Pregunta 1. Evalúa ∫ x 2 √x + 2 dx
Solución:
Sea, yo = ∫ x 2 √x + 2 dx (i)
Sustituyendo x + 2 = t, x= t – 2
dx = dt
Sustituya el valor anterior en la ecuación (i)
= ∫ (t – 2) 2 √t dt
= ∫ (t 2 + 4 – 4t) t 1/2 dt
= ∫(t 5/2 + 4t 1/2 – 4t 3/2 ) dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= t 7/2 /(7/2) + 4t 3/2 /(3/2) – 4t 5/2 /(5/2) + c
=(2/7) t 7/2 + (8/3) t 3/2 – (8/5) t 5/2 + c
Ahora, pon el valor de t en la ecuación anterior
=(2/7) (x+2) 7/2 + (8/3) (x+2) 3/2 – (8/5) (x+2) 5/2 + c
Por lo tanto, yo =(2/7) (x+2) 7/2 + (8/3) (x+2) 3/2 – (8/5) (x+2) 5/2 + c
Pregunta 2. Integra ∫ x 2 /(√x-1) dx
Solución:
Sea, yo = ∫ x 2 /(√x-1) dx (i)
Ponga, x-1 = t, entonces el valor de x=t+1
dx = dt
Ponga el valor anterior en la ecuación (i)
= ∫ (t+1) 2 /√t dt
Al resolver la ecuación anterior, obtenemos
= ∫ (t 2 + 1 + 2t)/√t dt
= ∫ t 3/2 + t -1/2 + 2t -1/2 dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= (2/5)t 5/2 + 2t 1/2 + (4/3)t 3/2 + c
= (6t 5/2 + 30t 1/2 + 20t 3/2 )/ 15 + c
= (2/15)t 1/2 (3t 2 + 15 + 10t) + c
= (2/15)(x -1) 1/2 (3(x -1) 2 + 15 + 10(x -1)) + c
= (2/15)(x -1) 1/2 (3(x 2 + 1 – 2x) + 15 + 10x -10)) + c
= (2/15)(x -1) 1/2 (3x 2 + 3 – 6x + 15 + 10x -10)) + c
= (2/15)(√x -1) (3x 2 + 4x + 8) + c
Por lo tanto, yo = = (2/15)(√x -1) (3x 2 + 4x + 8) + c
Pregunta 3. Integra ∫ x 2 /(√3x + 4) dx
Solución:
Sea, yo = ∫ x 2 /(√3x+4) dx (i)
Poner, 3x + 4 = t, entonces el valor de x = (t – 4)/3
dx = dt/3
Ponga el valor anterior en la ecuación (i)
= ∫ ((t – 4)/3) 2 / √t dt/3
= (1/3) ∫ (t 2 + 16 – 8t)/ 9√t dt
= (1/27) ∫ (t 2 + 16 – 8t)/√t dt
= (1/27) ∫ (t 3/2 + 16t -1/2 – 8t 1/2 ) dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= (1/27) [(2/5)t 5/2 – (16/3)t 3/2 + 32t 1/2 ]+ c
Ahora pon el valor de t en la ecuación anterior
= (1/27) [(2/5)(3x + 4) 5/2 – (16/3)(3x + 4) 3/2 + 32(3x + 4) 1/2 ]+ c
Por lo tanto, yo =(1/27) [(2/5)(3x + 4) 5/2 – (16/3)(3x + 4) 3/2 + 32(3x + 4) 1/2 ]+ c
Pregunta 4. Integra ∫ (2x-1)/ (x-1) 2 dx
Solución:
Sea, yo = ∫ (2x-1)/ (x-1) 2 dx
Sustituyendo x-1 = t y dx = dt, obtenemos
= ∫ 2(t + 1)-1 / t 2 dt
= ∫ (2t + 2 – 1)/ t 2 dt
= ∫ (2t +1) / t 2 dt
= ∫ 2t/t 2 +1/ t 2 dt
= 2∫ 1/t dt + ∫ t -2 dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= 2log |t| – t -1 + c
Ponga el valor de t en la ecuación anterior
= 2log |x-1| – 1/(x-1) + c
Por lo tanto, I = 2log |x-1| – 1/(x-1) + c
Pregunta 5. Integra ∫(2x 2 + 3) √x +2 dx
Solución:
Sea, yo = ∫(2x 2 + 3) √x +2 dx
Sustituyendo x +2 = t y dx = dt, obtenemos
= ∫ [2(t -2) 2 + 3] √t dt
= ∫ [2(t 2 + 4 – 4t) + 3] √t dt
= ∫ [2t 2 + 8 – 8t + 3] √t dt
= ∫ [2t 5/2 + 11t -1/2 – 8t 3/2 ] dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= (4/7)t 7/2 + (22/3)t 3/2 – (16/5) t 5/2 + c
= (4/7)(x+2) 7/2 + (22/3)(x+2) 3/2 – (16/5)(x+2) 5/2 + c
Por lo tanto, yo = (4/7)(x+2) 7/2 + (22/3)(x+2) 3/2 – (16/5)(x+2) 5/2 + c
Pregunta 6. Integrar ∫ (x 2 + 3x + 1)/ (x+1) 2 dx
Solución:
Sea, yo = ∫ (x 2 + 3x + 1)/ (x+1) 2 dx
Sustituyendo x + 1 = t y dx = dt, obtenemos
= ∫ [(t – 1) 2 + 3(t – 1) + 1]/ t 2 dt
= ∫ (t 2 + 1 – 2t +3t -3 +1)/ t 2 dt
= ∫ (t 2 + t – 1)/ t 2 dt
= ∫ t 2 /t 2 + t/ t 2 – 1/t 2 dt
= ∫ (1 + 1/t – t -2 ) dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= t + registro |t| + 1/t + c
Ponga el valor de t en la ecuación anterior
= (x +1) + registro |x +1| + 1/(x+1) + c
Pregunta 7. Integra ∫ x 2 / (√1-x) dx
Solución:
Sea, yo =∫ x 2 / (√1-x) dx
Sustituyendo 1- x = t y dx = – dt, obtenemos
= ∫ – (1-t) 2 /√t dt
= – ∫(1 + t 2 – 2t)/ √t dt
= – ∫ t -1/2 + t 3/2 – 2t 1/2 dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= – 2t 1/2 + (2/5)t 5/2 – (4/3)t 3/2 + c
= – (30t 1/2 + 6t 5/2 – 20t 3/2 ) / 15 + c
= – 2t 1/2 /15(15 + 3t 2 – 10t) + c
= (- 2/15) √(1-x) (15 + 3(1-x) 2 – 10(1-x)) + c
= (- 2/15) √(1-x) (15 + 3(1 + x 2 – 2x) – 10 + 10x)) + c
= (- 2/15) √(1-x) (5 + 3 + 3x 2 – 6x + 10x) + c
= (- 2/15) √(1-x) (3x 2 + 4x + 8) + c
Por tanto, yo = (-2/15) (3x 2 + 4x + 5) √1-x + c
Pregunta 8. Integrar ∫ x(1 – x) 23 dx
Solución:
Sea, yo = ∫ x(1 – x) 23 dx
Sustituyendo 1- x=t y dx = -dt, obtenemos
= – ∫(1-t)t 23 dt
= – ∫ (t 23 – t 24 ) dt
= ∫ (t 24 – t 23 ) dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= t 25 /25 – t 24 /24 + c
= (1-x) 25/25 – (1-x) 24/24 + c
Por lo tanto, yo = (1-x) 25/25 – (1-x) 24/24 + c