forma que (P 1 , P 2 ) ∈ R y (P 2 , P 3 ) ∈ R
entonces, (P 1 , P 2) tienen el mismo número de lados
(P 2 , P 3 ) tienen el mismo número de lados
:. P 1 y P 3 también tendrán el mismo número de lados.
Por lo tanto, la relación R es transitiva
entonces, la relación R es una relación de equivalencia.
Ahora, sea P un polígono en A tal que (P, T) ∈ R, donde T es un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5
Entonces, (P, T) ∈ R
el polígono P y el triángulo T tienen el mismo número de lados
Por tanto, el conjunto de todos los elementos de A relacionados con T es el conjunto de todos los triángulos de A.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por richamshh27 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA