Clase 12 RD Sharma Solutions- Capítulo 11 Diferenciación – Ejercicio 11.8 | conjunto 2

Pregunta 11: Diferenciar sin ^-1 (2x√(1-x ² )) con respecto a tan ^-1 (x/√(1-x ² )) si -1/√2<x <1/√2.

Soluciones:

Sea u = sen ^-1 (2x√(1-x ² ))

Sustituye x = sen θ ⇒ θ = sen ^-1 x

u = sen ^-1 (2 sen θ √(1 – sen ² θ))

u = sen ^-1 (2 sen θ cos θ) [sen ² θ + cos ² θ = 1]

u = sen ^-1 (sen 2θ) —–(i) [sen 2θ = 2 sen θ cos θ]

Sea, v = tan ^-1 (x/√(1-x ² ))

v = tan ^-1 (sen θ/ √(1 – sen ² θ))

v = tan ^-1 (sen θ/cos θ) [sen ² θ + cos ² θ = 1]

v = tan ^-1 (tan θ) —–(ii) [tan θ = sen θ/cos θ]

Aquí, -1/√2 < x <1/√2

⇒ -1/√2 < sen θ <1/√2

⇒ – π/4 < θ < π/4

Entonces, de la ecuación (i), u = 2 θ [sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ (0,π/2)]

u = 2 sen ^-1 x

du/dx = 2/ √(1 – x ² ) —–(iii) [d(sen ^-1 x)/dx = 1/√(1 – x ² )]

De la ecuación (ii), v = θ [tan ^-1 (tan θ) = θ, θ ∈ [- π/2, π/2]]

v = sen ^-1 x

dv/dx = 1/ √(1 – x ² ) —–(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 2 (respuesta)

Pregunta 12: Diferenciar tan ^-1 (2x/(1-x ² )) con respecto a cos ^-1 ((1-x ² )/(1+x ² )) si 0<x<1

Soluciones:

Sea u = tan ^-1 (2x/(1 – x ² ))

Sustituye x = tan θ, ⇒ θ = tan ^-1 x

u = tan ^-1 (2 tan θ/(1 – tan ² θ))

u = tan ^-1 (tan 2θ) —–(i) [tan 2θ = 2 tan θ/(1 – tan ² θ)]

Ahora, sea v = cos ^-1 ((1 – tan ² θ)/(1 + tan ² θ))

v = cos ^-1 (cos 2θ) —–(ii) [cos 2θ = (1 – tan ² θ)/(1 + tan ² θ)]

Aquí, 0 < x <1

⇒ 0 < tan θ < 1

⇒ 0 < θ < π/4

Entonces, de la ecuación (i), u = 2θ [tan ^-1 (tan θ) = θ, θ ∈ [- π/2, π/2]]

u = 2 tan ^-1 x

du/dx = 2/(1 + x ² ) —–(iii) [d(tan ^-1 x)/dx = 1/(1 + x ² )]

De la ecuación (ii), v = 2θ [cos ^-1 (cos θ) = θ, θ ∈ [0 , π]

v = 2 tan ^-1 x

dv/dx = 2/(1 + x ² ) —–(iv) [d(tan ^-1 x)/dx = 1/(1 + x ² )]

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 1 (respuesta)

Pregunta 13: Diferenciar tan ^-1 ((x-1)/(x+1)) con respecto a sin ^-1 (3x-4x ³ ) si -1/2<x<1/2.

Soluciones:

Sea u = tan ^-1 ((x – 1)/(x + 1))

Sustituye x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 x

u = tan ^-1 ((tan θ – 1)/(tan θ + 1))

u = tan ^-1 ((tan θ – tan π/4)/(1 + tan θ tan π/4))

u = tan ^-1 (tan(θ – π/4) —–(i) [tan(A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A * tan B]

Aquí, -1/2 < x < 1/2

⇒ -1/2 < tan θ < 1/2

⇒ -tan ^-1 (1/2) < θ < tan ^-1 (1/2)

Entonces, de la ecuación (i), u = θ – π/4 [tan ^-1 (tan θ) = θ, θ ∈ [- π/2, π/2]]

u = bronceado ^-1 x – π/4

du/dx = 1/(1 + x ² ) —–(ii) [d(tan ^-1 x)/dx = 1/(1 + x ² )]

Ahora, sea v = sen ^-1 (3x – 4x ³ )

Sustituye x = sen θ

v = sen ^-1 (3 sen θ – 4 sen ³ θ)

v = sen ^-1 (sen 3θ) —–(iii) [sen 3θ = 3 sen θ – 4 sen ³ θ]

Aquí -1/2<x<1/2

⇒ -1/2 < sen θ < 1/2

⇒ – π/6 < θ < π/6

De la ecuación (ii), v = 3θ [sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ (-π/2 , π/2)]

v = 3 sen ^-1 x

dv/dx = 3/ √(1 – x ² ) —–(iv) [d(sen ^-1 x)/dx = 1/√(1 – x ² )]

Dividiendo la ecuación (ii) por (iv)

du/dv = (1/3) * √(1 – x ² )/(1 + x ² ) (Respuesta)

Pregunta 14: Diferenciar tan ^-1 (cosx/(1+senx)) con respecto a sec ^-1 x.

