Pregunta 17. La parte superior de una escalera de 6 metros de largo está apoyada contra una pared vertical sobre un pavimento nivelado, cuando la escalera comienza a deslizarse hacia afuera. En el momento en que el pie de la escalera está a 4 metros de la pared, se desliza alejándose de la pared a razón de 0,5 m/seg. ¿Qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior en este caso? ¿A qué distancia está el pie de la pared cuando éste y la parte superior se mueven a la misma velocidad?
Solución:
Sea el pie de la escalera a una distancia de x metro de la base de la pared y su parte superior a una distancia de y metro sobre el suelo.
Usando el Teorema de Pitágoras podemos obtener, x 2 + y 2 = 36
⇒ 2x = -2y ……………………..(ecuación 1)
cuando x = 4, y = 2√5
⇒ 2x4x0.5 = -2×2√5
⇒ = -1/√5 m/s
Ahora usando la ecuación 1, podemos escribir
⇒ 2x = -2y
⇒ x = -y
Poniendo x = -y en x 2 + y 2 = 36, obtenemos
⇒ 2x 2 = 36 ⇒ x = 3 √2 metro
Pregunta 18. Se está inflando un globo en forma de cono circular recto coronado por un hemisferio, que tiene un diámetro igual a la altura del cono. ¿Qué tan rápido cambia su volumen con respecto a su altura total h, cuando h = 9 cm.
Solución:
Sea r el radio del hemisferio y el cono tiene altura h y el volumen del arreglo compuesto sea V, entonces de acuerdo con la figura,
⇒ H = h+ r
⇒ H = 3r [Ya que, h = 2r]
⇒ = 3 ———————(ecuación 1)
Ahora, el volumen del arreglo compuesto es:
V =
⇒ V = [h = 2r]
⇒V =
⇒ =
⇒\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = \frac{4}{3} \pi r^2 \frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t } [usando la ecuación 1]
⇒ =
⇒ = 12 cm 3 /seg
Pregunta 19. El agua corre hacia un cono invertido a razón de π metros cúbicos por minuto. La altura del cono es de 10 metros y el radio de su base es de 5 m. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando el agua se encuentra a 7,5 m por debajo de la base?
Solución:
Sea r el radio, h la altura y V el volumen del cono en cualquier momento t.
V = πr 2 h/3
=
De la imagen podemos concluir,
h = 2r y
⇒ = +
⇒ =
⇒ =
⇒ =
⇒ =
⇒
⇒
⇒ = 0,64 m/min
Pregunta 20. Un hombre de 2 metros de altura camina a una velocidad uniforme de 6 km/h alejándose de un poste de luz de 6 metros de altura. ¿Encuentre la tasa a la que aumenta la longitud de su sombra?
Solución:
Dado que, MNO ∼ XYO,
=
⇒ =
⇒ m/n = 2
⇒ metro = 2n
⇒
⇒6 = 2
⇒ = 3 km/h
Pregunta 21. El área de la superficie de una burbuja esférica aumenta a razón de 2 cm 2 /s. Cuando el radio de la burbuja es de 6 cm, ¿a qué velocidad aumenta el volumen de la burbuja?
Solución:
Sean r, S, V el radio, el área superficial y el volumen de la burbuja esférica, respectivamente.
El área superficial está aumentando, por lo tanto = 2 cm 2 /s
Dado que el área de superficie de una burbuja esférica está dada por S = 4πr 2
⇒ = 8πr
⇒ 2 = 8πx6
⇒ = cm/s
Sabemos, V =
⇒ = 4πr 2
⇒ = 4π x 36 x
⇒ = 6 cm 3 /seg
Pregunta 22. El radio de un cilindro aumenta a razón de 2 cm/seg. y su altura está disminuyendo a razón de 3 cm/seg. Encuentre la tasa de cambio de volumen cuando el radio es de 3 cm y la altura de 5 cm.
Solución:
Sea r el radio y h la altitud y V el volumen del cilindro, entonces según lo dado
= 2 cm/seg y = -3 cm/seg
El volumen del cilindro viene dado por:
V = πr 2 horas
⇒ = 2πrh + πr 2
⇒ = πr
⇒ = π x 3 (2 x 5 x 2 + 2 x (-3) )
⇒ = 33π cm 3 /seg
Pregunta 23. El volumen de metal en una esfera hueca es constante. Si el radio interior aumenta a razón de 1 cm/s, encuentre la tasa de aumento del radio exterior cuando los radios son 4 cm y 8 cm respectivamente.
Solución:
Sea el radio exterior representado por R y el radio interior por r. Ahora, el volumen de la esfera hueca está dado por
V =
⇒ = 4π
Como el volumen es constante, = 0
⇒
⇒ 64 = 16×1
⇒ = cm/s
Pregunta 24. Se vierte arena sobre una pila cónica a razón constante de 50 cm 3 /minuto, de manera que la altura del cono es siempre la mitad del radio de su base. ¿Qué tan rápido aumenta la altura de la pila cuando la arena tiene 5 cm de profundidad?
