Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 10 Diferenciabilidad – Ejercicio 10.2

Pregunta 1. Si f está definida por f(x) = x 2 , encuentre f'(2).

Solución:

f'(2) = lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}

= lim_{h\to0}\frac{4+h^2+4h-4}{h}

= lim_{h\to0}(4+h)

Por lo tanto, f'(2) = 4.

Pregunta 2. Si f está definida por f(x) = x 2 – 4x + 7, demuestre que f'(5) = 2f'(7/2).

Solución:

f'(5) = lim_{h\to0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h}

lim_{h\to0}\frac{((5+h^2)-4(5+h)+7)-(25-20+7)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{h^2+25+10h-20-4h+7-12}{h}

= lim_{h\to0}\frac{h^2+6h}{h}

f'(5) = 6 …….(1)

f'(7/2) = lim_{h\to0}\frac{f(7/2+h)-f(7/2)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{h^2+7h-14-4h+7+14-7}{h}

= lim_{h\to0}\frac{h^2+3h}{h}

= lim_{h\to0}(h+3)

f'(7/2) = 3

⇒ 2f'(7/2) = 6 ……(2)

De (1) y (2)

 f'(5) = 2f'(7/2).

Pregunta 3. Muestre que la derivada de la función f dada por f(x) = 2x 3 – 9x 2 +12x + 9 en x = 1 y x = 2 son iguales.

Solución:

f'(1) = lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{[2(1+h)^2-9(1+h)^2+12(1+h)+9]-[2-9+12-9]}{h}

= lim_{h\to0}\frac{2+2h^3+6h^2+6h-9-9h^2-18h+12+12h+9-14}{h}

= lim_{h\to0}\frac{2h^3-3h^2}{h}

= lim_{h\to0}h(2h-3)

⇒ f'(1) = 0

Ahora, f'(2) = lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{[2(2+h)^3-9(2+h)^2+12(2+h)+9]-[16-36+24+9]}{h}

= lim_{h\to0}\frac{2h^3-3h^2}{h}

= lim_{h\to0}h(2h-3)

⇒ f'(2) = 0

Por lo tanto f'(1) = f'(2) = 0.

Pregunta 4. Si para la función f(x) = ax 2 + 7x – 4, f'(5) = 97, encuentra a.

Solución:

f'(5) = lim_{h\to0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h}

⇒ 97 = lim_{h\to0}\frac{a(25+h^2+10h)+35+7h-4-25a-35+4}{h}

= lim_{h\to0}\frac{25a+ah^2+10ah-25a+7h}{h}

= lim_{h\to0}\frac{ah^2+h(10a+7)}{h}

⇒ 97 = 10a +7

⇒ 10a = 90

⇒ un = 9

Pregunta 5. Si f(x) = x 3 + 7x 2 + 8x – 9, encuentra f'(4).

Solución:

f'(4) = lim_{h\to0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{[(4+h)^3+7(4+h)^2+8(4+h)-9]-[64+112+32-9]}{h}

= lim_{h\to0}\frac{64+h^3+48h+12h^2+112+7h^2+56h+32+8h-9]-[210-9]}{h}

= lim_{h\to0}\frac{h^3+19h^2+112h}{h}

= lim_{h\to0}\frac{h(h^2+19h+112)}{h}

⇒ f'(4) = 112

Pregunta 6. Encuentra la derivada de f(x) = mx + c en x = 0.

Solución:

f'(0) = lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{f(h)-h(0)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{(mh+c)-(c)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{mh+c-c}{h}

= lim_{h\to0}\frac{mh}{h}

⇒ f'(0) = m.

Pregunta 7. Examine la diferenciabilidad de f(x) = \begin{cases}2x+3\ \ \ \ \ \ \ ,-3\lex<-2\\x+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,-2\lex<0\\x+2\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,0\lex1\end{cases}.

Solución:

Dado que f(x) es una función polinomial, es continua y derivable en todas partes.

Diferenciabilidad en x = –2

(LHD at x = -2) = lim_{h\to-2^-}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}

= lim_{h\to-2^-}\frac{2x+3+1}{x+2}

= lim_{h\to-2^-}\frac{2(x+2)}{x+2}

= 2

(RHD at x = -2) = lim_{h\to-2^+}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}

= lim_{h\to-2^-}\frac{x+1+1}{x+2}

= lim_{h\to-2^-}\frac{x+2}{x+2}

= 1

Dado que LHD en x = –2 ≠ RHD en x = –2

Por tanto, f(x) no es diferenciable en x = –2.

Ahora, diferenciabilidad en x = 0

(LHD en x = 0) = lim_{h\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

= lim_{h\to0}\frac{x+1-2}{x}

= lim_{h\to0}\frac{x-1}{x}

= ∞

(RHD en x = 0) = lim_{h\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

= lim_{h\to0}\frac{x+2-2}{x}

= lim_{h\to0}\frac{x}{x}

= 1

Dado que LHD en x = –2 ≠ RHD en x = 0

Por tanto, f(x) no es diferenciable en x = 0.

Pregunta 8. Escriba un ejemplo de una función que sea continua en todas partes pero que no sea diferenciable en exactamente cinco puntos.

Solución:

Conocemos la función de módulo f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0.

Por lo tanto, f(x) = |x| + |x – 1| + |x – 2| + |x – 3| + |x – 4| es continua pero no deja de ser diferenciable en x = 0,1,2,3,4.

Pregunta 9. Discuta la continuidad y diferenciabilidad de f(x) = |log|x||.

Solución:

Gráfica de f(x) = |log|x||:

Del gráfico anterior, está claro que f(x) es continua en todas partes, pero no diferenciable en 1 y -1.

Pregunta 10. Discuta la continuidad y diferenciabilidad de f(x) = e |x| .

Solución:

f(x) = e|x| = \begin{cases}e^{-x} \ \ \ \ \ \  \ \ ,x<0\\e^x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x\ge 0\end{cases}

Para la continuidad:

(HL en x = 0) = lim_{x\to0^-}f(x)

lim_{h\to0}f(0-h)

= lim_{h\to0}e^{0-h}

= lim_{h\to0}e^{-h}

= mi 0

= 1

(LH en x = 0) = lim_{x\to0^+}f(x)

= lim_{h\to0}f(0+h)

= lim_{h\to0}e^{0+h}

= lim_{h\to0}e^h

= mi 0

= 1

Por tanto, f(x) es continua en x = 0.

Por diferenciabilidad:

(LHD en x = 0) = lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

= lim_{h\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

= lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{-h}

= –1

(RHD en x = 0) = lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

= lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}

= 1

Por tanto, f(x) no es diferenciable en x = 0.

Pregunta 11. Discuta la diferenciabilidad de f(x) = \begin{cases}(x-c)cos\frac{1}{x-c}\ \ \ \ \ \ ,x≠c\\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x=c\end{cases}.

Solución:

(LHD en x = c) = lim_{x\to c^-}\frac{f(c-h)-f(c)}{-h}

= lim_{h\to0}\frac{cos(-1/h)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{cos(1/h)}{h}

= k

(RHD en x = c) = lim_{x\to c^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}

= lim_{h\to0}\frac{cos(1/h)}{h}

= k

Claramente (LHD en x = c) = (RHD en x = c) 

f(x) es diferenciable en x = c.

Pregunta 12. ¿Es |senx| diferenciable? ¿Qué hay de cos|x|?

Solución:

f(x) = |sinx| = \begin{cases}-sinx \ \ \ \ \ \ \  \ , x<nπ\\sinx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x>nπ\end{cases}

 (LHD en x = nπ) = lim_{x\to nπ^-}\frac{f(x)-f(nπ)}{x-nπ}

= lim_{h\to0}\frac{-sin(nπ-h)-sinnπ}{nπ-h-nπ}

= lim_{h\to0}\frac{sinh}{-h}

= –1

 (RHD en x = nπ) = lim_{h\to0}\frac{sin(nπ+h)-sinnπ}{h}

= lim_{h\to0}\frac{sinh}{-h}

= 1

Dado que LHD en x = nπ ≠ RHD en x = nπ

Por lo tanto f(x) = |senx| no es diferenciable en x = nπ.

Ahora, f(x) = cos|x|

Como, cos(–x) = cosx

Así, f(x) = cos x

Por lo tanto f(x) = cos|x| es diferenciable en todas partes.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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