Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Tangentes y normales – Ejercicio 16.2

Pregunta 1. Encuentra la ecuación de la tangente a la curva √x + √y = a en el punto (a 2/4, ^a 2/4 ⁾ .

Solución:

Tenemos,

√x + √y = un

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} = 0$

dy/dx = -√y/√x

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (a ^2/4 , a ^2/4 ),

Pendiente de la tangente, m = $(\frac{dy}{dx})_{\left(\frac{a^2}{4},\frac{a^2}{4}\right)}=\frac{-\sqrt{\frac{a^2}{4}}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}}}=-1$

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – un ^2/4 = –1(x – un ^2/4 )

y – un ^2/4 = –x + un ^2/4

x + y = un ^2/2

Pregunta 2. Encuentra la ecuación de la normal a y = 2x ³ − x ² + 3 en (1, 4).

Solución:

Tenemos,

y = 2x ³ − x ² + 3

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

dy/dx = 6x ² – 2x

Pendiente de la tangente = $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( 1, 4 \right)}$ = 6 (1) ² – 2 (1) = 4

Pendiente de la normal = – 1/Pendiente de la tangente = – 1/4

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (1, 4),

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y-4 = -1/4 (x-1)

4y – 16 = – x + 1

x + 4y = 17

Pregunta 3. Encuentra la ecuación de la tangente y la normal a la siguiente curva en el punto indicado:

(i) y = x ⁴ − bx ³ + 13x ² − 10x + 5 en (0, 5)

Solución:

Tenemos,

y = x ⁴ − bx ³ + 13x ² − 10x + 5

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

dy/dx = 4x ³ – 3bx ² + 26x – 10

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( 0, 5 \right)}$ = -10

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (0, 5)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – 5 = – 10 (x – 0)

y – 5 = -10x

y + 10x – 5 = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y-5 = 1/10 (x-0)

10 años – 50 = x

x – 10y + 50 = 0

(ii) y = x ⁴ − 6x ³ + 13x ² − 10x + 5 en x = 1

Solución:

Tenemos,

y = x ⁴ − 6x ³ + 13x ² − 10x + 5

Cuando x = 1, tenemos y = 1 – 6 + 13 – 10 + 5 = 3

Entonces, (x ₁ , y ₁ ) = (1, 3)

Ahora, y = x ⁴ − 6x ³ + 13x ² − 10x + 5

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

dy/dx = 4 x ³ – 18 x ² + 26x – 10

Pendiente de la tangente, m = $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( 1, 3 \right)}$ = 4 – 18 + 26 – 10 = 2

La ecuación de la tangente es,

y-y1 = ₂ (x- _x1 )

y-3 = 2 (x-1)

y-3 = 2x-2

2x – y + 1 = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y-3 = -1/2 (x-1)

2y – 6 = – x + 1

x + 2y – 7 = 0

(iii) y = x ² en (0, 0)

Solución:

Tenemos,

y = ^x2

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

dy/dx = 2x

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (0, 0)

Pendiente de la tangente, m= $\left(\frac{dy}{dx} \right)_{\left( 0, 0 \right)}$ = 2 (0) = 0

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y-0 = 0 (x-0)

y = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – 0 = -1/0 (x – 0)

x = 0

(iv) y = 2x ² − 3x − 1 en (1, −2)

Solución:

Tenemos,

y = 2x ² − 3x − 1

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

dy/dx = 4x – 3

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (1, -2)

Pendiente de la tangente, m = $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( 1, - 2 \right)}$ = 4 – 3 = 1

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y + 2 = 1 (x – 1)

y + 2 = x – 1

x-y-3 = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y + 2 = -1 (x – 1)

y + 2 = -x + 1

x + y + 1 = 0

(v) $y^2 = \frac{x^3}{4 - x}$ en (2, -2)

Solución:

Tenemos,

$y^2 = \frac{x^3}{4 - x}$

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$2y \frac{dy}{dx} = \frac{\left( 4 - x \right)\left( 3 x^2 \right) - x^3 \left( - 1 \right)}{\left( 4 - x \right)^2}$

= $\frac{12 x^2 - 3 x^3 + x^3}{\left( 4 - x \right)^2}$

= $\frac{12 x^2 - 2 x^3}{\left( 4 - x \right)^2}$

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (2, -2)

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( 2, - 2 \right)}$ = $\frac{48 - 16}{- 16}$ = -2

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y + 2 = -2 (x – 2)

y + 2 = -2x + 4

2x + y – 2 = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y + 2 = 1/2 (x – 2)

2y + 4 = x – 2

x-2y-6 = 0

(vi) y = x ² + 4x + 1 en x = 3

Solución:

Tenemos,

y = x ² + 4x + 1

Al derivar ambos lados de x, obtenemos,

dy/dx = 2x + 4

Cuando x = 3, y = 9 + 12 + 1 = 22

Entonces, (x ₁ , y ₁ ) = (3, 22)

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x = 3}$ = 10

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y-22 = 10 (x-3)

y-22 = 10x-30

10x-y-8 = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y-22 = -1/10 (x-3)

10y – 220 = – x + 3

x + 10y – 223 = 0

(vii) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (a cos θ, b sen θ)

Solución:

Tenemos,

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = \frac{- 2x}{a^2}$

dy/dx = -xb ² /ya ²

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( a \cos \theta, b \sin \theta \right)} =\frac{- a \cos \theta \left( b^2 \right)}{b \sin \theta \left( a^2 \right)}=\frac{- b \cos \theta}{a \sin \theta}$

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (a cos θ, b sen θ)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – b sen θ = -bcosθ/asinθ (x – a cos θ)

ay sen θ – ab sen ² θ = -bx cos θ + ab cos ² θ

bx cos θ + ay sen θ = ab

Al dividir por ab, obtenemos

x/a cosθ + y/b senθ = 1

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – b sin θ = asinθ/bcosθ (x – a cos θ)

por cos θ – b ² sen θ cos θ = ax sen θ – a ² sen θ cos θ

hacha sen θ – by cos θ = (a ² – b ² ) sen θ cos θ

Al dividir por sen θ cos θ, obtenemos

hacha sec θ – by cosec θ = a ² – b ²

(viii) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (a sec θ, b tan θ)

Solución:

Tenemos,

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2}$

dy/dx = xb ² /ya ²

Pendiente de la tangente}, m= $\left(\frac{dy}{dx} \right)_{\left( a \sec \theta, b \tan \theta \right)} =\frac{a \sec \theta \left( b^2 \right)}{b \tan \theta \left( a^2 \right)}=\frac{b}{a \sin \theta}$

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (a sec θ, b tan θ)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – b tan θ = $\frac{b}{a \sin \theta}$ (x – a sec θ)

ay sen θ – ab(sen ² θ/cos θ) = bx – (ab/cos θ)

$\frac{ay \sin \theta \cos \theta - ab \sin^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{bx \cos \theta - ab}{\cos \theta}$

ay sen θ cos θ – ab sen ² θ = bx cos θ – ab

bx cos θ – ay sen θ cos θ = ab (1 – sen ² θ)

bx cos θ – ay sen θ cos θ = ab cos ² θ

Al dividir por ab cos ² θ, obtenemos

x/a seg θ – y/b tan θ = 1

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – b tan θ = -a sin θ/b (x – a sec θ)

por – b ² tan θ = -ax sen θ + a ² tan θ

hacha sen θ + by = (a ² + b ² ) tan θ

Al dividir por tan θ, obtenemos

hacha cos θ + by cot θ = a ² + b ²

(ix) y ² = 4ax en (a/m ² , 2a/m)

Solución:

Tenemos,

y2 ⁼ 4ax

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$2y \frac{dy}{dx} = 4a$

dy/dx = 2a/y

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (a/m ² , 2a/m)

Pendiente de la tangente = $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m} \right)} =\frac{2a}{\left( \frac{2a}{m} \right)}$ = m

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

$y - \frac{2a}{m} = m \left( x - \frac{a}{m^2} \right)$

$\frac{my - 2a}{m} = m\left( \frac{m^2 x - a}{m^2} \right)$

mi – 2a = metro ² x – un

m ² x – mi + a = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

$y - \frac{2a}{m} = \frac{- 1}{m}\left( x - \frac{a}{m^2} \right)$

$\frac{my - 2a}{m} = \frac{- 1}{m}\left( \frac{m^2 x - a}{m^2} \right)$

metro ³ y – 2a metro ² = – metro ² x + un

metro ² x + metro ³ y – 2a metro ² – un = 0

(x) c ² (x ² + y ² ) = x ² y ² en (c/cos θ, c/sen θ)

Solución:

Tenemos,

do ² (x ² + y ² ) = x ² y ²

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

2x c ² + 2y c ² (dy/dx) = x ² 2y(dy/dx) + 2x y ²

dy/dx(2y c ² – 2 x ² y) = 2x y ² – 2x c ²

$\frac{dy}{dx} = \frac{x y^2 - x c^2}{y c^2 - x^2 y}$

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( \frac{c}{\cos \theta}, \frac{c}{\sin \theta} \right)}$

= $\frac{\frac{c^3}{\cos \theta \sin^2 \theta} - \frac{c^3}{\cos \theta}}{\frac{c^3}{\sin\theta} - \frac{c^3}{\cos^2 \theta \sin\theta}}$

= $\frac{\frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos\theta \sin^2 \theta}}{\frac{\cos^2 \theta - 1}{\cos^2 \theta \sin\theta}}$

= $\frac{co s^2 \theta}{\cos \theta \sin^2 \theta} \times \frac{\cos^2 \theta \sin\theta}{- \sin^2 \theta}$

= -cos ³ θ/ sen ³ θ

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (c/cos θ, c/sen θ)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

$y - \frac{c}{\sin \theta} = \frac{- \cos^3 \theta}{\sin^3 \theta} \left( x - \frac{c}{\cos \theta} \right)$

$\frac{y\sin\theta - c}{\sin\theta} = \frac{- \cos^3 \theta}{\sin^3 \theta}\left( \frac{x \cos\theta - c}{\cos\theta} \right)$

sen ² θ (y sen θ – c) = -cos ² θ (x cos θ – c)

y sen ³ θ – c sen ² θ = – x cos ³ θ + c cos ² θ

x cos ³ θ + y sen ³ θ = c ( sen ² θ + cos ² θ)

x cos ³ θ + y sen ³ θ = c

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

$y - \frac{c}{\sin \theta} = \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}\left( x - \frac{c}{\cos \theta} \right)$

$\cos^3 \theta\left( y - \frac{c}{\sin \theta} \right) = \sin^3 \theta\left( x - \frac{c}{\cos \theta} \right)$

$y \cos^3 \theta - \frac{c \cos^3 \theta}{\sin\theta} = x \sin^3 \theta - \frac{c \sin^3 \theta}{\cos\theta}$

$x \sin^3 \theta - y \cos^3 \theta = \frac{c \sin^3 \theta}{\cos\theta} - \frac{c \cos^3 \theta}{\sin\theta}$

$x \sin^3 \theta - y \cos^3 \theta = c\left( \frac{\sin^4 \theta - \cos^4 \theta}{\cos\theta \sin\theta} \right)$

$x \sin^3 \theta - y \cos^3 \theta = c\left[ \frac{\left( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right)\left( \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \right)}{\cos\theta \sin\theta} \right]$

$\sin^3 \theta - y \cos^3 \theta =2c \left[ \frac{- \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right)}{2\cos\theta \sin\theta} \right]$

sen ³ θ – ycos ³ θ = 2c[-cos (2θ)/sen(2θ)]

sen ³ θ – y cos ³ θ = -2c cot 2θ

sen ³ θ – y cos ³ θ + 2c cot 2θ = 0

(xi) xy = c ² en (ct, c/t)

Solución:

Tenemos,

xy = c ²

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$x\frac{dy}{dx} + y = 0$

dy/dx = – y/x

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (ct, c/t)

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( ct, \frac{c}{t} \right)} =\frac{- \frac{c}{t}}{ct}=\frac{- 1}{t^2}$

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

$y - \frac{c}{t} = \frac{- 1}{t^2} \left( x - ct \right)$

$\frac{yt - c}{t} = \frac{- 1}{t^2} \left( x - ct \right)$

yt ² – ct = -x + ct

x + yt ² = 2ct

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – c/t – t ² (x – ct)

yt – c = t ³ x – ct ⁴

xt ³ – yt = ct ⁴ – c

(xii) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (x ₁ , y ₁ )

Solución:

Tenemos,

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Al diferenciar ambos lados de x,

$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = \frac{- 2x}{a^2}$

dy/dx = – xb ² /ya ²

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( x_1 , y_1 \right)} =\frac{- x_1 b^2}{y_1 a^2}$

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – y ₁ = – x ₁ segundo ² /y ₁ un ² (x – x ₁ )

yy ₁ un ² – y ₁² un ² = -xx ₁ segundo ² + x ₁² segundo ²

xx ₁ segundo ² + yy ₁ un ² = X ₁^{2 segundo} 2 ⁺ y ₁² un ₂ . . . . (1)

Dado que (x ₁ , y ₁ ) se encuentra en la curva, obtenemos

$\frac{{x_1}^2}{a^2} + \frac{{y_1}^2}{b^2} = 1$

$\frac{{x_1}^2 b^2 + {y_1}^2 a^2}{a^2 b^2} = 1$

X ₁^{2 segundo} 2 ⁺ y ₁² un ² = un ² segundo ²

Sustituyendo esto en (1), obtenemos

xx ₁ segundo ² + yy ₁ un ² = un ² segundo ²

Al dividir esto por a ² b ² , obtenemos

$\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1$

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – y ₁ = y ₁ un ² /x ₁ segundo ² (x – x ₁ )

yx ₁ segundo ² – x ₁ y ₁ segundo ² = xy ₁ un ² – x ₁ y ₁ un ²

xy ₁ un ² – yx ₁ segundo ² = x ₁ y ₁ un ² – x ₁ y ₁ segundo ²

xy ₁ a ² – yx ₁ b ² = x ₁ y ₁ (a ² – b ² )