Solución:
Sea r el radio, h la altura y V el volumen del pilote cónico. Ahora, el volumen de la pila cónica se da como:
V =
⇒ V = [Ya que, h = r/2]
⇒ =
⇒ = 4πh 2
⇒ 50 = 4πh 2
⇒ =
⇒ = cm/min
Pregunta 25. Una cometa tiene 120 m de altura y 130 m de cuerda están fuera. Si la cometa se aleja horizontalmente a una velocidad de 52 m/s, encuentre la velocidad a la que se desenrolla la cuerda.
Solución:
De la figura anterior, podemos inferir usando el Teorema de Pitágoras
MN 2 + NO 2 = MO 2
⇒ x2 + (120) = y2
⇒ 2 = 2 años
⇒ =
Ahora, x = = 50
⇒ = × 52
⇒ = 20 m/s
Pregunta 26. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = (2/3)x 3 + 1. Encuentra los puntos en la curva en los que la coordenada y cambia el doble de rápido que la coordenada x.
Solución:
Dado y = x 3 + 1
⇒ = 2×2
También se da que la coordenada y está cambiando el doble de rápido que la coordenada x, por lo tanto
⇒ =
Resolviendo la ecuación anterior, obtenemos x = ±1
Sustituyendo el valor de x en la ecuación anterior y = 5/3 y y = 1/3
Entonces las coordenadas del punto son y
Pregunta 27. ¿ Encuentra el punto en la curva y 2 = 8x para el cual la abscisa y la ordenada cambian al mismo ritmo?
Solución:
Dado, y 2 = 8x
⇒ 2 años = 8
Ahora, dado que la abscisa y la ordenada cambian a la misma velocidad, por lo tanto
⇒ 2 años = 8
⇒ y = 4
Por lo tanto, sustituyendo el valor de y en la ecuación original. obtenemos
16 = 8x ⇒ x = 2
Por lo tanto, la coordenada del punto es (2,4)
Pregunta 28. El volumen de un cubo aumenta a razón de 9 cm 3 /seg. ¿Qué tan rápido aumenta el área de la superficie cuando la longitud de un borde es de 10 cm?
Solución:
Denotemos la arista del cubo con a y su volumen con V.
Sabemos, Volumen del cubo, V = a 3
⇒ = 3a 2
⇒ 9 = 3 × (10) 2
⇒ = 0,03 cm/s
Ahora, dejemos que el área de la superficie del cubo esté dada por A = 6a 2
⇒ = 12a
⇒ = 12x10x0,03
⇒ = 3,6 cm 2 /seg
Pregunta 29. El volumen de un globo esférico aumenta a razón de 25 cm 3 /seg. ¿Encuentra la tasa de cambio de su área superficial en el instante en que el radio es de 5 cm?
Solución:
Sea r el radio, V el volumen y S el área superficial del globo esférico.
Sabemos, V = πr 3
⇒ = 4πr 2
⇒ 25 = 4π (5) 2
⇒ = cm/s
Además, área de superficie, A = 4πr 2
⇒ = 8πr
⇒ = 8π x 5 x
⇒ = 10 cm 2 /seg
Pregunta 30. (i) La longitud x de un rectángulo disminuye a razón de 5 cm/minuto y el ancho y aumenta a razón de 4 cm/minuto. Cuando x = 8 cm y y = 6 cm, ¿cuáles son las tasas de cambio del perímetro?
(ii) La longitud x de un rectángulo disminuye a razón de 5 cm/minuto y el ancho y aumenta a razón de 4 cm/minuto. Cuando x = 8 cm y y = 6 cm, encuentre las tasas de cambio del área del rectángulo.
Solución:
Nos dan, = -5cm/min y = 4cm/min
(i) Sabemos, perímetro de un rectángulo P = 2(x + y)
⇒ = 2 ( + )
⇒ = 2 (-5 + 4)
⇒ = -2cm/min
(ii) Además, Área del rectángulo A = xy
⇒ = x + y
⇒ = 8×4 + 6x (-5)
⇒ = 2 cm 2 /min
Pregunta 31. Se está calentando un disco circular de 3 cm de radio. Debido a la expansión, su radio aumenta a razón de 0,05 cm/seg. Encuentre la tasa a la que su área aumenta cuando el radio es de 3,2 cm.
Solución:
Sea r el radio y A el área del disco circular respectivamente.
Entonces A = πr 2
⇒ = 2πr
⇒ = 2π x 3,2 x 0,05
⇒ = 0,32π cm 2 /seg
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por saurabh48782 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA