Pregunta 1. Evalúa ∫ sec 2 x/ 1 – tan 2 x dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ sec 2 x/ 1 – tan 2 x dx …..(i)
Ahora pon tan x = t
segundo 2 x dx = dt
Entonces, pon todos estos valores en la ecuación (i)
= ∫ dt/ 1 2 – t 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 1/ 2(1) log|1 + t/1 – t| +c
Ya que, ∫ 1/ a 2 – x 2 dx = 1/ 2a log|a + x/a – x| +c]
Por lo tanto, I = 1/2 log|1 + tanx/1 – tanx| +c
Pregunta 2. Evalúa ∫ e x / 1 + e 2x dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ e x / 1 + e 2x dx …..(i)
Ahora, pon e x = t
e x dx = dt
Entonces, pon todos estos valores en la ecuación (i)
= dt/ 1 + t 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= bronceado -1 t + c
Ya que, ∫ 1/ 1 + x 2 dx = tan -1 x + c
Por lo tanto, I = tan -1 e x + c
Pregunta 3. Evalúa ∫ cosx/ sen 2 x + 4 senx + 5 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ cosx/ sen 2 x + 4 senx + 5 dx …..(i)
Ahora, pon senx = t
cosx dx = dt
Entonces, pon todos estos valores en la ecuación (i)
= ∫ dt/ t 2 + 4t + 5
= ∫ dt/ t 2 + 2t(2) + (2) 2 – (2) 2 + 5
= ∫ dt/ (t + 2) 2 + 1 …..(ii)
De nuevo, pon t + 2 = u
dt = du
Ahora, pon todos estos valores en la ecuación (ii)
= ∫ du/ tu 2 + 1
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= bronceado -1 u + c
Ya que, ∫1/ x 2 + 1 dx = tan -1 x + c
= bronceado -1 (t + 2) + c
Por tanto, I = tan -1 (senx + 2) + c
Pregunta 4. Evalúa ∫ e x /e 2x + 5e x + 6 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ e x /e 2x + 5e x + 6 dx …..(i)
Ahora, pon e x = t
e x dx = dt
Entonces, pon todos estos valores en la ecuación (i)
= ∫ dt/ t 2 + 5t + 6
= ∫ dt/ t + 2t(5/2) + (5/2) 2 – (5/2) 2 + 6
= ∫ dt/ (t + 5/2) 2 – 1/4 …..(ii)
Pon t + 5/2 = tu
dt = du
Ahora, coloque el valor anterior en la ecuación (ii)
= ∫ du/ tu 2 – (1/2) 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 2/2 log|u – (1/2)/u + (1/2)| +c
Ya que, ∫ 1/ x 2 – a 2 dx = 1/ 2alog|x – a/x + a| +c
= log|2u – 1/2u + 1| +c
= log|2(t + 5/2) – 1/2(t + 5/2) + 1| +c
Por lo tanto, I = log|e x + 2/e x + 3| +c
Pregunta 5. Evalúa ∫ e 3x / 4e 6x – 9 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ e 3x / 4e 6x – 9 dx …..(i)
Ahora, pon e 3x = t
3e 3x dx = dt
e 3x dx = dt/3
Ahora, ponga el valor anterior en eq(i)
= 1/3 ∫ dt/ 4t 2 – 9
= 1/12 ∫ dt/ t 2 – (3/2) 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 1/12 x 1/ 2(3/2) log|t – 3/2/t + 3/2| +c
Ya que, ∫1/ x 2 – a 2 dx = 1/2a log|x – a/x + a| +c]
= 1/36 log|2t – 3/2t + 3| +c