Al dividir por x ₁ y ₁ , obtenemos

$\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$

(xiii) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (x ₀ , y ₀ )

Solución:

Tenemos,

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2}$

dy/dx = xb ² /ya ²

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( x_0 , y_0 \right)} =\frac{x_0 b^2}{y_0 a^2}$

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – y ₀ = x ₀ segundo ² / y ₀ un ² (x – x ₀ )

yy ₀ un ² – y ₀² un ² = xx ₀ segundo ² – x ₀² segundo ²

xx ₀ segundo ² – yy ₀ un ² = X ₀^{2 segundo} 2 ^– y ₀² un ² . . . . (1)

$\frac{{x_0}^2}{a^2} - \frac{{y_0}^2}{b^2} = 1$

x ₀^{2 segundo} 2 ^– y ₀² un ² = un ² segundo ²

Sustituyendo esto en la ecuación (1), obtenemos,

xx ₀ segundo ² – yy ₀ un ² = un ² segundo ²

Dividiendo esto por a ² b ² , obtenemos

$\frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1$

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – y ₀ = y ₀ un ² /x ₀ segundo ² (x – x ₀ )

yx ₀^{segundo 2} – x ₀ y ₀ segundo ² = -xy 0 _un 2 ⁺ x ₀ y ₀ un ²

xy ₀ un ² + yx ₀ segundo ² = x ₀ y ₀ un ² + x ₀ y ₀ segundo ²

xy ₀ un ² + yx ₀ segundo ² = x ₀ y ₀ (un ² + ^{segundo 2} )

Dividiendo por x ₀ y ₀ , obtenemos

$\frac{a^2 x}{x_0} + \frac{b^2 y}{y_0} = a^2 + b^2$

(xiv) $x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3} = 2$ en (1, 1)

Solución:

Tenemos,

$x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3} = 2$

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{2}{3} x^\frac{- 1}{3} + \frac{2}{3} y^\frac{- 1}{3} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{- x^\frac{- 1}{3}}{y^\frac{- 1}{3}} = \frac{- y^\frac{1}{3}}{x^\frac{1}{3}}$

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( 1, 1 \right)}$ = -1

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (1, 1)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y-1 = -1 (x-1)

y – 1 = -x + 1

x + y – 2 = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y-1 = 1 (x-1)

y-1 = x-1

y-x = 0

(xv) x ² = 4y en (2, 1)

Solución:

Tenemos,

x2 ⁼ 4y

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

2x = 4dy/dx

dy/dx = x/2

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( 2, 1 \right)}$ = 2/2 = 1

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (2, 1)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y-1 = 1 (x-2)

y-1 = x-2

x-y-1 = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – 1 = – 1 (x – 2)

y – 1 = – x + 2

x + y – 3 = 0

(xvi) y ² = 4x en (1, 2)

Solución:

Tenemos,

y2 ⁼ 4x

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

2y (dy/dx) = 4

dy/dx = 2/año

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( 1, 2 \right)}$ = 2/2 = 1

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (1, 2)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y-2 = 1 (x-1)

y-2 = x-1

x – y + 1 = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y-2 = -1 (x-1)

y – 2 = -x + 1

x + y – 3 = 0

(xvii) 4x ² + 9y ² = 36 en (3 cos θ, 2 sen θ)

Solución:

Tenemos,

4x ² + 9y ² = 36

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

8x + 18y dy/dx = 0

18y dy/dx = – 8x

dy/dx = -8x/18y = -4x/9y

Pendiente de la tangente, m = $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( 3 \cos\theta, 2 \sin\theta \right)} =\frac{- 12\cos\theta}{18\sin\theta}=\frac{- 2 \cos\theta}{3 \sin\theta}$

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – 2 sen θ = -2 cos θ/3 sen θ(x – 3 cos θ)

3y sen θ – 6 sen ² θ = -2x cos θ + 6 cos ² θ

2x cos θ + 3y sen θ = 6 (cos ² θ + sen ² θ)

2x cos θ + 3y sen θ = 6

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – 2 sen θ = -3 sen θ/2 cos θ(x – 3 cos θ)

2y cos θ – 4 sen θ cos θ = 3x sen θ – 9 sen θ cos θ

3x sen θ – 2y cos θ – 5 sen θ cos θ = 0

(xviii) y ² = 4ax en (x ₁ , y ₁ )

Solución:

Tenemos,

y2 ⁼ 4ax

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

2y dy/dx = 4a

dy/dx = 2a/y

En (x ₁ , y ₁ ), tenemos

Pendiente de la tangente = $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( x_1 , y_1 \right)} =\frac{2a}{y_1}$ = m

