Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 11 Diferenciación – Ejercicio 11.1

Pregunta 1. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e ^-x

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=e- ^x

f(x+h)=e ^-(x+h)

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{e^{-(x+h)}-e^{-x}}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{e^{-x}.e^{-h}-e^{-x}}{h}$

$=\lim_{h\to0}[e^{-x}(\frac{e^{-h}-1}{-h})](-1)$

$=-e^{-x}[\lim_{h\to0}(\frac{e^{-h}-1}{-h})]$

=-e- ^x

Pregunta 2. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e ^3x

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=e ^3x

f(x+h)=e ^3(x+h)

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{e^{3(x+h)}-e^{3x}}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{e^{3x}.e^{3h}-e^{3x}}{h}$

$=\lim_{h\to0}[e^{3x}(\frac{e^{3h}-1}{3h})](3)$

$=3e^{3x}[\lim_{h\to0}(\frac{e^{3h}-1}{3h})]$

=3e ^3x

Pregunta 3. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e ^ax+b

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=e ^ax+b

f(x+h)=e ^a(x+h)+b

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{e^{a(x+h)+b}-e^{ax+b}}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{e^{ax+b}.e^{ah}-e^{ax+b}}{h}$

$=\lim_{h\to0}[e^{ax+b}(\frac{e^{ah}-1}{ah})](a)$

$=ae^{ax+b}[\lim_{h\to0}(\frac{e^{ah}-1}{ah})]$

=ae ^hacha+b

Pregunta 4. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e ^cosx

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=e ^cosx

f(x+h)=e ^cos(x+h)

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{e^{cos(x+h)}-e^{cosx}}{h}$

$=\lim_{h\to0}[e^{cosx}(\frac{e^{cos(x+h)-cosx}-1}{h})]$

$=e^{cosx}\lim_{h\to0}(\frac{e^{cos(x+h)-cosx}-1}{cos(x+h)-cosx})(\frac{cos(x+h)-cosx}{h})$

$=e^{cosx}\lim_{h\to0}(\frac{cos(x+h)-cosx}{h})$

$=e^{cosx}\lim_{h\to0}(\frac{-2sin(\frac{x+h+x}{2})sin(\frac{x+h-x}{2})}{h})$

$=e^{cosx}\lim_{h\to0}\frac{-2sin(\frac{2x+h}{2})}{2}\frac{sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$

$=e^{cosx}\lim_{h\to0}\frac{-2sin(\frac{2x+h}{2})}{2}\frac{1}{2}$

=e ^cosx (-senx)

=-sinx.e ^cosx

Pregunta 5. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios e ^√2x

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=e ^√2x

f(x+h)=e ^√2(x+h)

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{e^{\sqrt{2(x+h)}}-e^{\sqrt{2x}}}{h}$

$=\lim_{h\to0}[e^{\sqrt{2x}}(\frac{e^{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}-1}{h})]$

$=e^{\sqrt{2x}}\lim_{h\to0}(\frac{e^{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}-1}{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}})(\frac{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}{h})$

$=e^{\sqrt{2x}}\lim_{h\to0}(\frac{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}{h})$

$=e^{\sqrt{2x}}\lim_{h\to0}(\frac{2(x+h)-2x}{h(\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x})})$ (Después de racionalizar el numerador)

$=e^{\sqrt{2x}}\lim_{h\to0}(\frac{2x+2h-2x}{h(\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x})})$

$=e^{\sqrt{2x}}\lim_{h\to0}(\frac{2h}{h(\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x})})$

$=e^{\sqrt{2x}}\lim_{h\to0}(\frac{2}{(\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x})})$

$=\frac{e^{\sqrt{2x}}}{\sqrt{2x}}$

Pregunta 6. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios log(cosx)

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=log(cosx)

f(x+h)=log(cos(x+h))

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{log(cos(x+h))-log(cosx)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{log\frac{cos(x+h)}{cosx}}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{log[1+\frac{cos(x+h)}{cosx}-1]}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{log[1+\frac{cos(x+h)}{cosx}]}{\frac{cos(x+h)-cosx}{cosx}}×\lim_{h\to0}\frac{cos(x+h)-cosx}{cosx}$

$=1×\lim_{h\to0}\frac{cos(x+h)-cosx}{h×cosx}$

$=\lim_{h\to0}\frac{-2sin(\frac{x+h+x}{2})sin(\frac{x+h-x}{2})}{h×cosx}$

$=-2\lim_{h\to0}\frac{sin(\frac{2x+h}{2})sin(\frac{h}{2})}{2(\frac{h}{2})×cosx}$

Ya que, $\lim_{h\to0}\frac{sinx}{x}=1$

=-(2senx)/(2cosx)

=-tanx

Pregunta 7. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios e ^√cotx

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=e ^√cotx

f(x+h)=e ^√cot(x+h)

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{e^{\sqrt{cot(x+h)}}-e^{\sqrt{cotx}}}{h}$

$=\lim_{h\to0}[e^{\sqrt{cotx}}(\frac{e^{\sqrt{cot(x+h)}-\sqrt{cotx}}-1}{h})]$

$=e^{\sqrt{cotx}}\lim_{h\to0}(\frac{e^{\sqrt{cot(x+h)}-\sqrt{cotx}}-1}{\sqrt{cot(x+h)}-\sqrt{cotx}})(\frac{\sqrt{cot(x+h)}-\sqrt{cotx}}{h})$

$=e^{\sqrt{cotx}}\lim_{h\to0}(\frac{\sqrt{cot(x+h)}-\sqrt{cotx}}{h})$

ya que, $\lim_{h\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$

$=e^{\sqrt{cotx}}\lim_{h\to0}{\frac{cot(x+h)-cotx}{h(\sqrt{cot(x+h)}-\sqrt{cotx})}}$ (Después de racionalizar el numerador)

$=e^{\sqrt{cotx}}\lim_{h\to0}(\frac{\frac{cot(x+h)cotx+1}{cot(x-x-h)}}{h(\sqrt{cot(x+h)}-\sqrt{cotx})})$

$=e^{\sqrt{cotx}}\lim_{h\to0}(\frac{cot(x+h)cotx+1}{hcot(-h)(\sqrt{cot(x+h)}-\sqrt{cotx})})$

$=-e^{\sqrt{cotx}}\lim_{h\to0}(\frac{cot(x+h)cotx+1}{\frac{h}{tanh}(\sqrt{cot(x+h)}-\sqrt{cotx})})$

Ya que, $\lim_{h\to0}\frac{tanx}{x}=1$

$=\frac{e^{\sqrt{cotx}}×(cot^2x+1)}{2\sqrt{cotx}}$

$=\frac{e^{\sqrt{cotx}}×cosec^2x}{2\sqrt{cotx}}$

Pregunta 8. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios x ² e ^x

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=x ² e ^x

f(x+h)=(x+h) ² e ^(x+h)

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2e^{(x+h)}-x^2e^x}{h}$

$=\lim_{h\to0}(\frac{x^2e^{x+h}-x^2e^x}{h}+\frac{2hxe^{x+h}}{h}+\frac{h^2e^{x+h}}{h})$

$=\lim_{h\to0}(\frac{x^2e^x(e^h-1)}{h}+2xe^{x+h}+{he^{x+h}})$

Ya que, $\frac{e^h-1}{h}=1$

=x ² e ^x +2xe ^x +0

=e ^x (x ² +2x)

Pregunta 9. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios log(cosecx)

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=log(cosecx)

f(x+h)=log(coseg(x+h))

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{log(cosec(x+h))-log(cosecx)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{log\frac{cosec(x+h)}{cosecx}}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{log[1+\frac{cosec(x+h)}{cosecx}-1]}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{log[1+\frac{sinx}{sin(x+h)}-1]}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{log[1+\frac{sinx-sin(x+h)}{sin(x+h)}]}{\frac{sinx-sin(x+h)}{sin(x+h)}}×\lim_{h\to0}\frac{\frac{sinx-sin(x+h)}{sin(x+h)}}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{sinx-sin(x+h)}{sin(x+h)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{2cos(\frac{x+x+h}{2})sin(\frac{x-x-h}{2})}{hsin(x+h)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{2cos(\frac{2x+h}{2})sin(\frac{x-x-h}{2})}{sin(x+h)}\frac{sin(-\frac{h}{2})}{-\frac{h}{2}.(-2)}$

=-cotx

Pregunta 10. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios sen ^-1 (2x+3)

Solución:

Tenemos,

Dejar,

f(x)=sen ^-1 (2x+3)

f(x+h)=sen ^-1 [2(x+h)+3]

f(x+h)=sen ^-1 (2x+2h+3)

$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{sin^{-1}(2x+2h+3)-sin^{-1}(2x+3)}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{sin^{-1}[(2x+2h+3)\sqrt{1-(2x+3)^2}-(2x+3)\sqrt{1-(2x+2h+3)^2}]}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{sin^{-1}t}{t}\frac{t}{h}$

Dónde $t=[(2x+2h+3)\sqrt{1-(2x+3)^2}-(2x+3)\sqrt{1-(2x+2h+3)^2}]$

$=\lim_{h\to0}\frac{t}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{[(2x+2h+3)\sqrt{1-(2x+3)^2}-(2x+3)\sqrt{1-(2x+2h+3)^2}]}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{[(2x+2h+3)^2[1-(2x+3)^2]-(2x+3)^2[1-(2x+2h+3)^2]}{h[(2x+2h+3)\sqrt{1-(2x+3)^2}+(2x+3)\sqrt{1-(2x+2h+3)^2]}}$ (Después de racionalizar el numerador)

Resolviendo la ecuación anterior

$=\lim_{h\to0}\frac{4h[h+(2x+3)]}{h[(2x+2h+3)\sqrt{1-(2x+3)^2}+(2x+3)\sqrt{1-(2x+2h+3)^2]}}$

$=\frac{4(2x+3)}{[(2x+3)\sqrt{1-(2x+3)^2}+(2x+3)\sqrt{1-(2x+3)^2]}}$

$=\frac{4(2x+3)}{2[(2x+3)\sqrt{1-(2x+3)^2}]}$

$=\frac{2}{2[\sqrt{1-(2x+3)^2}]}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e -x

Pregunta 2. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e 3x

Pregunta 3. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e ax+b

Pregunta 4. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e cosx

Pregunta 5. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios e √2x

Pregunta 6. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios log(cosx)

Pregunta 7. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios e √cotx

Pregunta 8. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios x 2 e x

Pregunta 9. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios log(cosecx)

Pregunta 10. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios sen -1 (2x+3)

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Pregunta 1. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e ^-x

Pregunta 2. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e ^3x

Pregunta 3. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e ^ax+b

Pregunta 4. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios e ^cosx

Pregunta 5. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios e ^√2x

Pregunta 7. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios e ^√cotx

Pregunta 8. Diferencie las siguientes funciones a partir de primeros principios x ² e ^x

Pregunta 10. Diferencie las siguientes funciones de primeros principios sen ^-1 (2x+3)