Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 11 Diferenciación – Ejercicio 11.7

Pregunta 21. Si $x=a\left(\frac{1+t^2}{1-t^2}\right)$ y $y=\frac{2t}{1-t^2}$ , encuentra $\frac{dy}{dx}$

Solución:

Aquí,

$x=a\left(\frac{1+t^2}{1-t^2}\right)$

Diferenciarlo con respecto a t usando la regla de la string,

$\frac{dx}{dt}=a\left[\frac{(1+t^2)\frac{d}{dt}(1+t^2)-(1+t^2)\frac{d}{dt}(1-t^2)}{(1-t^2)^2}\right]\\ =a\left[\frac{(1-t^2)(2t)-(1+t^2)(-2t)}{(1-t^2)^2}\right]\\ =a\left[\frac{2t-2t^2+2t+2t^3}{(1-t^2)^2}\right]\\ \frac{dy}{dt}=\frac{4at}{(1-t^2)^2}\ \ \ \ \ ......(1)$

Y,

$y=\frac{2t}{1-t^2}$

Diferenciarlo con respecto a t usando la regla del cociente,

$\frac{dy}{dt}=a\left[\frac{(1-t^2)\frac{d}{dt}(t)-(t)\frac{d}{dt}(1-t^2)}{(1-t^2)^2}\right]\\ =a\left[\frac{(1-t^2)(1)-(t)(-2t)}{(1-t^2)^2}\right]\\ =a\left[\frac{1-t^2+2t}{(1-t^2)^2}\right]\\ \frac{dy}{dt}=\frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)}\ \ \ \ \ ......(2)$

Pregunta 22. Halla $\frac{dy}{dx}$ , si y = 12(1 – cos t), x = 10(t – sen t), $-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$

Solución:

Se da que,

y = 12(1 – cos t),

x = 10(t – sen t)

Por lo tanto,

$\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}[10(t-sin\ t)]\\ =10.\frac{d}{dt}(t-sin\ t)\\ =10(1- cos\ t)$

$\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}[12(t-cos\ t)]\\ =12.\frac{d}{dt}(1-cos\ t)\\ =12(0- (-sin\ t)\\ =12sin\ t$

Por lo tanto,

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{12sin\ t}{10(1-cos\ t)}\\ =\frac{12\times2sin\frac{t}{2}\times cos\frac{t}{2}}{10\times2\ sin^2\frac{t}{2}}\\ =\frac{6}{5}\ cot\ \frac{t}{2}$

Pregunta 23. Si x = a( ) y y = a(1 – cos $\frac{dy}{dx}$ $\frac{\pi}{3}$

Solución:

Aquí,

x = a(θ – sen θ)

y

y = a(1 – cos θ)

Después,

$\frac{dx}{dθ}=\frac{d}{dθ}[a(θ-sin\ θ]\\ =a(1-cos\ θ)$

$\frac{dy}{dθ}=\frac{d}{dθ}[a(1+cos\ θ]\\ =a(-sin\ θ)$

Por lo tanto,

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dθ}}{\frac{dx}{dθ}}=\frac{-asin\ θ}{a(1-cos\ θ)}|_{θ=\frac{\pi}{3}}\\ =-\frac{sin\frac{\pi}{3}}{1-cos\frac{\pi}{3}}\\ =\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac{1}{2}}=-\sqrt3$

$\frac{\pi}{4},\ \frac{dy}{dx}=\frac{b}{a}$

Considere las funciones dadas,

x = a sen 2t (1 + cos 2t)

y

y = b cos 2t (1 – cos 2t)

Escribe de nuevo las funciones,

x = a sen 2t + $\frac{a}{2}$ sen 4t

Derive la función anterior con respecto a t,

$\frac{dx}{dt}=2a\ cos\ 2t+2a\ cos\ 4t\ \ \ \ \ ....(1)\\$

y = b cos 2t (1 – cos 2t)

y = b cos 2t – b cos2 2t

$\frac{dy}{dx}=-2b\ sin\ 2t+2b\ cos\ 2t\ sin\ 2t\\=-2b\ sin\ 2t+b\ sin\ 4t\ \ \ \ ....(2)$

De la ecuación (1) y (2)

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-2b\ sin\ 2t+b\ sin\ 4t}{2a\ cos\ 2t+2a\ cos\ 4t}\\ \therefore\frac{dy}{dx}|_{\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}|_{t=\frac{\pi}{4}}=\frac{-2b}{-2a}=\frac{b}{a}$

Pregunta 25. Si x = cos t (3 – 2 cos ² t) y y = sen t (3 – 2 sen ² t), encuentra el valor de $\frac{dy}{dx}$ en t = $\frac{\pi}{4}$

Solución:

Aquí, la función dada:

x = cos t (3 – 2cos2t)

x = cos t – 2cos3t

$\frac{dx}{dt}=-3sin\ t+6cos^2t\ \ \ \ ......(1)$

y = sen t (3 – 2 sen2t)

y = 3cos t – 2sen3t

$\frac{dy}{dt}=3cos\ t-6sin^2tcos\ t\ \ \ \ .....(2)\\ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\\ =\frac{3cos\ t-6sin^tcos\ t}{-3sin\ t+6cos^2t\ sin\ t}\\ =\frac{3cos\ t(1-2sin^2t)}{3sin\ t(2cos^2t-1)}\\ =cot\ t\frac{(1-2(1-cos^2t))}{(2cos^2t-1)}\\ =cot\ t\\ \frac{dy}{dx}|_{\frac{\pi}{4}}=cot\frac{\pi}{4}=1$

Pregunta 26. Si $x=\frac{1+log\ t}{t^2}$ , $y=\frac{3+2log\ t}{t}$ encuentra $\frac{dy}{dx}$

Solución:

Aquí,

$x=\frac{1+log\ t}{t^2}$

y

$y=\frac{3+2log\ t}{t}$

$\frac{dx}{dt}=\frac{t^2\left(\frac{1}{t}\right)-(1+log\ t)(2t)}{t^4}\\ =\frac{t-2t-2tlog\ t}{t^4}\\ =\frac{-2log\ t-1}{t^3}$

$\frac{dy}{dt}=\frac{t\left(\frac{2}{t}\right)-(-3+2log\ t)(1)}{t^2}\\ =\frac{2-3-2tlog\ t}{t^2}\\ =\frac{-2log\ t-1}{t^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{-2log\ t-1}{t^2}}{\frac{-2log\ t-1}{t^3}}=t$

Pregunta 27. Si x = 3sen t – sen3t, y = 3cos t – cos3t, encuentra $\frac{dy}{dx}\ at\ t=\frac{\pi}{3}$

Solución:

x = 3sen t – sen3t

y,

y = 3cos t – cos3t

$\frac{dx}{dt}=3cos\ t-3cos3t\\ \frac{dy}{dt}=-3sin\ t+3sin3t\\ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-3sin\ t+3sin3t}{3cos\ t-3cos3t}$

Cuando, $t=\frac{\pi}{3}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-3sin(\frac{\pi}{3})+3sin(\pi)}{3cos(\frac{\pi}{3})-3cos(\pi)}=\frac{-3\times\frac{\sqrt3}{2}+0}{3\times\frac{1}{2}-3(-1)}=-\frac{1}{\sqrt3}$

Pregunta 28. Si $sin\ x=\frac{2t}{1+t^2}$ , $tan\ y=\frac{2t}{1-t^2}$ encuentra $\frac{dy}{dx}$

Solución:

$sin\ x=\frac{2t}{1+t^2}$

y,

$tan\ y=\frac{2t}{1-t^2}$

$\Rightarrow x=sin^{-1}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)$

y

$\Rightarrow y=tan^{-1}\left(\frac{2t}{1-t^2}\right)$

$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2}}\times\frac{2(1+t^2)-(2t)(2t)}{(1+t^2)^2}\\ \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\\ \frac{dy}{dt}=\frac{1}{\left(\frac{2t}{1-t^2}\right)2+1}\times\frac{2(1-t^2)-(2t)(-2t)}{(1-t^2)^2}\\ \frac{dy}{dt}=\frac{2}{1+t^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{2}{(1+t^2)}}{\frac{2}{(1+t^2)}}=1$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 11 Diferenciación – Ejercicio 11.7 | conjunto 3

Pregunta 21. Si $x=a\left(\frac{1+t^2}{1-t^2}\right)$ y $y=\frac{2t}{1-t^2}$ , encuentra $\frac{dy}{dx}$

Pregunta 22. Halla $\frac{dy}{dx}$ , si y = 12(1 – cos t), x = 10(t – sen t), $-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$

Pregunta 23. Si x = a( ) y y = a(1 – cos $\frac{dy}{dx}$ $\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{4},\ \frac{dy}{dx}=\frac{b}{a}$

Pregunta 25. Si x = cos t (3 – 2 cos ² t) y y = sen t (3 – 2 sen ² t), encuentra el valor de $\frac{dy}{dx}$ en t = $\frac{\pi}{4}$

Pregunta 26. Si $x=\frac{1+log\ t}{t^2}$ , $y=\frac{3+2log\ t}{t}$ encuentra $\frac{dy}{dx}$

Pregunta 27. Si x = 3sen t – sen3t, y = 3cos t – cos3t, encuentra $\frac{dy}{dx}\ at\ t=\frac{\pi}{3}$

Pregunta 28. Si $sin\ x=\frac{2t}{1+t^2}$ , $tan\ y=\frac{2t}{1-t^2}$ encuentra $\frac{dy}{dx}$

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Pregunta 21. Si y , encuentra

Pregunta 22. Halla , si y = 12(1 – cos t), x = 10(t – sen t),

Pregunta 23. Si x = a( ) y y = a(1 – cos

Pregunta 25. Si x = cos t (3 – 2 cos 2 t) y y = sen t (3 – 2 sen 2 t), encuentra el valor de en t =

Pregunta 26. Si , encuentra

Pregunta 27. Si x = 3sen t – sen3t, y = 3cos t – cos3t, encuentra

Pregunta 28. Si , encuentra

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 21. Si $x=a\left(\frac{1+t^2}{1-t^2}\right)$ y $y=\frac{2t}{1-t^2}$ , encuentra $\frac{dy}{dx}$

Pregunta 22. Halla $\frac{dy}{dx}$ , si y = 12(1 – cos t), x = 10(t – sen t), $-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$

Pregunta 23. Si x = a( ) y y = a(1 – cos $\frac{dy}{dx}$ $\frac{\pi}{3}$

Pregunta 25. Si x = cos t (3 – 2 cos ² t) y y = sen t (3 – 2 sen ² t), encuentra el valor de $\frac{dy}{dx}$ en t = $\frac{\pi}{4}$

Pregunta 26. Si $x=\frac{1+log\ t}{t^2}$ , $y=\frac{3+2log\ t}{t}$ encuentra $\frac{dy}{dx}$

Pregunta 27. Si x = 3sen t – sen3t, y = 3cos t – cos3t, encuentra $\frac{dy}{dx}\ at\ t=\frac{\pi}{3}$

Pregunta 28. Si $sin\ x=\frac{2t}{1+t^2}$ , $tan\ y=\frac{2t}{1-t^2}$ encuentra $\frac{dy}{dx}$