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

$y - y_1 = \frac{2a\left( x - x_1 \right)}{y_1}$

yy ₁ – y ₁² = 2ax – 2a x ₁

yy ₁ – 4a x ₁ = 2ax – 2a x ₁

yy ₁ = 2ax + 2a x ₁

yy1 = 2a (x ₊_x1 )

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – y ₁ = -y ₁ /2a (x – x ₁ )

(xix) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (√2a, b)

Solución:

Tenemos,

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2}$

dy/dx = xb ² /ya ²

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( \sqrt{2}a,b \right)} =\frac{\sqrt{2}a b^2}{b a^2}=\frac{\sqrt{2}b}{a}$

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – b = √2b/a(x – √2a)

ay – ab = √2 bx – 2ab

√2 bx – ay = ab

$\frac{\sqrt{2}x}{a} - \frac{y}{b} = 1$

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – b = – a/√2b(x – √2a)

√2 por – √2 ^{segundo 2} = – hacha + √2 un ²

hacha + √2 por = √2 ^{segundo 2} + √2 un ²

hacha/√2 + por = a ² + b ²

Pregunta 4. Encuentra la ecuación de la tangente a la curva x = θ + sen θ, y = 1 + cos θ en θ = π/4.

Solución:

Tenemos,

x = θ + sen θ, y = 1 + cos θ

$\frac{dx}{d\theta} = 1 + \cos \theta$ y $\frac{dy}{d\theta} = - \sin \theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{- \sin \theta}{1 + \cos \theta}$

Pendiente de la tangente, m = $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\theta = \frac{\pi}{4}}$

= $\frac{- \sin \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}}$

= $\frac{\frac{- 1}{\sqrt{2}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}$

= $\frac{-1}{\sqrt{2} + 1}$

= $\frac{-1}{\sqrt{2} + 1}\times\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1}$

= 1 – √2

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (π/4 + sen π/4, 1 + cos π/4) = (π/4 + 1/√2, 1 + 1/√2)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – (1 + 1/√2) = (1 – √2) [x – (π/4 + 1/√2)]

y – 1 – 1/√2 = (1 – √2) (x – π/4 – 1/√2)

Pregunta 5. Encuentra la ecuación de la tangente y la normal a la siguiente curva en los puntos indicados.

(i) x = θ + sen θ, y = 1 + cos θ en θ = π/2

Solución:

Tenemos,

x = θ + sen θ y y = 1 + cos θ

dx/dθ = 1 + cos θ y dy/dθ = -sinθ

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$

= $\frac{- \sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\theta = \frac{\pi}{2}} =\frac{- \sin\frac{\pi}{2}}{1 + \cos\frac{\pi}{2}}$

= -1/(1 + 0)

= -1

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (π/2 + sen π/2, 1 + cos π/2) = (π/2 + 1, 1)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – 1 = -1 (x – π/2 – 1)

2y – 2 = – 2x + π + 2

x + 2y – π – 4 = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – 1 = 1 (x – π/2 -1)

2y – 2 = 2x – π – 2

2x – 2y = π

(ii) $x = \frac{2 a t^2}{1 + t^2}, y = \frac{2 a t^3}{1 + t^2}$ en t = 1/2

Solución:

Tenemos,

$x = \frac{2 a t^2}{1 + t^2}, y = \frac{2 a t^3}{1 + t^2}$

dx/dt = $\frac{\left( 1 + t^2 \right)\left( 4at \right) - 2a t^2 \left( 2t \right)}{\left( 1 + t^2 \right)^2}$

= $\frac{4at}{\left( 1 + t^2 \right)^2}$

dy/dt = $\frac{\left( 1 + t^2 \right)6a t^2 - 2a t^3 \left( 2t \right)}{\left( 1 + t^2 \right)^2}$

= $\frac{6a t^2 + 2a t^4}{\left( 1 + t^2 \right)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{6a t^2 + 2a t^4}{\left( 1 + t^2 \right)^2}}{\frac{4at}{\left( 1 + t^2 \right)^2}} = \frac{6a t^2 + 2a t^4}{4at}$

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{t = \frac{1}{2}} =\frac{\frac{3a}{2} + \frac{a}{8}}{2a}=\frac{13a}{8}(\frac{1}{2a})=\frac{13}{16}$

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = $\left(\frac{2 a t^2}{1 + t^2},\frac{2 a t^3}{1 + t^2}\right)=\left( \frac{\frac{a}{2}}{1 + \frac{1}{4}}, \frac{\frac{a}{4}}{1 + \frac{1}{4}} \right) = \left( \frac{\frac{a}{2}}{\frac{5}{4}}, \frac{\frac{a}{4}}{\frac{5}{4}} \right) = \left( \frac{2a}{5}, \frac{a}{5} \right)$

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

$y - \frac{a}{5} = \frac{13}{16}\left( x - \frac{2a}{5} \right)$

$\frac{5y - a}{5} = \frac{13}{16}\left( \frac{5x - 2a}{5} \right)$

$5y - a = \frac{13}{16}\left( 5x - 2a \right)$

80y – 16a = 65x – 26a

65x – 80y – 10a = 0

13x – 16y – 2a = 0

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

$y - \frac{a}{5} = \frac{- 16}{13} \left( x - \frac{2a}{5} \right)$

$\frac{5y - a}{5} = \frac{- 16}{13}\left( \frac{5x - 2a}{5} \right)$

$5y - a = \frac{- 16}{13}\left( 5x - 2a \right)$

65y – 13a = – 80x + 32a

80x + 65y – 45a = 0

16x + 13y – 9a = 0

(iii) x = en ² , y = 2 en t = 1

Solución:

Tenemos,

x = en ² , y = 2 en

dx/dt = 2at y dy/dt = 2a

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{t = 1}$ = 1

Dado, (x ₁ , y ₁ ) = (a, 2a)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – 2a = 1 (x – a)

y-2a = x-a

x – y + a = 0

Ecuación de la normalidad:

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – 2a = – 1 (x – a)

y – 2a = – x + un

x + y = 3a

(iv) x = un segundo t, y = b tan t en t

Solución:

Tenemos,

x = un segundo t, y = segundo tan t

dx/dt = a sect tant y dy/dt = b sec ² t

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{b \sec^2 t}{a \sec t \tan t} = \frac{b}{a}\cosec t$

Pendiente de la tangente, m = $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{t = t} =\frac{b}{a}\cosec t$

Dado (x ₁ , y ₁ ) = (a sec t, b tan t)

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – b tan t = (b/a) cosec t (x – a sec t)

$y - \frac{b \sin t}{\cos t} = \frac{b}{a \sin t}\left( x - \frac{a}{\cos t} \right)$

$\frac{y \cos t - b \sin t}{\cos t} = \frac{b}{a \sin t}\left( \frac{x \cos t - a}{\cos t} \right)$

$y \cos t - b \sin t = \frac{b}{a \sin t}\left( x \cos t - a \right)$

ay sen t cos t – ab sen ² t = bx cos t – ab

bx cos t – ay sen t cos t – ab (1 – sen ² t) = 0

bx cos t – ay sen t cos t = ab cos ² t

Al dividir por cos ² t, obtenemos

bx seg t – ay tan t = ab

La ecuación de la normal es,

y – y ₁ = -1/m (x – x ₁ )

y – b tant = -a/b sint(x – asect)

$y - b \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{- a}{b}\sin t\left( x - \frac{a}{\cos t} \right)$

$\frac{y \cos t - b \sin t}{\cos t} = \frac{- a}{b}\sin t\left( \frac{x \cos t - a}{\cos t} \right)$

por cos t – b ² sen t = – ax sen t cos t + a ² sen t

hacha sen t cos t + by cos t = (a ² + b ² ) sen t

Al dividir ambos lados por sen t, obtenemos

hacha cos t + por cuna t = a ² + b ²

(v) x = a(θ + sen θ), y = a(1 − cos θ) en θ

Solución:

Tenemos,

x = a(θ + sen θ), y = a(1 − cos θ)

dx/dθ = a(1 + cosθ) y dy/dθ = asinθ

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$

= $\frac{a\sin\theta}{a\left( 1 + \cos\theta \right)}$

= $\frac{\sin\theta}{\left( 1 + \cos\theta \right)}$

= $\frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}$

= bronceado θ/2 . . . . (1)

Pendiente de la tangente, m= $\left( \frac{dy}{dx} \right)_\theta =\tan\frac{\theta}{2}$

Dado (x ₁ , y ₁ ) = [a(θ + sin θ), a(1 − cos θ)]

La ecuación de la tangente es,

y – y ₁ = metro (x – x ₁ )

y – a (1 – cos θ) = tan θ/2 [x – a (θ + sen θ)]

$y - a\left( 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \right) = x\tan\frac{\theta}{2} - a\theta\tan\frac{\theta}{2} - a\frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$

y − 2asen ² θ/2 =(x − aθ)tan θ/2 − 2asen ²

y = (x – aθ) tan θ/2

La ecuación de la normal es,

y – a (1 – cos θ) = -cot θ/2 [x – a (θ + sen θ)]

tan θ/2 (y – 2a) + a (2sen θ/2 cosθ/2 = -x + aθ + a senθ

tan θ/2 (y – 2a) + a sen θ = -x + aθ + a sen θ

tan θ/2 (y – 2a) = – x + aθ

tan θ/2 (y – 2a) + x – θ = 0

(vi) x = 3 cos θ − cos ³ θ, y = 3 sen θ − sen ³ θ

Solución:

