Pregunta 1. Encuentra los valores máximo y mínimo, si los hay, sin usar derivadas de la función f (x) = 4x 2 – 4x + 4 en R
Solución:
Dado en la pregunta f(x) = 4x 2 – 4x + 4 en R
= 4x 2 – 4x + 1 + 3
Si agrupamos la ecuación anterior obtendremos,
= (2x – 1) 2 + 3
⇒ (2x – 1 ) 2 ≥ 0
= (2x – 1) 2 + 3 ≥ 3
= f(x) ≥ f (½)
Entonces podemos decir que el valor mínimo de f(x) es 3 en x = ½
Ya que, f(x ) puede ser infinito. Entonces el valor máximo no existe.
Pregunta 2. Encuentra los valores máximo y mínimo, si los hay, sin usar derivadas de la función dada por f (x) = –(x – 1) 2 + 2 en R
Solución:
La función dada en la pregunta es f(x) = – (x – 1) 2 + 2
Podemos observar que (x – 1) 2 ≥ 0 ∀ x ∈ R
Por lo tanto, f(x) = – (x – 1) 2 + 2 ≤ 2 ∀ x ∈ R
El valor máximo de la función se puede alcanzar cuando
⇒ (x – 1) = 0
⇒ (x – 1) = 0, x = 1
Valor máximo de la función = f(1) = – (1 – 1) 2 + 2 = 2
Entonces podemos decir que la función f no tiene valor mínimo.
Pregunta 3. Encuentra los valores máximo y mínimo, si los hay, sin usar derivadas de la función dada por f (x) = |x + 2| en R
Solución:
La función dada en la pregunta es f(x) = |x + 2| en R
⇒ f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R
El valor mínimo de f(x) = 0, que se puede alcanzar en x = -2
Entonces podemos decir que, f(x) = |x + 2| no tiene el valor máximo.
Pregunta 4. Encuentra los valores máximo y mínimo, si los hay, sin usar derivadas de la función dada por f (x) = sen2x + 5 en R
Solución:
La función dada en la pregunta es f(x) = sin2x + 5 en R
Como sabemos, el rango de sin2x es [-1,1].
Sumando 5 a ambos lados.
⇒ – 1 + 5 ≤ sen2x + 5 ≤ 1 + 5
⇒ 4 ≤ sen 2x + 5 ≤ 6
Entonces podemos decir que el valor máximo es 6 y el valor mínimo es 4.
Pregunta 5. Encuentra los valores máximo y mínimo, si los hay, sin usar derivadas de la función dada por f (x) = |sin 4x + 3| en R
Solución:
La función dada en la pregunta es f(x) = |sin 4x + 3| en R
Como sabemos que el rango de sen 4x es [-1,1]
Sumando 3 a ambos lados:
⇒ 2 ≤ sen 4x + 3 ≤ 4
⇒ 2 ≤ |sen 4x + 3| ≤ 4
Entonces podemos decir que el valor máximo es 4 y el valor mínimo es 2.
Pregunta 6. Encuentra los valores máximo y mínimo, si los hay, sin usar derivadas de la función dada por f(x) = 2x 3 + 5 en R.
Solución:
f(x) = 2x 3 + 5 en R.
Podemos observar que los valores de f(x) aumentan cuando aumentan los valores de x.
f(x) puede ser lo más grande posible.
Entonces podemos concluir que , f(x) no tiene el valor máximo.
Además, f(x) puede hacerse pequeño dando valores más pequeños a x.
Entonces podemos decir que f(x) no tiene el valor mínimo.
Pregunta 7. Encuentra los valores máximo y mínimo, si los hay, sin usar derivadas de la función dada por g(x) = -| x + 1 | + 3
Solución:
Hemos dado esta ecuación g(x) = -| x + 1 | + 3
Como sabemos que -| x + 1 | ≤ 0 ∀ x ∈ R
⇒ g(x) = -| x + 1 | + 3 ≤ 3 ∀ x ∈ R
El valor máximo de la función g se alcanza en | x + 1 | = 0
| x + 1 | = 0
⇒ x = -1
⇒ Valor máximo de g = g(-1) = – | -1 + 1 | + 3 = 3
Entonces podemos concluir que la función g no tiene valor mínimo.
Pregunta 8. Encuentra los valores máximo y mínimo, si los hay, sin usar derivadas de la función dada por f(x) = 16x 2 – 16x + 28 en R.
Solución:
Hemos dado esta ecuación f(x) = 16x 2 – 16x + 28 en R.
= 16x 2 – 16x + 4 + 24
= (4x – 2) 2 + 24
⇒ (4x – 2)2 ≥ 0 ∀ x ∈ R
⇒ (4x – 2)2 + 24 ≥ 24 ∀ x ∈ R
⇒ f(x) ≥ f(½)
Entonces el valor mínimo de f(x) es 24 en x = ½
Entonces podemos decir que, f(x) puede hacerse lo más grande posible dando diferentes valores a x.
Entonces podemos concluir que, los valores máximos no existen.
Pregunta 9. Encuentra los valores máximo y mínimo, si los hay, sin usar derivadas de la función dada por f(x) = x 3 – 1 en R.
Solución:
Hemos dado esta ecuación f(x) = f(x) = x 3 – 1 en R.
Podemos observar que los valores de f(x) aumentan cuando los valores de x aumentan.
f(x) puede hacerse lo más grande posible poniendo valores de x.
Entonces, podemos decir que f(x) no tiene el valor máximo.
Además, f(x) se puede hacer tan pequeño como dando valores más pequeños a x.
Entonces podemos concluir que f(x) no tiene el valor mínimo.
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Artículo escrito por vaibhavkumar303 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA