Clase 12 RD Sharma Solutions- Capítulo 11 Diferenciación – Ejercicio 11.8 | Serie 1

Pregunta 1: Diferencia x ² con respecto a x ³ .

Solución:

Sea u = x ² , y sea v = x ³

Derivando u con respecto a x,

du/dx = 2x —–(i)

Derivando v con respecto a x,

dv/dx = 3x ² ——(ii)

Dividiendo la ecuación (i) por (ii)

(du/dx) / (dv/dx) = 2x/3x ²

(du/dv) = 2/3x (respuesta)

Pregunta 2: Diferencie log (1+x ² ) con respecto a tan ^-1 x.

Solución:

Sea u = log(1 + x ² )

Derivando con respecto a x, usando la regla de la string

du/dx = 1/(1+x ² )* 2x = 2x/(1+x ² ) —–(i)

Ahora, sea v = tan ^-1 x

Derivando con respecto a x

dv/dx = 1/(1+x ² ) —–(ii) [ d(tan ^-1 x)/dx = 1/(1 + x ² )]

Dividiendo la ecuación (i) por (ii)

(du/dx) / (dv/dx) = {2x/(1+x ² )} / {1/(1+x ² )}

du/dv = 2x (respuesta)

Pregunta 3: Diferenciar (log x) ^x con respecto a log x.

Solución:

Sea u = (log x) ^x

Tomando registro en ambos lados

log u = x log(log x) [log a ^b = b log a]

Derivando la ecuación anterior con respecto a x

(1/u) * (du/dx) = 1* log (log x) + x*(1/log x)*(1/x) [d(log x)/dx = 1/x]

du/dx = u*(log (log x) + 1/log x)

du/dx = (log x) ^x * ((log x * log(log x) + 1) / log x)

du/dx = (log x) ^x-1 *(1 + log x * log(log x)) —–(i)

Ahora, sea v = log x

dv/dx = 1/x —–(ii)

Dividiendo ecuaciones (i) por (ii)

du/dv = x(log x) ^x-1 *(1 + log x * log(log x)) (Respuesta)

Pregunta 4: Diferenciar sen ^-1 √(1-x ² )con respecto a cos ^-1 x, si

(yo) x ∈ (0, 1)

(ii) x ∈ (-1, 0)

Solución:

(i) Sea u = sen ^-1 √(1-x ² )

Sustituye x = cos θ, en la ecuación anterior ⇒ θ = cos ^-1 x

u = sen ^-1 √(1-cos ² θ)

u = sen ^-1 (sen θ) —–(i) [ sen ² θ + cos ² θ = 1 ]

Y, v = cos ^-1 x —–(ii)

Ahora, x ∈ (0,1)

⇒ cos θ ∈ (0,1)

⇒ θ ∈ (0,π/2)

Entonces, de la ecuación (i),

tu = θ [ sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ (0,π/2) ]

u = cos ^-1 x [ d(cos ^-1 x)/dx = -1/√(1-x ² ) ]

Derivando la ecuación anterior con respecto a x

du/dx = -1/√(1-x ² ) —–(iii)

Diferenciando la ecuación (ii) con respecto a x

dv/dx = -1/√(1-x ² ) —–(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 1 (respuesta)

(ii) Sea u = sen ^-1 √(1-x ² )

Sustituye x = cos θ, en la ecuación anterior ⇒ θ = cos ^-1 x

u = sen ^-1 √(1-cos ² θ)

u = sen ^-1 (sen θ) —–(i)

Y, v = cos ^-1 x —–(ii)

Ahora, x ∈ (-1,0)

⇒ cos θ ∈ (-1,0)

⇒ θ ∈ (π/2, π)

Entonces, de la ecuación (i),

tu = π – θ [ sen ^-1 (sen θ) = π – θ, θ ∈ (π/2, 3π/2) ]

u = π– cos ^-1 x [ d(cos ^-1 x)/dx = -1/√(1-x ² ) ]

Derivando la ecuación anterior con respecto a x

du/dx = +1/√(1-x ² ) —–(iii)

Diferenciando la ecuación (ii) con respecto a x

dv/dx = -1/√(1-x ² ) —–(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = -1 (Respuesta)

Pregunta 5: Diferenciar sen ^-1 (4x√(1-4x ² )) con respecto a √(1-4x ² )

(yo) x ∈ (-1/2, -1/2√2)

(ii) x ∈ (1/2√2, 1/2)

Solución:

(i) Sea u = sen ^-1 (4x√(1-4x ² ))

Sustituye 2x = cos θ ⇒ θ = cos ^-1 (2x)

u = sen ^-1 (2 cos θ * √(1 – cos ² θ)) [ sen ² θ + cos ² θ = 1 ]

u = sen ^-1 (2 cos θ sen θ)

u = sen ^-1 (sen 2θ) —–(i) [sen 2θ = 2 sen θ cos θ]

Sea, v = √(1-4x ² )

dv/dx = 1/(2 * √(1-4x ² )) * (-8x) = -4x/√(1-4x ² ) —–(ii)

Aquí, x ∈ (-1/2,-1/2√2)

⇒ 2x ∈ (-1, -1/√2)

⇒ θ ∈ (¾ π, π)

Entonces, de la ecuación (i), u = π – 2θ [ sin ^-1 (sin θ) = π – θ, θ ∈ (π/2, 3π/2) ]

u = π – 2 cos ^-1 (2x)

du/dx = 0 – 2* (-1/√(1-4x ² )) * 2 = 4/√(1-4x ² ) —–(iii) [ d(cos ^-1 x)/dx = -1 /√(1-x ² ) ]

Dividiendo la ecuación (iii) por (ii)

du/dv = -(1/x) (Respuesta)

(ii) Sea u = sen ^-1 (4x√(1-4x ² ))

Sustituye 2x = cos θ ⇒ θ = cos ^-1 (2x)

u = sen ^-1 (2 cos θ * √(1 – cos ² θ)) [ sen ² θ + cos ² θ = 1 ]

u = sen ^-1 (2 cos θ sen θ)

u = sen ^-1 (sen 2θ) —–(i) [sen 2θ = 2 sen θ cos θ]

Sea, v = √(1-4x ² )

dv/dx = 1/(2 * √(1-4x ² )) * (-8x) = -4x/√(1-4x ² ) —–(ii)

Aquí, x ∈ (1/2√2, 1/2)

⇒ 2x ∈ (1/√2, 1)

⇒ θ ∈ (0, /4)

Entonces, de la ecuación (i), u = 2θ [ sin ^-1 (sin θ) = θ, θ ∈ (-π/2, π/2) ]

u = 2cos-1(2x)

du/dx = 2* (-1/√(1-4x ² )) * 2 = -4/√(1-4x ² ) —–(iii) [ d(cos ^-1 x)/dx = -1/ √(1-x ² ) ]

Dividiendo la ecuación (iii) por (ii)

du/dv = (1/x) (Respuesta)

Pregunta 6: Diferenciar tan ^-1 ((√(1+x ² )-1)/x) con respecto a sin- ¹ (2x/(1+x ² )) si -1<x<1.

Solución:

Sea u = tan ^-1 ((√(1+x ² )-1) / x)

Sustituye x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 x

u = tan ^-1 ((√(1+tan ² θ)-1) / tan θ)

u = tan ^-1 ((sec θ -1) / tan θ) [sec ² θ = 1 + tan ² θ]

u = tan ^-1 ((1 – cos θ) / sen θ) [seg θ = 1/cos θ]

u = tan ^-1 ((2sen ² (θ/2) / 2 sen(θ/2) cos(θ/2)) [1- cos2θ = 2 sen ² θ, y sen2θ = 2senθcosθ]

u = tan ^-1 ((sen(θ/2) / cos(θ/2))

u = tan ^-1 (tan(θ/2)) —–(i) [tanθ = senθ/cosθ]

Ahora, sea v = sen ^-1 (2x/1+x ² )

v = sen ^-1 (2 tanθ / (1 + tan ² θ))

v = sen ^-1 (sen 2θ) —–(ii) [sen2θ = 2 tanθ / (1 + tan ² θ)]

Aquí, -1<x<1

⇒ -1<tan θ <1

⇒ – /4 < θ < /4

Por lo tanto, de (i), u = θ/2 [ tan ^-1 (tan θ) = θ, θ ∈ [ – π/2, π/2] ]

u = 1/2 * bronceado ^-1 x

Derivando con respecto a x,

du/dx = ½*(1 + x ² )) —–(iii) [ d(tan ^-1 x)/dx = 1/(1 + x ² )]

De la ecuación (ii), v = 2θ [ sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ [ – π/2, π/2] ]

v = 2tan ^-1 x

Derivando con respecto a x,

dv/dx = 2/(1 + x ² ) —–(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 1/4 (respuesta)

Pregunta 7: Diferenciar sen ^-1 (2x√(1-x ² )) con respecto a sec ^-1 (1/√(1-x ² )) si

(yo) x ∈ (0,1/√2)

(ii) x ∈ (1/√2,1)

Solución:

(i) Sea u = sen ^-1 (2x √(1-x ² ))

Sustituye x = sen θ ⇒ θ = sen ^-1 x

u = sen ^-1 (2 sen θ √(1 – sen ² θ))

u = sen ^-1 (2 sen θ cos θ) [sen ² θ + cos ² θ = 1]

u = sen ^-1 (sen 2 θ) —–(i)

Y, sea v = sec ^-1 (1/√(1-x ² ))

v = seg ^-1 (1/√(1-sen ² θ))

v = seg ^-1 (1/ cos θ) [sen ² θ + cos ² θ = 1]

v = sec ^-1 (sec θ) [sec θ = 1/ cos θ]

v = cos ^-1 (1/seg θ)

v = cos ^-1 (cos θ) —-(ii) [seg ^-1 x=cos ^-1 (1/x)]

Aquí, x ∈ (0,1/√2)

sen θ ∈ (0,1/√2)

θ ∈ (0, / 4)

De la ecuación (i), u = 2θ [ sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ [ – π / 2, π / 2] ]

u = 2sen ^-1 x

du/dx = 2/√(1-x ² ) —–(iii) [d(sen ^-1 x)/dx = 1/√(1 – x ² )]

Y, de la ecuación (ii), v = θ [ cos ^-1 (cos θ) = θ, θ ∈ [0, π]

v = sen ^-1 x

dv/dx = 1/√(1-x ² ) —-(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 2 (respuesta)

(ii) Sea u = sen ^-1 (2x √(1-x ² ))

Sustituye x = sen θ ⇒ θ = sen ^-1 x

u = sen ^-1 (2 sen θ √(1 – sen ² θ))

u = sen ^-1 (2 sen θ cos θ) [sen ² θ + cos ² θ = 1]

u = sen ^-1 (sen 2 θ) —–(i)

Y, sea v = sec ^-1 (1/√(1-x ² ))

v = seg ^-1 (1/√(1-sen ² θ))

v = seg ^-1 (1/ cos θ) [sen ² θ + cos ² θ = 1]

v = sec ^-1 (sec θ) [sec θ = 1/ cos θ]

v = cos- ¹ (1/seg θ)

v = cos ^-1 (cos θ) —-(ii) [seg ^-1 x=cos ^-1 (1/x)]

Aquí, x ∈ (1/√2, 1)

sen θ ∈ (1/√2, 1)

θ ∈ ( / 4, π/ 2)

De la ecuación (i), u = 2θ [ sen ^-1 (sen θ) = θ, θ ∈ [ – π / 2, π / 2] ]

u = 2sen ^-1 x

du/dx = 2/√(1-x ² ) —–(iii) [d(sen ^-1 x)/dx = 1/√(1 – x ² )]

Y, de la ecuación (ii), v = θ [ cos ^-1 (cos θ) = θ, θ ∈ [ 0 , π ]

v = sen ^-1 x

dv/dx = 1/√(1-x ² ) —-(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 2 (respuesta)

Pregunta 8: Diferenciar (cos x) ^{sen x} con respecto a (sen x) ^{cos x} .

Solución:

Sea u = (cos x) ^{sen x}

Tomando registro en ambos lados,

log u = log(cos x) ^{sen x}

log u = sen x * log (cos x)

Derivando la ecuación anterior con respecto a x, usando la regla del producto y la string,

1/u * du/dx = sen x * (1/cos x) * (- sen x) + cos x * log(cos x)

1/u * du/dx = (- sen x)* tan x + cos x * log (cos x)

du/dx = u * [(- sen x)* tan x + cos x * log (cos x)]

du/dx = (cos x) ^{sen x} * [cos x * log (cos x) – sen x * tan x ] —–(i)

Y, sea v = (sen x) ^{cos x}

Del mismo modo, tomando log y derivando la ecuación anterior, obtenemos

dv/dx = (sen x) ^{cos x} * [cot x * cos x – sen x * log(sen x)] —–(ii)

Dividiendo la ecuación (i) por (ii)

du/dv = {(cos x)sen x * [cos x * log (cos x) – sen x * tan x ]} / {(sen x)cos x * [cot x * cos x – sen x * log( sen x)]} (Respuesta)

Pregunta 9: Diferenciar sen ^-1 (2x / (1+x ² )) con respecto a cos ^-1 ((1-x ² ) / (1+x ² )), si 0<x<1.

Solución:

Sea u = sen ^-1 (2x / (1+x ² ))

Sustituye x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 x

u = sen ^-1 (2 tan θ / (1 + tan ² θ))

u = sen ^-1 (sen 2θ) —–(i) [ sen2θ = 2 tanθ/(1 + tan ² θ) ]

Sea v = cos ^-1 ((1 – x ² ) / (1 + x ² ))

v = cos ^-1 ((1 – tan ² θ) / (1 + tan ² θ))

v = cos ^-1 (cos 2θ) —–(ii) [ cos2θ = (1 – tan ² θ) / (1 + tan ² θ) ]

Aquí, 0 < x <1

⇒ 0 < tan θ < 1

⇒ 0 < θ < /4

De la ecuación (i), u = 2θ [ sen ^-1 (sen θ) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ] ]

u = 2 tan ^-1 x

Derivando la ecuación anterior con respecto a x,

du/dx = 2/(1 + x ² ) —–(iii)

De la ecuación (ii), v = 2θ [ cos ^-1 (cos θ) = θ, θ ∈ [0, π]

v = 2 tan ^-1 x

Derivando la ecuación anterior con respecto a x,

dv/dx = 2/(1 + x ² ) —–(iv)

Dividiendo la ecuación (iii) por (iv)

du/dv = 1 (respuesta)

Pregunta 10: Diferenciar tan ^-1 ((1 + ax) / (1 – ax)) con respecto a √(1 + a ² x ² ).

Solución:

Sea u = tan ^-1 ((1 + ax) / (1 – ax))

Sustituye ax = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 (ax)

u = tan ^-1 ((1 + tan θ) / (1 – tan θ))

u = tan ^-1 ((tan π/4 + tan θ) / (1 – tan π/4 * tan θ))

u = tan ^-1 (tan (π/4 + θ) [ tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 – tan A * tan B) ]

tu = π/4 + θ

u = π/4 + tan ^-1 (ax)

Derivando la ecuación anterior con respecto a x,

du/dx = 0 + 1 / (1 + (ax) ² ) * a = a/(1 + a ² x ² ) —–(i)

Ahora, sea v = √(1 + a ² x ² )

dv/dx = 1/(2*√(1 + a ² x ² )) * a ² * 2x = a ² x / √(1 + a ² x ² ) —–(ii)

Dividiendo la ecuación (i) por (ii)

du/dv = 1/(ax*√(1 + a ² x ² )) (Respuesta)