Encuentre dy/dx en cada uno de los siguientes:
Pregunta 1. xy = c 2
Solución:
Tenemos xy=c 2
Derivando ambos lados con respecto a x.
d(xy)/dx = d(c 2 )/dx
Por regla del producto,
y+x*dy/dx=0
Por lo tanto la respuesta es.
dy/dx=-y/x
Pregunta 2. y 3 -3xy 2 =x 3 +3x 2 y
Solución:
Tenemos
y 3 -3xy 2 =x 3 +3x 2 y
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(y 3 -3xy 2 )/dx=d(x 3 +3x 2 y)/dx
Por regla del producto,
=>3y 2 dy/dx-3y 2 -6xydy/dx=3x 2 +3x 2 dy/dx+6xy
=>3y 2 dy/dx-6xydy/dx-3x 2 dy/dx=3x 2 +3y 2 +6xy
=>dy/dx(3y 2 -3x 2 -6xy)=3x 2 +3y 2 +6xy
=>3dy/dx(y 2 -x 2 -2xy)=3(x 2 +y 2 +2xy)
=> dy/dx={3(x+y) 2 }/{3(y 2 -x 2 -2xy)
Por lo tanto la respuesta es,
dy/dx=(x+y) 2 /(y 2 -x 2 -2xy)
Pregunta 3. x 2/3 +y 2/3 =a 2/3
Solución:
Tenemos,
x 2/3 +y 2/3 =a 2/3
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(x 2/3 )/dx +d(y 2/3 )/dx=d(a 2/3 )/dx
=> 2/3x 1/3 +(2/3y 1/3 )dy/dx=0
=>1/x 1/3 +(1/y 1/3 )dy/dx =0
=> dy/dx=-y 1/3 /x 1/3
Por lo tanto la respuesta es,
dy/dx=-y 1/3 /x 1/3
Pregunta 4. 4x+3y=log(4x-3y)
Solución:
Tenemos,
4x+3y= logaritmo(4x-3y)
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(4x+3y)/dx=d(log(4x-3y))/dx
=>4+3dy/dx=(1/(4x-3y))(4-3dy/dx)
=>3dy/dx+3dy/dx(1/4x-3y)=4/(4x-3y)-4
=>(3dy/dx)(1+1/(4x-3y))=(4-16x+12y)/(4x-3y)
=>(3dy/dx)((4x-3y+1)/(4x-3y))=(4-16x+12y)/(4x-3y)
=>(3dy/dx)(4x-3y+1)=4-16x+12y
=>(3dy/4dx)(4x-3y+1)=3y-4x+1
=>dy/dx=(4/3)((3y-4x+1)/(4x-3y+1))
Por lo tanto la respuesta es,
dy/dx=4(3y-4x+1)/3(4x-3y+1)
Pregunta 5. (x 2 /a 2) + (y 2 /b 2 )=1
Solución:
Tenemos,
(x2 / a2 )+(y2 / b2 ) = 1
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(x 2 /a 2 )/dx +d(y 2 /b 2 )/dx =d(1)/dx
=>(2x/a 2 )+(2y/b 2 )(dy/dx)=0
=>(y/b 2 )(dy/dx)=-x/a 2
=>dy/dx = -xb 2 /ya 2
Por lo tanto la respuesta es,
dy/dx =-xb 2 /ya 2 .
Pregunta 6. x 5 +y 5 =5xy
Solución:
Tenemos,
x 5 + y 5 = 5xy
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(x 5 )/dx +d(y 5 )/dx=d(5xy)/ dx
=> 5x 4 + 5y 4 dy/dx=5y+ (5x)dy/dx
=>y 4( dy/dx)-x(dy/dx)=yx 4
=>dy/dx(y 4 -x)=yx 4
=>dy/dx=(yx 4 )/(y 4 -x)
Por lo tanto la respuesta es,
dy/dx=(yx 4 )/(y 4 -x)
Pregunta 7. (x+y) 2 =2axy
Solución:
Tenemos,
(x+y) 2 =2axy
Derivando con respecto a x,
d(x+y) 2 /dx=d(2axy)/dx
=>2(x+y)(1+dy/dx)=2ax(dy/dx) +2ay
=>(x+y)+(x+y)dy/dx =ax(dy/dx)+ay
=>(x+y)dy/dx-ax(dy/dx)=ay-xy()
=>(dy/dx)(x+y-ax)=ay-xy
=>dy/dx=(ay-xy)/(x+y-ax)
Por lo tanto la respuesta es,
dy/dx=(ay-xy)/(x+y-ax)
Pregunta 8. (x 2 +y 2 ) 2 =xy
Solución:
Tenemos,
(x 2 + y 2 ) 2 = xy
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(x 2 +y 2 ) 2 /dx=d(xy)/dx
=>2(x 2 +y 2 )(2x+2y(dy/dx))=y+x(dy/dx)
=>4x(x2 + y2 ) + 4y(x2+y2 ) ( dy/dx) = y+x(dy/dx)
=>4y(x 2 +y 2 )(dy/dx)-x(dy/dx)=y-4x(x 2 +y 2 )
=>(dy/dx)(4y(x 2 +y 2 )-x)=y-4x(x 2 +y 2 )
=>dy/dx=(y-4x(x 2 +y 2 ))/(4y(x 2 +y 2 )-x)
Por lo tanto la respuesta es,
dy/dx=(y-4x(x 2 +y 2 ))/(4y(x 2 +y 2 )-x)
Pregunta 9. tan -1 (x 2 +y 2 )=a
Solución:
Tenemos,
bronceado -1 (x 2 + y 2 )=a
Derivando ambos lados con respecto a x ,
