Pregunta 1. Evalúa ∫ x/ √x 4 +a 4 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ x/ √x 4 +a 4 dx
= ∫ x/ √(x 2 ) 2 +(a 2 ) 2 dx (i)
Ponga x 2 = t
2x dx = dt
x dx = dt/2
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= 1/2 ∫ dt/√t 2 +(a 2 ) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/2 log |t+ √t 2 +(a 2 ) 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 +a 2 dx =log|x +√x 2 +a 2 | +c]
= 1/2 log |x 2 + √(x 2 ) 2 +(a 2 ) 2 | +c
Por lo tanto, I = 1/2 log |x 2 + √x 4 +a 4 | +c
Pregunta 2. Evalúa ∫ sec 2 x/ √tan 2 x+4 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ sec 2 x/ √tan 2 x+4 dx (i)
Poner tanx = t
segundo 2 x dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ dt/ √t 2 +(2) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= log|t +√t 2 +(2) 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 +a 2 dx =log|x +√x 2 +a 2 | +c]
= log|tanx +√tan 2 x+(2) 2 | +c
Por lo tanto, I = log|tanx +√tan 2 x+4| +c
Pregunta 3. Evalúa ∫ e x / √16-e 2x dx
Solución:
Supongamos que I =∫ e x / √16-e 2x dx (i)
Pon e x = t
e x dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ dt/ √(4) 2 -(t) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= sen -1 (t/4) + c [ ya que ∫1/ √a 2 – x 2 dx = sen -1 (x/a) + c]
= sen -1 (e x /4) + c
Por tanto, I = sen -1 (e x /4) + c
Pregunta 4. Evalúa ∫ cosx/ √4+sen 2 x dx
Solución:
Supongamos que I =∫ cosx/ √4+sen 2 x dx (i)
Ponga senx = t
cosx dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ dt/ √(2) 2 +t 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= log|t +√(2) 2 +t 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 +a 2 dx =log|x +√x 2 +a 2 | +c]
= log|senx +√(2) 2 +sen 2 x| +c
Por lo tanto, I = log|senx +√4+sen 2 x| +c
Pregunta 5. Evalúa ∫ senx/ √4cos 2 x-1 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ senx/ √4cos 2 x-1 dx (i)
Poner 2cosx = t
-2senx dx = dt
senx dx = -dt/2
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= -1/2 ∫ dt/ √t 2 -(1) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= -1/2 log|t +√t 2 -(1) 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 -a 2 dx =log|x +√x 2 -a 2 | +c]
= -1/2 log|2cosx +√(2cosx) 2 -(1) 2 | +c
Por lo tanto, I = -1/2 log|2cosx +√4cos 2 x-1| +c
Pregunta 6. Evalúa ∫ x/ √4-x 4 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ x/ √4-x 4 dx (i)
Ponga x 2 = t
2x dx = dt
x dx = dt/2
Poner el valor anterior en la ec. (i)
=1/2 ∫ dt/ √(2) 2 -(t) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= sen-1(t/2) + c [ ya que ∫1/ √a 2 – x 2 dx = sen -1 (x/a) + c]
= sen -1 (x 2 /2) + c
Por tanto, I = sen -1 (x 2 /2) + c
Pregunta 7. Evalúa ∫ 1/ x√4-9(logx) 2 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ 1/ x√4-9(logx) 2 dx
=∫ 1/ x√4-(3logx) 2 dx (yo)
Ponga 3logx = t
3/x dx = dt
1/x dx = dt/3
Poner el valor anterior en la ec. (i)
=1/3 ∫ dt/ √4-t 2
=1/3 ∫ dt/ √(2) 2 -t 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
=1/3 sen -1 (t/2) + c [ya que ∫1/ √a 2 – x 2 dx = sen -1 (x/a) + c]
=1/3 sen -1 (3logx/2) + c
Por tanto, I =1/3 sen -1 (3logx/2) + c
Pregunta 8. Evalúa ∫ sin8x/ √9+sin 4 4x dx
Solución:
Supongamos que I =∫ sin8x/ √9+sin 4 4x dx (i)
Pon sen 2 4x = t
2sen4xcos4x (4)dx = dt
4sen8x dx = dt
sen8x dx = dt/4
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= 1/4 ∫ dt/ √9+t 2
= 1/4 ∫ dt/ √(3) 2 +t 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/4 log|t +√(3) 2 +t 2 | + c [ya que ∫ 1/√a 2 +x 2 dx =log|x +√a 2 +x 2 | +c]
= 1/4 log|sen 2 4x +√(3) 2 +sen 4 4x| +c
Por lo tanto, I = 1/4 log|sen 2 4x +√9+sen 4 4x| +c
Pregunta 9. Evalúa ∫ cos2x/ √sen 2 2x+8 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ cos2x/ √sen 2 2x+8 dx (i)
Pon sen2x = t
2cos2x dx = dt
cos2x dx = dt/2
Poner el valor anterior en la ec. (i)
=1/2 ∫ dt/ √t 2 +8
=1/2 ∫ dt/ √t 2 +(2√2) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/2 log|t +√t 2 +(2√2) 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 +a 2 dx =log|x +√x 2 +a 2 | +c]
= 1/2 log|sen2x +√sen 2 2x+(2√2) 2 | +c
Por lo tanto, I = 1/2 log|sen2x +√sen 2 2x+8| +c
Pregunta 10. Evalúa ∫ sin2x/ √sin 4 x+4sin 2 x-2 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ sin2x/ √sin 4 x+4sin 2 x-2 dx (i)
Pon sen 2 x = t
2senxcosx dx = dt
sen2x dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ dt/ √t 2 +4t-2
= ∫ dt/ √t 2 +2t(2)+(2) 2 -(2) 2 -2
= ∫ dt/ √(t+2) 2 -6 (ii)
Pon t+2 =u
dt = du
Poner el valor anterior en la ec. (ii)
= ∫ du/ √u 2 -6
= ∫ du/ √u 2 -(√6) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= log|u +√u 2 -(√6) 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 -a 2 dx =log|x +√x 2 -a 2 | +c]
= log|t+2 +√(t+2) 2 -6| +c
= log|sen 2 x+2 +√(sen 2 x+2) 2 -6| +c
= log|sen 2 x+2 +√sen 4 x+4sen 2 x+4-6| +c
Por lo tanto, I = log|sen 2 x+2 +√sen 4 x+4sen 2 x-2| +c