Por lo tanto, I = 1/36 log|2e 3x – 3/2e 3x + 3| +c
Pregunta 6. Evalúa ∫ dx/e x + e -x
Solución:
Supongamos que I = ∫ dx/e x + e -x
=∫dx/e x + 1/e x
= ∫ e x dx/ (e x ) 2 + 1 …..(i)
Ahora, pon e x = t
e x dx = dt
Ahora, ponga el valor anterior en eq(i)
= ∫ dt/ t 2 + 1
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= bronceado -1 t + c
Como ∫ 1/ 1 + x 2 dx = tan -1 x + c
Por lo tanto, I = tan -1 (e x ) + c
Pregunta 7. Evalúa ∫ x/ x 4 + 2x 2 + 3 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ x/ x 4 + 2x 2 + 3 dx …..(i)
Ahora, pon x 2 = t
2x dx = dt
x dx = dt/2
Ahora, ponga el valor anterior en eq(i)
= 1/2 ∫ dt/ t 2 + 2t + 3
= 1/2 ∫ dt/ t 2 + 2t + 1 – 1 + 3
= 1/2 ∫ dt/ (t + 1) 2 + 2 …..(ii)
Ahora pon t + 1 = u
dt = du
Entonces, ponga el valor anterior en la ecuación (ii)
= 1/2 ∫ du/ tu 2 + (√2) 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 1/2 x 1/√2 bronceado -1 (u/√2) + c
Como ∫1/ x 2 + a 2 dx = 1/a tan -1 (x/a) + c
= 1/2√2 tan -1 (t + 1/ √2) + c
Por lo tanto, I = 1/2√2 tan -1 (x 2 + 1/ √2) + c
Pregunta 8. Evalúa ∫ 3x 5 / 1 + x 12 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 3x 5 / 1 + x 12 dx
= ∫ 3x 5 / 1 + (x 6 ) 2 dx …..(i)
Ahora, pon x 6 = t
6x 5 dx = dt
x 5 dx = dt/6
Ahora, ponga el valor anterior en eq(i)
= 3/6 ∫ dt/ 1 + t 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 1/2 bronceado -1 (t) + c
Como ∫ 1/ x 2 + 1 dx = tan -1 x + c
Por lo tanto, I = 1/2 tan -1 (x 6 ) + c
Pregunta 9. Evalúa ∫ x 2 / x 6 – a 6 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ x 2 / x 6 – a 6 dx
= ∫ x 2 / (x 3 ) 2 – (a 3 ) 2 dx …..(i)
Ahora, pon x 3 = t
3x 2 dx = dt
x 2 dx = dt/3
Ahora, ponga el valor anterior en eq(i)
= 1/3 ∫ dt/ t 2 – (a 3 ) 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 1/3 x 1/2a 3 log|t – a 3 /t + a 3 | +c
Como ∫1/ x 2 – a 2 dx = 1/2a log|x – a/x + a| +c
= 1/6a 3 log|x 3 – a 3 /x 3 + a 3 | +c
Por lo tanto, I = 1/6a 3 log|x 3 – a 3 /x 3 + a 3 | +c
Pregunta 10. Evalúa ∫ x 2 / x 6 + a 6 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ x 2 / x 6 + a 6 dx
= ∫ x 2 / (x 3 ) 2 + (a 3 ) 2 dx …..(i)
Ahora, pon x 3 = t
3x 2 dx = dt
x 2 dx = dt/3
Ahora, ponga el valor anterior en eq(i)
= 1/3 ∫ dt/ t 2 + (a 3 ) 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 1/3 x (1/a 3 ) tan -1 (t/a 3 ) + c
Ya que, ∫1/ x 2 + a 2 dx = 1/a tan -1 (x/a) + c
Por tanto, I = 1/3a 3 tan -1 (x 3 /a 3 ) + c
Pregunta 11. Evalúa ∫ 1/ x(x 6 + 1) dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ x(x 6 + 1) dx