Tenemos,

x = 3 cos θ − cos ³ θ, y = 3 sen θ − sen ³ θ

dx/dθ = -3sen θ + 3 cos ² θ sen θ y dy/dθ = 3 cos θ – 3 sen ² θ cos θ

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d \theta}}{\frac{dx}{d \theta}}$

= $\frac{3\cos \theta-3\sin^2 \theta\cos \theta}{-3\sin \theta+3\cos^2\theta \sin \theta}$

= $\frac{\cos \theta(1-\sin^2 \theta}{-\sin \theta(1-\cos^2 \theta)}$

= cos ³ θ/ -sen ³ θ

= tan ³ θ

Entonces la ecuación de la tangente en θ es,

y – 3 sen θ + sen ³ θ = -tan ³ θ (x – 3 cos θ + cos ³ θ)

4 (y cos ³ θ – x sen ³ θ) = 3 sen 4θ

Entonces la ecuación de normal en θ es,

y – 3 sen θ + sen ³ θ= (1/tan ³ θ) (x – 3 cos θ + cos ³ θ)

sen ³ θ – x cos ³ θ = 3 sen ⁴ θ – sen ⁶ θ – 3 cos ⁴ θ + cos ⁶ θ

Pregunta 6. ¿Encontrar la ecuación de la normal a la curva x ² + 2y ² − 4x − 6y + 8 = 0 en el punto cuya abscisa es 2?

Solución:

Dado que la abscisa = 2, es decir, x = 2

X ² + 2y ² – 4x – 6y + 8 = 0 . . . . (1)

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

2x + 4y dy/dx – 4 – 6 dy/dx = 0

dy/dx(4y – 6) = 4 – 2x

$\frac{dy}{dx} = \frac{4 - 2x}{4y - 6} = \frac{2 - x}{2y - 3}$

Cuando x = 2, obtenemos

4 + 2y ² – 8 – 6y + 8 = 0

2 años ² – 6 años + 4 = 0

y ² – 3y + 2 = 0

y = 2 o y = 1

m (tangente) en x = 2 es 0

Normal es perpendicular a la tangente entonces, m ₁ m ₂ = –1

m (normal) en x = 2 es 1/0, que no está definido.

La ecuación de lo normal viene dada por y – y ₁ = m (normal) (x – x ₁ )

x = 2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Tangentes y normales – Ejercicio 16.2 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra la ecuación de la tangente a la curva √x + √y = a en el punto (a 2/4, ^a 2/4 ⁾ .

Pregunta 2. Encuentra la ecuación de la normal a y = 2x ³ − x ² + 3 en (1, 4).

Pregunta 3. Encuentra la ecuación de la tangente y la normal a la siguiente curva en el punto indicado:

(i) y = x ⁴ − bx ³ + 13x ² − 10x + 5 en (0, 5)

(ii) y = x ⁴ − 6x ³ + 13x ² − 10x + 5 en x = 1

(iii) y = x ² en (0, 0)

(iv) y = 2x ² − 3x − 1 en (1, −2)

(v) $y^2 = \frac{x^3}{4 - x}$ en (2, -2)

(vi) y = x ² + 4x + 1 en x = 3

(vii) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (a cos θ, b sen θ)

(viii) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (a sec θ, b tan θ)

(ix) y ² = 4ax en (a/m ² , 2a/m)

(x) c ² (x ² + y ² ) = x ² y ² en (c/cos θ, c/sen θ)

(xi) xy = c ² en (ct, c/t)

(xii) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (x ₁ , y ₁ )

(xiii) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (x ₀ , y ₀ )

(xiv) $x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3} = 2$ en (1, 1)

(xv) x ² = 4y en (2, 1)

(xvi) y ² = 4x en (1, 2)

(xvii) 4x ² + 9y ² = 36 en (3 cos θ, 2 sen θ)

(xviii) y ² = 4ax en (x ₁ , y ₁ )

(xix) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (√2a, b)

Pregunta 4. Encuentra la ecuación de la tangente a la curva x = θ + sen θ, y = 1 + cos θ en θ = π/4.

Pregunta 5. Encuentra la ecuación de la tangente y la normal a la siguiente curva en los puntos indicados.