Soluciones:

Sea u = tan ^-1 (cos x/(1 + sen x))

u = tan ^-1 ((cos ² (x/2) – sen ² (x/2))/(cos ² (x/2) + sen ² (x/2) + 2 sen(x/2)cos(x) /2)) [cos 2x = cos ² x – sen ² x , cos ² x + sen ² x = 1, sen 2x = 2 sen x cos x]

Usando [a ² – b ² =(ab)(a+b) ,y (a+b) ² = a ² + b ² + 2ab],

u = tan ^-1 (((cos(x/2) – sin(x/2)) * (cos(x/2) + sin(x/2)))/(cos(x/2) + sin( x/2)) ² ) 

u = tan ^-1 ((cos(x/2) – sin(x/2))/(cos(x/2 + sin(x/2)))

Dividiendo numerador y denominador por cos(x/2)

u = bronceado ^-1 ((1 – bronceado(x/2))/(1 + bronceado(x/2)))

u = tan ^-1 ((tan π/4 – tan(x/2))/(1 + tan(x/2)*tan π/4))

u = tan ^-1 (tan(π/4 – x/2) [tan(A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A * tan B]

tu = π/4 – x/2

du/dx = -1/2 —–(i)

Ahora, sea v = seg ^-1 x

dv/dx = 1/(x√(x ² -1)) —–(ii)

Dividiendo la ecuación (i) por (ii)

du/dv = ½ * (- x√(x ² -1)) (Respuesta)

Pregunta 15: Diferenciar sen ^-1 (2x/(1+x ² )) con respecto a tan ^-1 (2x/(1-x ² )) si -1<x<1.

Solución:

Sea u = sen ^-1 (2x/(1+x ² ))

Sustituye x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 x

u = sen ^-1 ((2 tanθ/ (1 + tan ² θ))

u = sen ^-1 (sen 2θ) —–(i) [sen2θ = 2 tanθ/(1 + tan ² θ)]

Ahora, sea v = tan ^-1 (2x/(1 – x ² ))

v = tan ^-1 (2 tan θ/(1 – tan ² θ))

v = tan ^-1 (tan 2θ) —–(ii) [tan 2θ = 2 tan θ/(1 – tan ² θ)]

Aquí, -1<x<1

⇒ -1<tan θ< 1

⇒ – π/4 < θ < π/4

Entonces, de la ecuación (i), u = 2θ [sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ (-π/2 , π/2)]

tu = 2tan ^-1 x

du/dx = 2/(1 + x ² ) —–(iii)

De la ecuación (ii), v = 2θ [tan ^-1 (tan θ) = θ, θ ∈ [- π/2, π/2]]

v = 2tan ^-1 x

dv/dx = 2/(1+x ² ) ——(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 1 (respuesta)

Pregunta 16: Diferenciar cos ^-1 (4x ³ -3x) con respecto a tan ^-1 (√(1-x ² )/x) si 1/2<x<1.

Solución:

Sea u = cos ^-1 (4x ³ -3x)

Sustituye x = cos θ ⇒ θ = cos ^-1 x

u = cos ^-1 (4 cos ³ θ – 3 cos θ)

u = cos ^-1 (cos3θ) —–(i) [cos 3θ = 4 cos ³ θ – 3cos θ]

Ahora, sea v = tan ^-1 (√(1 – x ² )/x)

v = tan ^-1 (√(1 – cos ² θ)/cos θ)

v = tan ^-1 (sen θ/cos θ)

v = tan ^-1 (tan θ) —–(ii)

Aquí, 1/2 < x < 1

⇒ 1/2 < cos θ < 1

⇒ 0 < θ < π/3

De la ecuación (i), u = 3θ [cos ^-1 (cos θ) = θ, θ ∈ [0 , π]

u = 3 cos ^-1 x

du/dx = -3/√(1-x ² ) —–(iii)

De la ecuación (ii), v = θ [tan ^-1 (tan θ) = θ, θ ∈ [- π/2, π/2]]

v = cos ^-1 x

dv/dx = -1/√(1-x2) —–(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 3 (Respuesta)

Pregunta 17: Diferenciar tan ^-1 (x/√(1-x ² )) con respecto a sin ^-1 (2x√(1-x ² )) si -1/√2<x<1/√2.