d(tan -1 (x 2 +y 2 ))/dx=da/dx
=>(1/(x 2 +y 2 ))(2x+2y(dy/dx))=0
=>x+y(dy/dx)=0
=> dy/dx=-x/y
Por lo tanto la respuesta es,
dy/dx=-x/y
Pregunta 10. e x-y =log(x/y)
Solución:
Tenemos,
e x-y =log(x/y)
=>e x-y =log x -log y
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(e x-y )/dx=d(log x-log y)/dx
=>e x-y (1-dy/dx)=1/x-(1/y)(dy/dx)
=>e x-y -e x-y (dy/dx)=1/x -(1/y)(dy/dx)
=>(1/y)(dy/dx) – e x-y (dy/dx)=1/xe xy
=> dy/dx((1/y)-e x-y )=(1-xe x-y )/x
=> (dy/dx)(1-ye x-y )/y=(1-xe x-y )/x
=>dy/dx=y(1-xe x-y )/x(1-ye x-y )
Por lo tanto la respuesta es,
dy/dx=y(1-xe x-y )/x(1-ye x-y )
Pregunta 11. sen(xy)+ cos(x+y)=1
Solución:
Tenemos,
sen(xy)+ cos(x+y)=1
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(sen(xy))/dx + d(cos(x+y))/dx=d1/dx
=>cos(xy)(y+xdy/dx) +(-sen(x+y)(1+dy/dx)= 0
=>cos(xy)(y+xdy/dx) = (sen(x+y)(1+dy/dx)
=>ycos(xy)+x*cos(xy)*(dy/dx)= sin(x+y) + sin(x+y)* (dy/dx)
=>x*cos(xy)*(dy/dx) – sen(x+y)* (dy/dx) = sen(x+y) – ycos(xy)
=>(dy/dx)((x*cos(xy))-sin(x+y))= sin(x+y) – ycos(xy)
=>dy/dx =(sen(x+y)-ycos(xy))/((x*cos(xy))-sen(x+y))
Por lo tanto, la respuesta es,
dy/dx=(sen(x+y)-ycos(xy))/((x*cos(xy))-sen(x+y))
Pregunta 12. (1-x 2 ) 1/2 +(1-y 2 ) 1/2 =a(xy)
Solución:
Tenemos,
(1-x 2 ) 1/2 +(1-y 2 ) 1/2 =a(xy)
Sea x=sen A y y=sen B
Entonces la expresión se convierte en,
cosA + cosB=a(senA-senB)
=>a=(cosA+cosB)/(senA-senB)
=>a=(2(cos((A+B)/2))*(cos((AB)/2)))/(2cos((A+B)/2)*sen((AB)/2 )))
=> a =(cos(AB)/2)/(sen(AB)/2)
=> a=cuna((AB)/2)
=>cuna -1 a=((AB)/2)
=>2cot -1 a=((AB)/2)
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(2cot -1 a)/dx=d(AB)/dx
=>0=d(sen -1 x)/dx -d(sen -1 y)/dx
=> 0 = 1/((1-x 2 ) 1/2 ) -(1/(1-y 2 ) 1/2 )*(dy/dx)
=>(1/(1-y 2 ) 1/2 )*dy/dx=1/((1-x 2 ) 1/2 )
=>dy/dx=((1-y 2 ) 1/2 )/(1-x 2 ) 1/2
Por lo tanto, la respuesta es,
dy/dx=((1-y 2 ) 1/2 )/(1-x 2 ) 1/2
Pregunta 13. y(1-x 2 ) 1/2 +x(1-y 2 ) 1/2 =1
Solución:
Tenemos,
y(1-x 2 ) 1/2 +x(1-y 2 ) 1/2 =1
Sea, x=sen A y y=sen B
Entonces, la expresión se convierte en,
(sen B)*(cos A)+(sen A)*(cos B) =1
=> sen(A+B) =1
=> sen -1 (1) =A+B
=>A+B =22/(7*2)
=>sen -1 x +sen -1 y=22/14
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(sen -1 x)/dx +d(sen -1 y)/dx=d(22/14)/dx
=>1/((1-x 2 ) 1/2 )+ (1/((1-y 2 ) 1/2 ))(dy/dx)=0
=>dy/dx=-((1-y 2 ) 1/2 )/((1-x 2 ) 1/2 )
Por lo tanto, la respuesta es,
dy/dx=-((1-y 2 ) 1/2 )/((1-x 2 ) 1/2 )
Pregunta 14. Si xy=1, probar que dy/dx +y 2 =0
Solución:
Tenemos,
xy=1
Derivando ambos lados con respecto a x,
d(xy)/dx =d1/dx
=>x(dy/dx)+y=0
=>dy/dx =-y/x
También x=1/y
entonces, dy/dx=-y(y)
=>dy/dx+y 2 =0
Por lo tanto, probado.
Pregunta 15. Si xy 2 =1, prueba que 2(dy/dx)+y 3 =0
Solución:
Tenemos,
xy 2 = 1
Derivando con respecto a x,
d(xy2 ) /dx=d1/dx
=>2xy(dy/dx)+y 2 =0
=>dy/dx=-y 2 /2xy
=>dy/dx =-y/2x
También x=1/y 2
Entonces, dy/dx=-y(y 2 )/2
=>2dy/dx=-y 3
2dy/d+y 3 =0
Por lo tanto, probado.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por neeraj kumar 13 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA