Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Tangentes y normales – Ejercicio 16.1

Pregunta 11. Encuentra los puntos en la curva y = 3x ² − 9x + 8 en los que las tangentes tienen la misma inclinación que los ejes.

Solución:

La curva dada es y = 3x ² − 9x + 8. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 6x − 9 . . . . (1)

Se nos da que la tangente tiene la misma inclinación que los ejes. Entonces θ = π/4 o –π/4.

Por lo tanto, la pendiente de la tangente es ±1.

=> 6x − 9 = 1 o 6x − 9 = –1

=> 6x = 10 o 6x = 8

=> x = 5/3 o x = 4/3

Cuando x = 5/3,

y = 3 (5/3) ² − 9 (5/3) + 8 = 4/3

Cuando x = 4/3,

y = 3 (4/3) ² − 9 (5/3) + 8 = 4/3

Por lo tanto, los puntos requeridos son (5/3, 4/3) y (4/3, 4/3).

Pregunta 12. ¿En qué puntos de la curva y = 2x ² − x + 1 es la tangente paralela a la línea y = 3x + 4?

Solución:

La curva dada es y = 2x ² − x + 1. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 4x − 1 . . . . (1)

Sabemos que la tangente es paralela a la línea y = 3x + 4. Ahora la pendiente de la línea es 3, por lo que la pendiente de la tangente también debe ser 3. Entonces, tenemos,

=> 4x − 1 = 3

=> x = 1

Poniendo x = 1 en la curva y = 2x ² − x + 1, obtenemos

y = 2(1) − 1 + 1 = 2

Por lo tanto, el punto requerido es (1, 2).

Pregunta 13. Encuentra el punto en la curva y = 3x ² + 4 en el que la tangente es perpendicular a la línea cuya pendiente es −1/6.

Solución:

La curva dada es y = 3x ² + 4. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 6x

Se da que la tangente es perpendicular a la recta cuya pendiente es −1/6. Entonces el producto de ambas pendientes debe ser −1.

Por lo tanto la pendiente de la tangente, dy/dx = 6.

=> 6x = 6

=> x = 1

Poniendo x = 1 en la curva y = 3x ² + 4, obtenemos,

=> y = 3(1) ² + 4 = 3 + 4 = 7

Por lo tanto, (1, 7) es el punto requerido.

Pregunta 14. Encuentra los puntos en la curva x ² + y ² = 13, la tangente en cada uno de los cuales es paralela a la línea 2x + 3y = 7.

Solución:

La curva dada es x ² + y ² = 13. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> 2x + 2y dy/dx = 0

=> dy/dx = −x/y . . . . (1)

Se da que la tangente es paralela a la recta 2x + 3y = 7.

=> 3y = −2x + 7

=> y = −(2/3)x + 7/3

Por lo tanto, la pendiente de la línea es −2/3 y la pendiente de la tangente también es −2/3 ya que la pendiente de las líneas paralelas es igual.

=> dy/dx = −2/3 . . . . (2)

De (1) y (2), obtenemos,

=> −x/y = −2/3

=> x = 2y/3 . . . . (3)

Poniendo x = 2y/3 en la curva x ² + y ² = 13, obtenemos,

=> 4y ² /9 + y ² = 13

=> 13 años 2/9 ⁼ 13

=> y ² = 9

=> y = ±3

Poniendo y = ±3, en (3), obtenemos,

Cuando y = 3, x = 2 y cuando y = −3, x = −2.

Por lo tanto, los puntos requeridos son (2, 3) y (−2, −3).

Pregunta 15. Encuentra los puntos en la curva 2a ² y = x ³ − 3ax ² donde la tangente es paralela al eje x.

Solución:

La curva dada es 2a ² y = x ³ − 3ax ² . Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> 2a ² dy/dx = 3x ² − 3a (2x)

=> dy/dx = $\frac{3x^2-6ax}{2a^2}$

Se da que la tangente es paralela al eje x, por lo que la pendiente de la tangente se vuelve 0.

=> $\frac{3x^2-6ax}{2a^2}$ = 0

=> 3x (x − 2a) = 0

=> x = 0 o x = 2a

Cuando x = 0, el valor de y de la curva es,

=> y = $\frac{x^3-3ax^2}{2a^2}$

=> y = $\frac{0-0}{2a^2}$

=> y = 0

Y cuando x = 2a, el valor de y es,

=> y = $\frac{(2a)^3-3a(2a)^2}{2a^2}$

=> y = $\frac{8a^3-12a^3}{2a^2}$

=> y = −2a

Por lo tanto, los puntos requeridos son (0, 0) y (2a, −2a).

Pregunta 16. ¿En qué puntos de la curva y = x ² − 4x + 5 es la tangente perpendicular a la línea 2y + x = 7?

Solución:

La curva dada es y = x ² − 4x + 5. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 2x − 4 . . . . (1)

Se da que la tangente es perpendicular a la recta 2y + x = 7.

=> 2y = −x + 7

=> y = −(1/2)x + 7/2

Por lo tanto la pendiente de la recta es −1/2 y el producto de esta pendiente con la de la tangente es −1 ya que ambas rectas son perpendiculares entre sí.

Entonces, la pendiente de la tangente es 2.

=> dy/dx = 2 . . . . (2)

De (1) y (2), obtenemos,

=> 2x − 4 = 2

=> x = 3

Poniendo esto en la curva y = x ² − 4x + 5, obtenemos

=> y = x2 − 4x + 5

= (3) ² − 4(3) + 5

= 2

Por lo tanto, el punto requerido es (3, 2).

Pregunta 17. Encuentra puntos en la curva x ² /4 + y ² /25 = 1 en los que las tangentes son

(i) paralelo al eje x

Solución:

La curva dada es x ² /4 + y ² /25 = 1. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> 2x/4 + 2y/25 (dy/dx) = 0

=> dy/dx = −25x/4y

Como se da que la tangente es paralela al eje x, su pendiente debe ser 0.

=> −25x/4y = 0

=> x = 0

Poniendo esto en la curva x ² /4 + y ² /25 = 1, obtenemos

=> y ² = 25

=> y = ±5

Por lo tanto, los puntos requeridos son (0, 5) y 0, −5).

(ii) paralelo al eje y

Solución:

Pendiente de la tangente = dy/dx = −25x/4y

Por tanto, pendiente de la normal = $\frac{-1}{\frac{-25x}{4y}}$ = 4y/25x

Como se da que la tangente es paralela al eje y, la pendiente de la normal debe ser 0.

=> 4y/25x = 0

=> y = 0

Poniendo esto en la curva x ² /4 + y ² /25 = 1, obtenemos

=> x2 = ⁴

=> x = ±2

Por lo tanto, los puntos requeridos son (2, 0) y (−2, 0).

Pregunta 18. Encuentra los puntos en la curva x ² + y ² − 2x − 3 = 0 en los que las tangentes son paralelas a

(i) eje x

Solución:

La curva dada es x ² + y ² − 2x − 3 = 0. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> 2x + 2y (dy/dx) − 2 = 0

=> dy/dx = (1−x)/y

Como se da que la tangente es paralela al eje x, su pendiente debe ser 0.

=> (1−x)/y = 0

=> x = 1

Poniendo esto en la curva x ² + y ² − 2x − 3 = 0, obtenemos

=> 1 + y ² − 2 − 3 = 0

=> y ² = 4

=> y = ±2

Por lo tanto, los puntos requeridos son (1, 2) y (1, −2).

(ii) eje y

Solución:

Pendiente de la tangente = dy/dx = (1−x)/y

Por lo tanto, pendiente de la normal = $\frac{-1}{\frac{(1−x)}{y}}$ = y/(x−1)

Como se da que la tangente es paralela al eje y, la pendiente de la normal debe ser 0.

=> y/(x−1) = 0

=> y = 0

Poniendo esto en la curva x ² + y ² − 2x − 3 = 0, obtenemos

=> x2 − ^2x − 3 = 0

=> x = −1, 3

Por lo tanto, los puntos requeridos son (−1, 0) y (3, 0).

Pregunta 19. Encuentra puntos en la curva x ² /9 + y ² /16 = 1 en los que las tangentes son

(i) paralelo al eje x

Solución:

La curva dada es x ² /9 + y ² /16 = 1. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> 2x/9 + 2y/16 (dy/dx) = 0

=> dy/dx = −16x/9y

Como se da que la tangente es paralela al eje x, su pendiente debe ser 0.

=> −16x/9y = 0

=> x = 0

Poniendo esto en la curva x ² /9 + y ² /16 = 1, obtenemos

=> y ² = 16

=> y = ±4

Por lo tanto, los puntos requeridos son (0, 4) y 0, −4).

(ii) paralelo al eje y

Solución:

Pendiente de la tangente = dy/dx = −16x/9y

Por tanto, pendiente de la normal = $\frac{-1}{\frac{-16x}{9y}}$ = 9y/16x

Como se da que la tangente es paralela al eje y, la pendiente de la normal debe ser 0.

=> 9y/16x = 0

=> y = 0

Poniendo esto en la curva x ² /9 + y ² /16 = 1, obtenemos

=> x2 = ⁹

=> x = ±3

Por lo tanto, los puntos requeridos son (3, 0) y (−3, 0).

Pregunta 20. Muestre que las tangentes a la curva y = 7x ³ + 11 en los puntos donde x = 2 y x = −2 son paralelas.

Solución:

La curva dada es y = 7x ³ + 11. Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 21x ²

Ahora la pendiente en x = 2 es

=> dy/dx = 21(2) ² = 84

Y la pendiente en x = −2 es,

=> dy/dx = 21(−2) ² = 84

Como las pendientes en x = 2 y x = −2 son iguales, estas tangentes son paralelas.

Por lo tanto probado.

Pregunta 21. Encuentra los puntos en la curva y = x ³ donde la pendiente de la tangente es igual a la coordenada x del punto.

Solución:

La curva dada es y = x ³ . Sabemos que la pendiente de la tangente de una curva está dada por dy/dx.

=> dy/dx = 3x ²

Se da que la pendiente de la tangente es igual a la coordenada x del punto.

=> 3x ² = x

=> x(3x − 1) = 0

=> x = 0 o x = 1/3

Cuando x = 0, y = 0 ³ = 0

Y cuando x = 1/3, y = (1/3) ³ = 1/27

Por lo tanto, los puntos requeridos son (0, 0) y (1/3, 1/27).

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Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Tangentes y normales – Ejercicio 16.1 | conjunto 2

Pregunta 11. Encuentra los puntos en la curva y = 3x ² − 9x + 8 en los que las tangentes tienen la misma inclinación que los ejes.

Pregunta 12. ¿En qué puntos de la curva y = 2x ² − x + 1 es la tangente paralela a la línea y = 3x + 4?

Pregunta 13. Encuentra el punto en la curva y = 3x ² + 4 en el que la tangente es perpendicular a la línea cuya pendiente es −1/6.

Pregunta 14. Encuentra los puntos en la curva x ² + y ² = 13, la tangente en cada uno de los cuales es paralela a la línea 2x + 3y = 7.

Pregunta 15. Encuentra los puntos en la curva 2a ² y = x ³ − 3ax ² donde la tangente es paralela al eje x.

Pregunta 16. ¿En qué puntos de la curva y = x ² − 4x + 5 es la tangente perpendicular a la línea 2y + x = 7?

Pregunta 17. Encuentra puntos en la curva x ² /4 + y ² /25 = 1 en los que las tangentes son

Pregunta 18. Encuentra los puntos en la curva x ² + y ² − 2x − 3 = 0 en los que las tangentes son paralelas a

Pregunta 19. Encuentra puntos en la curva x ² /9 + y ² /16 = 1 en los que las tangentes son

Pregunta 20. Muestre que las tangentes a la curva y = 7x ³ + 11 en los puntos donde x = 2 y x = −2 son paralelas.

Pregunta 21. Encuentra los puntos en la curva y = x ³ donde la pendiente de la tangente es igual a la coordenada x del punto.

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Pregunta 11. Encuentra los puntos en la curva y = 3x 2 − 9x + 8 en los que las tangentes tienen la misma inclinación que los ejes.

Pregunta 12. ¿En qué puntos de la curva y = 2x 2 − x + 1 es la tangente paralela a la línea y = 3x + 4?

Pregunta 13. Encuentra el punto en la curva y = 3x 2 + 4 en el que la tangente es perpendicular a la línea cuya pendiente es −1/6.

Pregunta 14. Encuentra los puntos en la curva x 2 + y 2 = 13, la tangente en cada uno de los cuales es paralela a la línea 2x + 3y = 7.

Pregunta 15. Encuentra los puntos en la curva 2a 2 y = x 3 − 3ax 2 donde la tangente es paralela al eje x.

Pregunta 16. ¿En qué puntos de la curva y = x 2 − 4x + 5 es la tangente perpendicular a la línea 2y + x = 7?

Pregunta 17. Encuentra puntos en la curva x 2 /4 + y 2 /25 = 1 en los que las tangentes son

Pregunta 18. Encuentra los puntos en la curva x 2 + y 2 − 2x − 3 = 0 en los que las tangentes son paralelas a

Pregunta 19. Encuentra puntos en la curva x 2 /9 + y 2 /16 = 1 en los que las tangentes son

Pregunta 20. Muestre que las tangentes a la curva y = 7x 3 + 11 en los puntos donde x = 2 y x = −2 son paralelas.

Pregunta 21. Encuentra los puntos en la curva y = x 3 donde la pendiente de la tangente es igual a la coordenada x del punto.

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Pregunta 11. Encuentra los puntos en la curva y = 3x ² − 9x + 8 en los que las tangentes tienen la misma inclinación que los ejes.

Pregunta 12. ¿En qué puntos de la curva y = 2x ² − x + 1 es la tangente paralela a la línea y = 3x + 4?

Pregunta 13. Encuentra el punto en la curva y = 3x ² + 4 en el que la tangente es perpendicular a la línea cuya pendiente es −1/6.

Pregunta 14. Encuentra los puntos en la curva x ² + y ² = 13, la tangente en cada uno de los cuales es paralela a la línea 2x + 3y = 7.

Pregunta 15. Encuentra los puntos en la curva 2a ² y = x ³ − 3ax ² donde la tangente es paralela al eje x.

Pregunta 16. ¿En qué puntos de la curva y = x ² − 4x + 5 es la tangente perpendicular a la línea 2y + x = 7?

Pregunta 17. Encuentra puntos en la curva x ² /4 + y ² /25 = 1 en los que las tangentes son

Pregunta 18. Encuentra los puntos en la curva x ² + y ² − 2x − 3 = 0 en los que las tangentes son paralelas a

Pregunta 19. Encuentra puntos en la curva x ² /9 + y ² /16 = 1 en los que las tangentes son

Pregunta 20. Muestre que las tangentes a la curva y = 7x ³ + 11 en los puntos donde x = 2 y x = −2 son paralelas.

Pregunta 21. Encuentra los puntos en la curva y = x ³ donde la pendiente de la tangente es igual a la coordenada x del punto.