Solución:

Sea u = tan ^-1 (x/√(1-x ² ))

Sustituye x = sen θ ⇒ θ = sen ^-1 x

u = tan ^-1 (senθ/√(1 – sen ² θ))

u = tan ^-1 (sen θ/cos θ)

u = tan ^-1 (tan θ) —–(i)

Y, v = sen ^-1 (2x√(1-x ² ))

v = sen ^-1 (2 sen θ √(1-sen ² θ))

v = sen ^-1 (2 sen θ cos θ)

v = sen ^-1 (sen 2θ) —–(ii)

Aquí, -1/√2<x<1/√2

⇒ -1/√2 < sen θ < 1/√2

⇒ – π/4 < θ < π/4

De la ecuación (i), u = θ [tan ^-1 (tan θ) = θ, θ ∈ [- π/2, π/2]]

u = sen ^-1 x

du/dx = 1/ √(1-x ² ) —–(iii)

De la ecuación (ii), v = 2θ [sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ (-π/2, π/2)]

v = 2sen ^-1x

dv/dx = 2/√(1-x ² ) —–(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 1/2 (respuesta)

Pregunta 18: Diferenciar sen ^-1 √(1-x ² ) con respecto a cot ^-1 (x/√(1-x ² )) si 0<x<1.

Solución:

Sea u = sen ^-1 √(1 – x ² )

Sustituye x = cos θ ⇒ θ = cos ^-1 x

u = sen ^-1 √(1 – cos ² θ)

u = sen ^-1 (sen θ) —–(i)

Y, v = cot ^-1 (x/√(1-x ² ))

v = cot ^-1 (cos θ/√(1 – cos ² θ))

v = cot ^-1 (cos θ/sen θ)

v = cuna ^-1 (cot θ)

v = tan ^-1 (tan θ) —–(ii) [tan ^-1 (θ) = cot ^-1 (1/θ)]

Aquí, 0 < x <1

0 < cos θ <1

0 < θ < π/2

Entonces, de la ecuación (i), u = θ [sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ (-π/2 , π/2)]

u = cos ^-1 x

du/dx = -1/ √(1-x ² ) —–(iii)

Y, de la ecuación (ii), v = θ [tan ^-1 (tan θ) = θ, θ ∈ [- π/2, π/2]]

v = cos ^-1 x

dv/dx = -1/ √(1-x ² ) —–(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 1 (respuesta)

Pregunta 19: Diferenciar sen ^-1 (2ax√(1-a ² x ² )) con respecto a √(1-a ² x ² ) si -1/√2<ax<1/√2

Solución:

Sea u = sen ^-1 (2ax√(1-a ² x ² ))

Sustituye ax = sen θ ⇒ θ = sen ^-1 (ax)

u = sen ^-1 (2 sen θ √(1 – sen ² θ))

u = sen ^-1 (2 sen θ cos θ)

u = sen ^-1 (sen 2θ) —–(i)

Y, sea v = √(1-a ² x ² )

dv/dx = -a ² x/ √(1 – a ² x ² ) —–(ii)

Aquí, -1/√2<ax<1/√2

⇒ -1/√2 < sen θ <1/√2

⇒ – π/4 < θ < π/4

Entonces, de la ecuación (i), u = 2θ [sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ (-π/2 , π/2)]

u = 2sen ^-1 (ax)

du/dx = 2a/ √(1 – a ² x ² ) —–(iii)

Dividiendo la ecuación (iii) por (ii)

du/dv = -2/ax (respuesta)

Pregunta 20: Diferencie tan ^-1 ((1-x)/(1+x)) con respecto a √(1-x ² ) si -1<x<1 .

Solución:

Sea u = tan ^-1 ((1-x)/(1+x))

Sustituye x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 x

u = tan ^-1 ((1 – tan θ)/(1 + tan θ))

u = tan ^-1 ((tan π/4 – tan θ)/(1 + tan θ tan π/4))

u = tan ^-1 (tan(π/4 – θ) —–(i) [tan(A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A * tan B]

Aquí, -1 < x < 1

⇒ -1 < tan θ < 1

⇒ – π/4 < θ < π/4

Entonces, de la ecuación (i), u = π/4 – θ [tan ^-1 (tan θ) = θ, θ ∈ [- π/2, π/2]]

u = π/4 – bronceado ^-1 x

du/dx = -1/(1 + x ² ) —–(ii)

Y, v = √(1 – x ² )

dv/dx = -2x/(2 * √(1 – x ² )) = – x/√(1 – x ² ) —–(iii)

Dividiendo la ecuación (ii) por (iii)

du/dv = √(1 – x ² )/(x * (1 + x ² )) (Respuesta)