Pregunta 1. Integrar ∫ tan 3 x seg 2 x dx
Solución:
Sea, I = ∫ tan 3 x seg 2 x dx ………. (i)
Poner,
tan x = t ………….. (ii)
d(tanx) = dt
seg 2 x dx = dt ………….. (iiI)
Ponga la ecuación (ii) y (iii) en la ecuación (i), obtenemos
= ∫ t 3 dt
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= t 3+1 /3+1 + c
= t 4 / 4 + c
Ponga el valor de t de la ecuación (ii), obtenemos
= (tan x) 4 / 4 + c
Por lo tanto, I = tan 4 x / 4 + c
Pregunta 2. Integra ∫ tanx sec 4 x dx
Solución:
Sea, I = ∫ tan x seg 4 x dx
Podemos escribir la ecuación anterior de la siguiente manera,
= ∫ tanx seg 2 x seg 2 x dx
= ∫ tanx (1+tan 2 x) seg 2 x dx
= ∫ (tanx + tan 3 x) seg 2 x dx ………. (i)
sustituyendo,
tanx = t ……….. (ii)
d(tanx) = dt
seg 2 dx = dt ……….. (iii)
poner equ (ii) y (iii) en equ (i), obtenemos
= ∫ (t + t 3 ) dt
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= t 2 /2 + t 3+1 /3+1 + c
= t 2 /2 + t 4 /4 + c
ponemos el valor de t en la ecuación anterior entonces, obtenemos
= (tanx) 2 /2 + (tanx) 4 / 4 + c
Por lo tanto, I = tan 2 x/2 + tan 4 x / 4 + c
Pregunta 3. Integrar ∫ tan 5 x seg 4 x dx
Solución:
Sea, I = ∫ tan 5 x seg 4 x dx
Al resolver la ecuación anterior,
= ∫ bronceado 4 x segundo 2 x segundo 2 xdx
= ∫ bronceado 4 x (1+ bronceado 2 x) segundo 2 xdx
= ∫ (tan 5 x + tan 7 x) seg 2 xdx ………… (i)
Poner, tan x = t ………… (ii)
seg 2 x dx = dt ……….. (iii)
Ponga la ecuación (ii) y (iii) en la ecuación (i), obtenemos
= ∫ t 5 + t 7 dt
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= t 6 /6 + t 8 /8 + c
= (bronceado x) 6/6 + (bronceado x) 8/8 + c
Por lo tanto, I = tan 6 x/6 + tan 8 x/8 + c
Pregunta 4. Integrar ∫ sec 6 x tanx dx
Solución:
Sea, I = ∫ seg 6 x tanx dx
Al resolver la ecuación anterior,
= ∫ seg 5 x (seg x tanx) dx
Ponga, seg x = t
seg x tan x dx = dt
= ∫ t 5 dt
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= t 6 /6 + c
= (seg x) 6 + c
Por lo tanto, I = seg 6 x/6 + c
Pregunta 5. Integrar ∫ tan 5 x dx
Solución:
Sea, I = ∫ tan 5 x dx
Podemos modificar la ecuación anterior de la siguiente manera,
= ∫ tan 2 x tan 3 x dx
= ∫ (seg 2 x – 1) tan 3 x dx
= ∫ seg 2 x tan 3 x – tan 3 x dx
= ∫ seg 2 x tan 3 x dx – ∫ tan 3 x dx
= ∫ seg 2 x tan 3 x dx – (∫(seg 2 x – 1) tan x dx)
= ∫ seg 2 x tan 3 x dx – ∫ seg 2 x tan x dx + ∫ tan x dx
Ponga, tan x = t
segundo 2 x dx = dt
= ∫ t 3 dt – ∫ t dt + ∫ tan x dx
Ahora, integra la ecuación anterior
= t 4 /4 – t 2 /2 + log |seg x| +c
= (tanx) 4/4 – (tanx) 2/2 + log |seg x| +c
Por lo tanto, I = tan 4 x/4 – tan 2 x /2 + log |seg x| +c
Pregunta 6. Integra ∫ √tanx.sec 4 x dx
Solución:
Sea, I = ∫ √tanx.sec 4 x dx
= ∫ √tanx.seg 2 x seg 2 x dx
= ∫ √tanx.(1 + tan 2 x) seg 2 x dx
= ∫ tan 1/2 x.(1 + tan 2 x) seg 2 x dx
= ∫ (tan 1/2 x + tan 5/2 x) seg 2 x dx
Ponga, tan x = t
segundo 2 x dx = dt
= ∫ (t 1/2 + t 5/2 ) dt
Ahora, integra la ecuación anterior,
= t 3/2 /(3/2) + t 7/2 /(7/2) + c
= (2/3) t 3/2 + (2/7) t 7/2 + c
= (2/3) (tanto) 3/2 + (2/7) (tanto) 7/2 + c
Por lo tanto, I = (2/3) tan 3/2 x + (2/7) tan 7/2 x + c
Pregunta 7. Integra ∫ sec 4 2x dx
Solución:
Sea, I = ∫ seg 4 2x dx
= ∫ segundo 2 2x . segundo 2 2x dx
= ∫(1 + tan 2 2x) seg 2 2x dx
= ∫ segundo 2 2x + segundo 2 2x. bronceado 2 2x dx
= ∫ segundo 2 2x. tan 2 2x dx + ∫ seg 2 2x dx
Poner, tan 2x = t
segundo 2 2x dx = dt/2
= ∫ t 2 dt/2 + ∫ segundo 2 2x dx
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= 1/2 × t 3 /3 + 1/2 tan 2x + c
= 1/6 (tan2x) 3 + 1/2 tan 2x + c
Por lo tanto, I = = 1/2 tan2x + 1/6 tan 3 2x + c
Pregunta 8. Integra ∫ cosec 4 3x dx
Solución:
Sea, I = ∫ cosec 4 3x dx
= ∫ cosec 2 3x cosec 2 3x dx
= ∫ (1+ cuna 2 3x) cosec 2 3x dx
= ∫ (cosec 2 3x + cosec 2 3x cot 2 3x) dx
= ∫ cosec 2 3x dx +∫ cosec 2 3x cot 2 3x dx
Poner, cuna 3x = t
cosec 2 3x dx = – dt/3
= ∫ cosec 2 3x dx – ∫ t 2 dt/3
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= -cot 3x/3 – t 3 /9 + c
= (-1/3) cuna 3x – (cot 3x) 3/9 + c
Por lo tanto, I = (-1/3) cot 3x – (1/9) cot 3 3x + c
Pregunta 9. Integra ∫ cot n x cosec 2 x dx (n ≠ -1)
Solución:
Sea, I = ∫ cot n x cosec 2 x dx, (n≠ -1)
Poner, cuna x = t
– cosec 2 x dx = dt
= – ∫ t norte dt
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= – t n+1 /(n+1) + c
= – (cuna x) n+1 / (n+1) + c
Por tanto, I = – cot n+1 x/ (n+1) + c
Pregunta 10. Integra ∫ cot 5 x cosec 4 x dx
Solución:
Sea, I = ∫ cot 5 x cosec 4 x dx
= ∫ cot 5 x cosec 2 x cosec 2 x dx
= ∫ cuna 5 x (1+ cuna 2 x) cosec 2 x dx
= ∫ (cot 5 x + cuna 7 x) cosec 2 x dx
Poner, cuna x = t
– cosec 2 x dx = dt
= – ∫ (t 5 + t 7 ) dt
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= – t 6 /6 – t 8 /8 + c
= -(cotx) 6/6 – (cotx) 8/8 + c
Por lo tanto, I = -cot 6 x/6 – cot 8 x/8 + c
Pregunta 11. Integra ∫ cot 5 x dx
Solución:
Sea, I = ∫ cot 5 x dx
Podemos modificar la ecuación anterior de la siguiente manera,
= ∫ cuna 3 x cuna 2 x dx
= ∫ cot 3 x (cosec 2 x – 1) dx
= ∫ cot 3 x cosec 2 x – cot 3 x dx
= ∫ cot 3 x cosec 2 x dx – ∫ cot 2 x cot x dx
= ∫ cuna 3 x cosec 2 x dx – ∫ (cosec 2 x – 1) cuna x dx
= ∫ cot 3 x cosec 2 x dx – ∫ cosec 2 x cot x dx + ∫ cot x dx
Poner, cuna x = t
– cosec 2 x dx = dt
= ∫- t 3 dt – ∫(- t) dt + ∫ cuna x dx
= – ∫ t 3 dt + ∫ t dt + ∫ cuna x dx
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= -t 4 /4 + t 2 /2 + log|senx| +c
= -(cotx) 4/4 + (cotx) 2/2 + log|senx| +c
Por tanto, I =-cot 4 x /4 + cot 2 x /2 + log|senx| +c
Pregunta 12. Integra ∫ cot 6 x dx
Solución:
Sea, I =∫ cot 6 x dx
Podemos modificar la ecuación anterior de la siguiente manera,
= ∫ cuna 2 x cuna 4 x dx
= ∫ (coseg 2 x – 1) cuna 4 x dx
= ∫ (coseg 2 x cuna 4 x – cuna 4 x) dx
= ∫ cosec 2 x cot 4 x – cot 4 x dx
= ∫cosec 2 x cuna 4 x dx – ∫ cuna 2 x cuna 2 x dx
= ∫cosec 2 x cot 4 x dx – ∫ (cosec 2 x – 1) cot 2 x dx
= ∫cosec 2 x cot 4 x dx – ∫ cosec 2 x cot 2 x + cot 2 x dx
= ∫cosec 2 x cot 4 x dx – ∫ cosec 2 x cot 2 x dx+ ∫(cosec 2 x -1) dx
= ∫cosec 2 x cot 4 x dx – ∫ cosec 2 x cot 2 x dx+ ∫cosec 2 x dx – ∫1dx
Poner, cuna x = t
– cosec 2 x dx = dt
= ∫ t 4 (-dt) – ∫ t 2 (-dt) + ∫ cosec 2 x dx – ∫ dx
= -∫ t 4 dt + ∫ t 2 dt + ∫ cosec 2 x dx – ∫ dx
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= -t 5 /5 + t 3 /3 – cuna x – x + c
= -(cox) 5/5 + (cox) 3/3 – cox x – x + c
Por tanto, I = -cot 5 x/5 + cot 3 x /3 – cot x – x + c