Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 13 Derivado como medidor de tasa – Ejercicio 13.1

Pregunta 1. Encuentra la tasa de cambio del área de superficie total de un cilindro de radio r y altura h, cuando el radio varía.

Solución:

Sea la superficie total del cilindro A 
A = 2πr(r + h) 
Ahora la diferenciaremos con respecto a r cuando r varía 
dA/dr = 2πr(0+1) + (h+r)2π 
dA/dr = 4πr + 2πh

Pregunta 2. Encuentra la tasa de cambio del volumen de una esfera con respecto a su diámetro.

Solución:

Sea D el diámetro y r el radio de la esfera. 
Entonces volumen de esfera = 4/3πr ² 
entonces podemos escribir como v = 4/24πD ³ [d = 2r] 
Ahora lo diferenciaremos con respecto a D 
dv/dD = 12/24πD ² 
dv/dD = πD ² /2

Pregunta 3. Encuentra la tasa de cambio del volumen de una esfera con respecto a su área de superficie cuando el radio es de 2 cm.

Solución:

Dado el radio de la esfera en cuestión (r) = 2 cm 
Como sabemos, v = 4/3πr ² 
dv/dr = 4πr ² —-(ecuación i) 

A = 4πr ² 
dA/dr = 8πr ² —-(ecuación ii) 
Dividiendo la ecuación (i) y (ii) 
(dv/dr)/(dA/dr) = 4πr ² / 8πr 
dv/dA = r/2 
dv/ dA en r = 2 es 1.

Pregunta 4. Encuentra la tasa de cambio del área de un disco circular con respecto a su circunferencia cuando el radio es de 3 cm.

Solución:

Sea r el radio del disco circular. 
Como sabemos que Área(A) = πr ² 
dA/dr = 2πr —(ecuación i) 
circunferencia(C) = 2πr 
dC/dr = 2π —(ecuación ii) 
Dividiendo la ecuación (i) entre (ii) 
(dA/dr )/(cc/dr) = 2πr / 2π 
dA/dc = r 
En r = 3 dA/dc = 3.

Pregunta 5. Encuentra la tasa de cambio del volumen de un cono con respecto al radio de su base.

Solución:

Sea r el radio 
V el volumen del cono 
h la altura 
Como sabemos que V = 1/3πr ² h 
dV/dr = 2/3πrh.

Pregunta 6. Encuentra la tasa de cambio del área de un círculo con respecto a su radio r cuando r = 5 cm.

Solución:

Sea r el radio 
A sea el área del círculo. 
Como sabemos que A = πr ² 
dA/dr = 2πr 
En r=5 , dA/dr = 2π(5) 
= 10π

Pregunta 7. Encuentra la razón de cambio del volumen de la pelota con respecto a su radio r. ¿Qué tan rápido cambia el volumen con respecto al radio cuando el radio es de 2 cm? 

Solución:

Aquí dado en la pregunta, r = 2cm 
V = 4/3πr ³ 
dV/dr = 4πr ² 
En r = 2, dV/dr = 4π(2) ² 
= 16π

Pregunta 8. El costo total C(x) en rupias asociado con la producción de x unidades de un artículo está dado por C(x) = 0.007x ³ – 0.003x ² + 15x + 4000. Halle el costo marginal cuando 17 unidades son producido.

Solución:

Aquí en la pregunta dada: 
El costo marginal es la tasa de cambio del costo total con respecto a la producción. 
Costo marginal(MC) = dC/dx = 0.007(3x ² ) – 0.003(2x) + 15 
= 0.021x ² – 0.006x + 15 
Cuando x=17 , MC = 0.021(17 ² ) – 0.006(17) + 15 
= 6,069 – 0,102 + 15 
= 20,967 
Cuando se producen 17 unidades, el costo marginal es Rs 20,967.

Pregunta 9. El ingreso total en rupias recibido por la venta de x unidades de una producción dada por R(x) = 13x ² + 26x + 15. Encuentra el ingreso marginal cuando x = 7.

Solución:

El ingreso marginal es la tasa de cambio del ingreso total con respecto al número de unidades vendidas 
Ingreso marginal (MR) = dR/dx = 13(2x) + 26 = 26x + 26 
cuando x = 7 
MR = 26(7) + 26 = 182 +26 = 208 
Entonces podemos que el costo marginal requerido sea Rs208.

Pregunta 10. El dinero a gastar para el bienestar de los empleados de una empresa es proporcional a la tasa de cambio de sus ingresos totales (ingresos marginales). Si el ingreso total (en rupias) recibido de la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = 3x ² +36x+5, encuentre el ingreso marginal, cuando x=5 , y escriba qué valor responde a la pregunta indicar.

Solución:

Dada la función R(x) = 3x ² + 36x + 5 
dR/dx = 6x + 36 
En x = 5, dR/dx = 6 x 5 + 36 
= 66 
Según la pregunta, cantidad de dinero gastado en el bienestar de los empleados.