Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.1 – Part 9

Pregunta 1. Integre las siguientes integrales con respecto a x:

(i) ∫ x ⁴ dx

Solución:

∫ x ⁴ dx = x ⁴⁺¹ /(4+1) + constante

= x ⁵ /5 + C

(ii) ∫ x ^5/4 dx

Solución:

∫ x ^5/4 dx = x ^{5/4 + 1} /(5/4 +1) + Constante

= 4/9 x ^9/4 + C

(iii) ∫ 1/x ⁵ dx

Solución:

∫ 1/x ⁵ dx = ∫ x ^-5 dx

= x ^-5+1 /(-5+1) + Constante

= x ^-4 /(-4)+ C

= -1/(4x ⁴ ) + C

(iv) ∫ 1/x ^3/2 dx

Solución:

∫ x ^-3/2 dx = x ^{-3/2 + 1} /(-3/2 +1) + Constante

= x ^-1/2 /(-1/2) + C

= -2/(√x)+ C

(v) ∫ 3 ^x dx

Solución:

∫ 3 ^x dx = 3 ^x /log3 + constante

(vi) ∫ 1/x ^2/3 dx

Solución:

∫ 1/x ^2/3 dx = ∫ x ^-2/3 dx

= x ^{-2/3 + 1} /(-2/3+1) + Constante

= x ^1/3 /(1/3) + C

= 3x ^1/3 + C

(vii) ∫ 3 ^2log_³^x dx

Solución:

∫ 3 ^2log_³^x dx = $∫ 3^{log_3 x^2} dx$

= ∫ x ² dx

= x ²⁺¹ /(2+1) + constante

= x ³ /3 + C

Pregunta 2. Evaluar

(i) $∫\sqrt{\frac{(1 + cos 2x)}{2} }dx$

Solución:

$∫\sqrt{\frac{(1 + cos 2x)}{2} }dx$

= $∫\sqrt{\frac{(1 + 2cos^2x - 1)}{2}} dx$

Sabemos, cos 2x = 2 cos ² x – 1

= $∫\sqrt{\frac{(2cos^2x)}{2}} dx$

= ∫ cos x dx

= sen x + constante

(ii) $∫\sqrt{\frac{(1 - cos 2x)}{2} }dx$

Solución:

$∫\sqrt{\frac{(1 - cos 2x)}{2} }dx$

= $∫\sqrt{\frac{(1 - 1 + 2sin^2x)}{2}} dx$

Sabemos, cos 2x = 1 – 2sen ² x

= $∫\sqrt{\frac{(2sin^2 x)}{2}} dx$

= ∫ sen x dx

= -cos x + constante

Pregunta 3. Evaluar $∫ \frac{e^{6log_ex}-e^{5log_ex}}{e^{4log_ex}-e^{3log_ex}}$

Solución:

$∫ \frac{e^{6log_ex}-e^{5log_ex}}{e^{4log_ex}-e^{3log_ex}}$ dx

= $∫\frac{(x^6 - x^5)}{(x^4 - x^3)} dx$

Sabemos, e ^log_^e^x = x

= $∫ \frac{x^5(x - 1)}{x^3(x - 1)} dx$

= ∫ x ² dx

= x ²⁺¹ /2+1 + constante

= x ³ /3 + C

Pregunta 4. Evaluar: $∫ \frac{1}{a^x b^x}dx$

Solución:

$∫ \frac{1}{a^x b^x}dx$ = ∫ a ^-x b ^-x dx

= ∫ (ab) ^-x dx

= (ab) ^-x /log _e (ab) ^-1 + Constante

= -a ^-x b ^-x /log _e (ab) + C

o

= -a ^-x b ^-x / ln(ab) + C

Pregunta 5. Evaluar

(i) $∫ \frac{cos 2x + 2sin^2 x}{sin^2 x} dx$

Solución:

$∫ \frac{cos 2x + 2sin^2 x}{sin^2 x} dx$

= $∫ \frac{1 - 2sin^2x + 2sin^2x}{sin^2x} dx$

Sabemos, cos x = 1 – 2sen ² x

= ∫ 1/sen ² x dx = ∫ cosec ² x dx

= -cot x + constante

(ii) $∫\frac{2cos^2x - (cos2x)}{cos^2x}dx$

Solución:

$∫\frac{2cos^2x - (cos2x)}{cos^2x}dx$

$∫\frac{2cos^2x - (2cos^2x -1)}{cos^2x}dx$

Sabemos, cos x = 2 cos ² x – 1

= ∫ 1/cos ² x dx = ∫ segundo ² x dx

= tan x + constante

Pregunta 6. Evalúa: ∫ e ^log√x /x dx

Solución:

∫ e ^log_^e^√x /x dx = ∫√x/x dx

= ∫ x ^-1/2 dx = x ^{-1/2 + 1} /(-1/2 + 1) + Constante

= x ^1/2 /(1/2) + C

= 2√x + C

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ayushraghuwanshi80 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Integre las siguientes integrales con respecto a x:

(i) ∫ x 4 dx

(ii) ∫ x 5/4 dx

(iii) ∫ 1/x 5 dx

(iv) ∫ 1/x 3/2 dx

(v) ∫ 3 x dx

(vi) ∫ 1/x 2/3 dx

(vii) ∫ 3 2log 3 x dx

Pregunta 2. Evaluar

(i)

(ii)

Pregunta 3. Evaluar

Pregunta 4. Evaluar:

Pregunta 5. Evaluar

(i)

(ii)

Pregunta 6. Evalúa: ∫ e log√x /x dx

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(i) ∫ x ⁴ dx

(ii) ∫ x ^5/4 dx

(iii) ∫ 1/x ⁵ dx

(iv) ∫ 1/x ^3/2 dx

(v) ∫ 3 ^x dx

(vi) ∫ 1/x ^2/3 dx

(vii) ∫ 3 ^2log_³^x dx

(i) $∫\sqrt{\frac{(1 + cos 2x)}{2} }dx$

(ii) $∫\sqrt{\frac{(1 - cos 2x)}{2} }dx$

Pregunta 3. Evaluar $∫ \frac{e^{6log_ex}-e^{5log_ex}}{e^{4log_ex}-e^{3log_ex}}$

Pregunta 4. Evaluar: $∫ \frac{1}{a^x b^x}dx$

(i) $∫ \frac{cos 2x + 2sin^2 x}{sin^2 x} dx$

(ii) $∫\frac{2cos^2x - (cos2x)}{cos^2x}dx$

Pregunta 6. Evalúa: ∫ e ^log√x /x dx