Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Funciones crecientes y decrecientes – Ejercicio 17.1

Pregunta 1: Demuestre que la función f(x) = log e x es creciente en (0,∞).

Solución:

Sean x1, x2 ∈ (0, ∞)

Tenemos, x1<x2

⇒ log e x 1 < log e x

⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )

Por lo tanto, f(x) es creciente en (0, ∞).

Pregunta 2: Demuestre que la función f(x) = log a (x) es creciente en (0,∞) si a>1 y decreciente en (0,∞) si 0<a<1.

Solución:

Caso 1:

Cuando a>1 

Sea x 1 , x 2 ∈ (0, ∞)

Tenemos, x 1 <x 2

⇒ log e x 1 < log e x 2

⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )

Por lo tanto, f(x) es creciente en (0, ∞).

Caso 2:

Cuando 0<a<1

f(x) = log a x = log x /log a

Cuando a<1 ⇒ log a< 0

sea ​​x 1 <x 2

⇒ logaritmo x 1 <logaritmo x 2

⇒ (log x 1 /log a) > (log x 2 /log a) [log a<0]

⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )

Por tanto, f(x) es decreciente en (0, ∞).

Pregunta 3: Demuestre que f(x) = ax + b, donde a, b son constantes y a>0 es una función creciente en R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = hacha + b, a > 0

Sean x 1 , x 2 ∈ R y x 1 >x 2

⇒ ax 1 > ax 2 para algún a>0

⇒ ax 1 + b > ax 2 + b para algún b

⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )

Por lo tanto, x 1 > x 2  ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )

Por lo tanto, f(x) es función creciente de R.

Pregunta 4: Demuestre que f(x) = ax + b, donde a, b son constantes y a<0 es una función decreciente en R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = hacha + b, a < 0

Sean x 1 , x 2 ∈ R y x 1 >x 2

⇒ ax 1 < ax 2 para algún a>0

⇒ ax 1 + b <ax 2 + b para algún b

⇒ f(x 1 ) <f(x 2 )

Por lo tanto, x 1 > x 2  ⇒ f(x 1 ) <f(x 2 )

Por lo tanto, f(x) es función decreciente de R.

Pregunta 5: Demuestra que f(x) = 1/x es una función decreciente en (0,∞).

Tenemos,

f(x) = 1/x

Sean x 1 , x 2 ∈ (0,∞) y x 1 > x 2

⇒ 1/x 1 < 1/x 2

⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )

Por lo tanto, x 1 > x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )

Por lo tanto, f(x) es una función decreciente.

Pregunta 6: Demuestra que f(x) = 1/(1+x 2 ) decrece en el intervalo [0, ∞] y crece en el intervalo [-∞,0].

Solución:

Tenemos,

f(x) = 1/1+ x

Caso 1:

cuando x ∈ [0, ∞]

Sean x 1 , x 2 ∈ [0,∞] y x 1 > x 2

⇒ x 1 2 > x 2 2  

⇒ 1+x 1 2 < 1+x 2 2

⇒ 1/(1+ x 1 2 )> 1/(1+ x 2 )

⇒ f(x1) < f(x2)

Por lo tanto, f(x) es decreciente en [0, ∞].

Caso 2:

cuando x ∈ [-∞, 0]

 Sea x 1 > x 2 

⇒ x 1 2 < x 2                           [-2>-3 ⇒ 4<9]

⇒ 1+x 1 2 < 1+x 2 2

⇒ 1/(1+ x 1 2 )> 1/(1+ x 2 2  )

⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )

Por lo tanto, f(x) es creciente en [-∞,0].

Pregunta 7: Muestre que f(x) = 1/(1+x 2 ) no es ni creciente ni decreciente en R.

Solución:

Tenemos,

(x) = 1/1+ x 2

R se puede dividir en dos intervalos [0, ∞] y [-∞,0]

Caso 1:

cuando x ∈ [0, ∞]

Sea x 1 > x 2

⇒ x 1 2 > x 2 2  

⇒ 1+x 1 2 < 1+x 2 2

⇒ 1/(1+ x 1 2 )> 1/(1+ x 2 2  )

⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )

Por lo tanto, f(x) es decreciente en [0, ∞].

Caso 2:

cuando x ∈ [-∞, 0]

Sea x 1 > x 2

⇒ x 1 2 < x 2 2                            [-2>-3 ⇒ 4<9]

⇒ 1+x 1 2 < 1+x 2 2

⇒ 1/(1+ x 1 2 )> 1/(1+ x 2 2 )

⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )

Por lo tanto, f(x) es creciente en [-∞,0].

Aquí, f(x) disminuye en [0, ∞] y f(x) aumenta en [-∞,0].

Así, f(x) ni crece ni decrece en R.

Pregunta 8: Sin usar la derivada, demuestre que la función f(x) = |x| es,

(i) estrictamente creciente en (0,∞) (ii) estrictamente decreciente en (-∞,0)

Solución:

 (i). Sean x 1 , x 2 ∈ [0,∞] y x 1 > x 2

⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )

 Por tanto, f(x) es estrictamente creciente en [0,∞].

(ii). Sean x 1 , x 2 ∈ [-∞, 0] y x 1 > x 2

⇒ -x 1 <-x 2

⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )

Por tanto, f(x) es estrictamente decreciente en [-∞,0].

Pregunta 9: Sin usar la derivada, demuestre que la función f(x) = 7x – 3 es una función estrictamente creciente en R.

Solución:

f(x) = 7x-3

Sean x 1 , x 2 ∈ R y x 1 >x 2

7×1 > 7×2

⇒ 7x 1 – 3 > 7x 2 – 3

⇒ f(x 1 ) > f(x 2 )

Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en R

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vermaman947 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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