(i) x = θ + sen θ, y = 1 + cos θ en θ = π/2

(ii) $x = \frac{2 a t^2}{1 + t^2}, y = \frac{2 a t^3}{1 + t^2}$ en t = 1/2

(iii) x = en ² , y = 2 en t = 1

(iv) x = un segundo t, y = b tan t en t

(v) x = a(θ + sen θ), y = a(1 − cos θ) en θ

(vi) x = 3 cos θ − cos ³ θ, y = 3 sen θ − sen ³ θ

Pregunta 6. ¿Encontrar la ecuación de la normal a la curva x ² + 2y ² − 4x − 6y + 8 = 0 en el punto cuya abscisa es 2?

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Pregunta 1. Encuentra la ecuación de la tangente a la curva √x + √y = a en el punto (a 2/4, a 2/4 ) .

Pregunta 2. Encuentra la ecuación de la normal a y = 2x 3 − x 2 + 3 en (1, 4).

Pregunta 3. Encuentra la ecuación de la tangente y la normal a la siguiente curva en el punto indicado:

(i) y = x 4 − bx 3 + 13x 2 − 10x + 5 en (0, 5)

(ii) y = x 4 − 6x 3 + 13x 2 − 10x + 5 en x = 1

(iii) y = x 2 en (0, 0)

(iv) y = 2x 2 − 3x − 1 en (1, −2)

(v) en (2, -2)

(vi) y = x 2 + 4x + 1 en x = 3

(vii) en (a cos θ, b sen θ)

(viii) en (a sec θ, b tan θ)

(ix) y 2 = 4ax en (a/m 2 , 2a/m)

(x) c 2 (x 2 + y 2 ) = x 2 y 2 en (c/cos θ, c/sen θ)

(xi) xy = c 2 en (ct, c/t)

(xii) en (x 1 , y 1 )

(xiii) en (x 0 , y 0 )

(xiv) en (1, 1)

(xv) x 2 = 4y en (2, 1)

(xvi) y 2 = 4x en (1, 2)

(xvii) 4x 2 + 9y 2 = 36 en (3 cos θ, 2 sen θ)

(xviii) y 2 = 4ax en (x 1 , y 1 )

(xix) en (√2a, b)

Pregunta 4. Encuentra la ecuación de la tangente a la curva x = θ + sen θ, y = 1 + cos θ en θ = π/4.

Pregunta 5. Encuentra la ecuación de la tangente y la normal a la siguiente curva en los puntos indicados.

(i) x = θ + sen θ, y = 1 + cos θ en θ = π/2

(ii) en t = 1/2

(iii) x = en 2 , y = 2 en t = 1

(iv) x = un segundo t, y = b tan t en t

(v) x = a(θ + sen θ), y = a(1 − cos θ) en θ

(vi) x = 3 cos θ − cos 3 θ, y = 3 sen θ − sen 3 θ

Pregunta 6. ¿Encontrar la ecuación de la normal a la curva x 2 + 2y 2 − 4x − 6y + 8 = 0 en el punto cuya abscisa es 2?

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Pregunta 1. Encuentra la ecuación de la tangente a la curva √x + √y = a en el punto (a 2/4, ^a 2/4 ⁾ .

Pregunta 2. Encuentra la ecuación de la normal a y = 2x ³ − x ² + 3 en (1, 4).

(i) y = x ⁴ − bx ³ + 13x ² − 10x + 5 en (0, 5)

(ii) y = x ⁴ − 6x ³ + 13x ² − 10x + 5 en x = 1

(iii) y = x ² en (0, 0)

(iv) y = 2x ² − 3x − 1 en (1, −2)

(v) $y^2 = \frac{x^3}{4 - x}$ en (2, -2)

(vi) y = x ² + 4x + 1 en x = 3

(vii) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (a cos θ, b sen θ)

(viii) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (a sec θ, b tan θ)

(ix) y ² = 4ax en (a/m ² , 2a/m)

(x) c ² (x ² + y ² ) = x ² y ² en (c/cos θ, c/sen θ)

(xi) xy = c ² en (ct, c/t)

(xii) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (x ₁ , y ₁ )

(xiii) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (x ₀ , y ₀ )

(xiv) $x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3} = 2$ en (1, 1)

(xv) x ² = 4y en (2, 1)

(xvi) y ² = 4x en (1, 2)

(xvii) 4x ² + 9y ² = 36 en (3 cos θ, 2 sen θ)

(xviii) y ² = 4ax en (x ₁ , y ₁ )

(xix) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ en (√2a, b)

(ii) $x = \frac{2 a t^2}{1 + t^2}, y = \frac{2 a t^3}{1 + t^2}$ en t = 1/2

(iii) x = en ² , y = 2 en t = 1

(vi) x = 3 cos θ − cos ³ θ, y = 3 sen θ − sen ³ θ

Pregunta 6. ¿Encontrar la ecuación de la normal a la curva x ² + 2y ² − 4x − 6y + 8 = 0 en el punto cuya abscisa es 2?