= ∫ x 5 / x 6 (x 6 + 1) dx …..(i)
Ahora, pon x 6 = t
6x 5 dx = dt
x 5 dx = dt/6
Ahora, ponga el valor anterior en eq(i)
= 1/6 ∫dt/ t(t + 1)
= 1/6 ∫dt/ t 2 + t
= 1/6 ∫dt/ t 2 + 2t(1/2) + (1/2) 2 – (1/2) 2
= 1/6 ∫dt/ (t + 1/2) 2 – (1/2) 2 …..(ii)
Sea t + 1/2 = u
dt = du
Entonces, ponga el valor anterior en la ecuación (ii)
= 1/6 ∫du/ (u) 2 – (1/2) 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 1/6 x 1/ 2(1/2) log|u – (1/2)/u + (1/2)| +c
Como ∫ 1/ x 2 – a 2 dx = 1/2a log|x – a/x + a| +c
= 1/6 log|{(t + 1/2) – 1/2}/(t + 1/2) + 1/2| +c
Por lo tanto, yo = 1/6 log|x 6 / x 6 + 1| +c
Pregunta 12. Evalúa ∫ x/ (x 4 – x 2 + 1) dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ x/ (x 4 – x 2 + 1) dx …..(i)
Sea x 2 = t
2x dx = dt
x dx = dt/2
Ahora, ponga el valor anterior en eq(i)
= 1/2 ∫dt/ t 2 – t + 1
= 1/2 ∫dt/ t 2 – 2t(1/2) + (1/2) 2 – (1/2) 2 + 1
= 1/2 ∫dt/ (t – 1/2) 2 + (3/4) …..(ii)
Sea t – 1/2 = u
dt = du
Entonces, ponga el valor anterior en la ecuación (ii)
= 1/2 ∫du/ (u) 2 + (√3/2) 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 1/2 x 1/(√3/2) bronceado -1 (u/(√3/2)) + c
Ya que, ∫ 1/ x 2 + a 2 dx = 1/a tan -1 (x/a) + c
= 1/√3 tan -1 (t – 1/2/ (√3/2)) + c
Por lo tanto, I = 1/√3 tan -1 (2x 2 – 1/ √3) + c
Pregunta 13. Evalúa ∫ x/ (3x 4 – 18x 2 + 11) dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ x/ (3x 4 – 18x 2 + 11) dx
= 1/3 ∫ x/ (x 4 – 6x 2 + 11/3) dx …..(i)
Sea x 2 = t
2x dx = dt
x dx = dt/2
Entonces, pon el valor anterior en la ecuación (i)
= 1/3 x 1/2 ∫dt/ t 2 – 6t + 11/3
= 1/6 ∫dt/ t 2 – 2t(3) + (3) 2 – (3) 2 + 11/3
= 1/6 ∫dt/ (t – 3) 2 – (16/3) …..(ii)
Sea t – 3 = u
dt = du
Ahora, coloque el valor anterior en la ecuación (ii)
= 1/6 ∫du/ (u) 2 – (4/√3) 2
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= 1/6 x 1/ 2(4/√3) log|u – (4/√3)/u + (4/√3)| +c
Ya que, ∫ 1/ x 2 – a 2 dx = 1/2a log|x – a/x + a| +c
= √3/48 log|(t – 3 – 4/√3)/(t – 3 + 4/√3)| +c
Por lo tanto, I = √3/48 log|(x 2 – 3 – 4/√3)/(x 2 – 3 + 4/√3)| +c
Pregunta 14. Evalúa ∫ e x / (1 + e x )(2 + e x ) dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ e x / (1 + e x )(2 + e x ) dx …..(i)
Sea e x = t
e x dx = dt
Entonces, pon el valor anterior en la ecuación (i)
= ∫ dt/ (1 + t)(2 + t)
= ∫dt/ (1 + t) – ∫dt/(2 + t)
Entonces, al integrar la ecuación anterior, obtenemos
= registro|1 + t| – registro|2 + t| +c
= log|1 + t/2 + t| +c
Por lo tanto, I = log|1 + e x /2 + e x | +c