Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.14

Pregunta 1. Evalúa ∫1/ a 2 -b 2 x 2 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1/ (a 2 -b 2 x 2 )dx

tomar 1/b 2 común de la ecuación anterior

= 1/b 2 ∫ 1/ (a 2 /b 2 -x 2 ) dx

= 1/b 2 ∫ 1/ (a/b) 2 -x 2 ) dx

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

= 1/b 2 1/ 2(a/b) log|(a/b)+x/ (a/b)-x| + c [ya que ∫1/ a 2 -x 2 dx = 1/2a log|x+a/xa| +c]

= 1/2ab log|a+bx/ a-bx| +c

Por lo tanto, I = 1/2ab log |a+bx/ a-bx| +c

Pregunta 2. Evalúa ∫ 1/ a 2 x 2 -b 2 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1/ a 2 x 2 -b 2 dx

tomar 1/a 2 común de la ecuación anterior

= 1/a 2 ∫ 1/ x 2 -(b 2 /a 2 ) dx

= 1/a 2 ∫ 1/ x 2 -(b/a) 2 dx

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

= (1/a 2 ) 1/(2b/a) log|x-(b/a)/x+(b/a)| + c [ya que ∫1/ x 2 -a 2 dx = 1/2a log|xa/x+a| +c]

= 1/2ab log|ax-b/ax+b| +c

Por lo tanto, I = 1/2ab log|ax-b/ax+b| +c

Pregunta 3. Evalúa ∫ 1/ a 2 x 2 +b 2 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1/ a 2 x 2 +b 2 dx

tomar 1/a 2 común de la ecuación anterior

= 1/a 2 ∫ 1/ x 2 +(b 2 /a 2 ) dx

= 1/a 2 ∫ 1/ x 2 +(b/a) 2 dx

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

= (1/a 2 ) 1/(b/a)tan -1 [x/(b/a)] + c [ya que ∫1/ x 2 +a 2 dx = 1/a tan -1 (x/a ) + c]

= 1/ab tan -1 (ax/b) + c

Por tanto, I = 1/ab tan -1 (ax/b) + c

Pregunta 4. Evalúa ∫ x 2 -1/ x 2 +4 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ x 2 -1/ x 2 +4 dx

Podemos escribir la ecuación anterior de la siguiente manera,

= ∫ x 2 -1+4-4/ x 2 +4 dx

= ∫ (x 2 +4)-4-1/ x 2 +4 dx

= ∫ (x2 +4 )-5/x2 +4 dx

= ∫ (x 2 +4)/ x 2 +4 dx – ∫ 5/ x 2 +4 dx

= ∫ dx – 5∫ 1/ x 2 +(2) 2 dx

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

= x – 5/2 tan -1 (x/2) +c [ya que ∫1/ x 2 +a 2 dx = 1/a tan -1 (x/a) + c]

Entonces yo = x – 5/2 tan -1 (x/2) +c

Pregunta 5. Evalúa ∫ 1/ √1+4x 2 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1/ √1+4x 2 dx

= ∫ 1/ √1+(2x) 2 dx (i)

Sea 2x = t

2dx = dt

Ponga el valor anterior en la ecuación (i)

=1/2 ∫ 1/ √1+t 2 dt

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

=1/2 registro|t+√t 2 +1| + c [ya que ∫1/ √x 2 +a 2 dx = log|x+√x 2 +a 2 | +c]

=1/2 registro|2x+√(2x) 2 +1| +c

Por lo tanto, yo =1/2 log|2x+√4x 2 +1| +c

Pregunta 6. Evalúa ∫1/ √a 2 +b 2 x 2 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫1/ √a 2 +b 2 x 2 dx

= ∫1/ √a 2 +(bx) 2 dx (i)

Sea bx = t

bdx = dt

dx = dt/b

Ponga el valor anterior en la ecuación (i)

= 1/b ∫1/ √a 2 +(t) 2 dt

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

= 1/b log|t+√a 2 +t 2 |+ c [ya que ∫1/ √a 2 +x 2 dx = log|x+√a 2 +x 2 | +c]

= 1/b log|bx+√a 2 +(bx) 2 |+ c

Por lo tanto, I = 1/b log|bx+√a 2 +b 2 x 2 |+ c

Pregunta 7. Evalúa ∫1/ √a 2 -b 2 x 2 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫1/ √a 2 -b 2 x 2 dx

= ∫1/ √a 2 -(bx) 2 dx (i)

Sea bx = t

bdx = dt

dx = dt/b

Ponga el valor anterior en la ecuación (i)

= 1/b ∫1/ √a 2 -(t) 2 dt

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

= 1/b sen -1 (t/a)+ c [puesto que ∫1/ √a 2 -x 2 dx = sen -1 (x/a)+ c]

Por tanto, I = 1/b sen -1 (bx/a)+ c

Pregunta 8. Evalúa ∫1/ √(2-x) 2 +1 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫1/ √(2-x) 2 +1 dx (i)

Sea 2-x=t

-dx = dt

Ponga el valor anterior en la ecuación (i)

= -∫1/ √(t) 2 +(1) 2 dt

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

= – registro |t+√(t) 2 +1| + c [ya que ∫1/ √x 2 +a 2 dx = log|x+√x 2 +a 2 | +c]

= – log |(2-x)+√(2-x) 2 +1| +c

Por lo tanto, I = – log |(2-x)+√(2-x) 2 +1| +c

Pregunta 9. Evalúa ∫1/ √(2-x) 2 -1 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫1/ √(2-x) 2 -1 dx (i)

Sea 2-x=t

-dx = dt

Ponga el valor anterior en la ecuación (i)

= -∫1/ √(t) 2 -(1) 2 dt

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

= – registro |t+√(t) 2 -1| + c [ya que ∫1/ √x 2 -a 2 dx = log|x+√x 2 -a 2 | +c]

= – log |(2-x)+√(2-x) 2 -1| +c

Por lo tanto, I = – log |(2-x)+√(2-x) 2 -1| +c

Pregunta 10. Evalúa ∫ x 4 +1/ x 2 +1 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ x 4 +1/ x 2 +1 dx

= ∫ (x 2 ) 2 +(1) 2 / x 2 +1 dx

= ∫ (x 2 +1) 2 -2x 2 / x 2 +1 dx [a 2 +b 2 = (a+b) 2 -2ab]

= ∫ (x 2 +1) 2 / x 2 +1 dx -∫ 2x 2 / x 2 +1 dx

= ∫ (x 2 +1) dx – ∫ (2x 2 +2-2/ x 2 +1) dx

= ∫ (x 2 +1) dx – ∫ 2(x 2 +1)/ x 2 +1 dx +∫ 2/ x 2 +1 dx

= ∫ (x 2 +1) dx – ∫ 2 dx + 2∫ 1/ x 2 +1 dx

Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos

= x 3 /3 + x – 2x + 2tan -1 (x) + c [ya que ∫1/ x 2 +a 2 dx = 1/a tan -1 (x/a) + c]

= x 3 /3 – x + 2tan -1 (x) + c

Por tanto, I = x 3 /3 – x + 2tan -1 (x) + c

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yogirao y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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