Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.17

Posted on by Rudeus Greyrat

Evalúa las siguientes integrales:

Pregunta 1. ∫dx/√(2x – x 2 )

Solución:

Tenemos,

Sea yo = ∫dx/√(2x – x 2 )

= ∫dx/√(1 – 1 + 2x – x 2 )

= ∫dx/√{1 – (x 2 – 2x + 1)}

= ∫dx/√{1 2 – (x – 1) 2 }

Sea x – 1 = q…(1)

= ∫dx/√{1 2 – (q) 2 }

Como sabemos que, ∫dx/√(a 2 – x 2 ) = sen -1 (x/a)

Asi que, 

= sen -1 (q) + C    

Ahora pon el valor de q de eq(1), obtenemos

= sen -1 (x – 1) + C    

Pregunta 2. ∫dx/√(8 + 3x – x 2 )

Solución:

Tenemos,

Sea I = ∫dx/√(8 + 3x – x 2 )

Aquí, (8 + 3x – x 2 ) se puede escribir como 8 – (x 2 – 3x + 9/4 – 9/4)

= (8 + 9/4) – (x – 3/2) 2

= (41/4) – (x – 3/2) 2

= ∫\frac{dx}{(\sqrt{\frac{41}{4}})^2-(x-\frac{3}{2})^2}

Sea x – 3/2 = q…(1)

= ∫\frac{dx}{(\sqrt{\frac{41}{4}})^2-(q)^2}

Como sabemos que, ∫dx/√(a 2 – x 2 ) = sen -1 (x/a)

Asi que, 

= sin^{-1}(\frac{q}{\sqrt{\frac{41}{4}}}) + C    

Ahora pon el valor de q de eq(1), obtenemos

= sin^{-1}(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{2}})+C

= sen -1 (2x – 3/√41) + C

Pregunta 3. ∫dx/√(5 – 4x – 2x 2 )

Solución:

Tenemos,

Sea I = ∫dx/√(5 – 4x – 2x 2 )

= ∫dx/√{2(5/2 – 2x – x 2 )}

= (1/√2)∫dx/√{5/2 – (x 2 – 2x + 1 – 1)}

= (1/√2)∫dx/√{(5/2 + 1) – (x 2 – 2x + 1)}

= (1/√2)∫dx/√{7/2 – (x – 1) 2 }

=\frac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{dx}{(\sqrt\frac{7}{2})^2-(x+1)^2}

Sea x + 1 = q…(1)

= \frac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{dx}{(\sqrt\frac{7}{2})^2-(q)^2}

Como sabemos que, ∫dx/√(a 2 – x 2 ) = sen -1 (x/a)

Asi que, 

= \frac{1}{\sqrt{2}}sin^{-1}(\frac{q}{\sqrt\frac{7}{2}})+C

Ahora pon el valor de q de eq(1), obtenemos

= \frac{1}{\sqrt{2}}sin^{-1}(\frac{x+1}{\sqrt\frac{7}{2}})+C

= \frac{1}{\sqrt{2}}sin^{-1}(\frac{(x+1)\sqrt{2}}{\sqrt7})+C

Pregunta 4. ∫dx/√(3x 2 + 5x + 7)

Solución:

Tenemos,

Sea I = ∫dx/√(3x 2 + 5x + 7)

= ∫dx/√{3(x2 + 5x/3 + 7/3)}

= (1/√3)∫dx/√{5/2-(x2-2x+1-1)}

= \frac{1}{\sqrt3}∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+\frac{5x}{3}+(\frac{5}{6})^2-(\frac{5}{6})^2+\frac{7}{3}}}

= \frac{1}{\sqrt3}∫\frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}+\frac{7}{3}}}

= \frac{1}{\sqrt3}∫\frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{5}{6})^2+(\frac{\sqrt{56}}{6})^2}}

= \frac{1}{\sqrt3}log|x+\frac{5}{6}+\sqrt{(x+\frac{5}{6})^2-(\frac{59}{36})}|+C

= \frac{1}{\sqrt3}log|x+\frac{5}{6}+\sqrt{x^2+\frac{5x}{3}+\frac{7}{3}}|+C

Pregunta 5. ∫dx/√{(x – α)(β – x)}

Solución:

Tenemos,

Sea I = ∫dx/√{(x – α)(β – x)}

= ∫dx/√(-x 2 +αx + βx – αβ)

= ∫dx/√{-x 2 + x(α + β) – αβ}

= ∫\frac{dx}{\sqrt{-x^2+2x(\frac{α+β}{2})-(\frac{α+β}{2})^2+(\frac{α+β}{2})^2+αβ}}

= ∫\frac{dx}{\sqrt{-[x-(\frac{α+β}{2})^2]+(\frac{α-β}{2})^2}}

= ∫\frac{dx}{\sqrt{(\frac{α+β}{2})^2-[x-(\frac{α+β}{2})^2]}}

Sea x – (α + β)/2 = q…(1)

= ∫\frac{dx}{\sqrt{(\frac{α+β}{2})^2-(q)^2}}

Como sabemos que, ∫dx/√(a 2 – x 2 ) = sen -1 (x/a)

Asi que, 

= sin^{-1}\frac{q}{\frac{α-β}{2}}+C

Ahora pon el valor de q de eq(1), obtenemos

= sin^{-1}\frac{x-\frac{α+β}{2}}{\frac{α-β}{2}}+C

= sin^{-1}(\frac{2x-α-β}{α-β})+C

Pregunta 6. ∫dx/√(7 – 3x – 2x 2 )

Solución:

Tenemos,

Sea I = ∫dx/√(7 – 3x – 2x 2 )

= ∫dx/√{2(7/2 – 3x/2 – x 2 )}

= \frac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{dx}{\sqrt{\frac{7}{2}-[x^2+2x(\frac{3}{4})+(\frac{3}{4})^2-(\frac{3}{4})^2}]}

= \frac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{dx}{\sqrt{\frac{7}{2}+\frac{9}{16}-(x+\frac{3}{4})^2}}

= \frac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{dx}{\sqrt{\frac{65}{16}-(x+\frac{3}{4})^2}}

= \frac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{dx}{\sqrt{(\frac{\sqrt{65}}{4})^2-(x+\frac{3}{4})^2}}

Sea x + 3/2 = q…(1)

= \frac{1}{\sqrt{2}}∫\frac{dx}{\sqrt{(\frac{\sqrt{65}}{4})^2-(q)^2}}

Como sabemos que, ∫dx/√(a 2 – x 2 ) = sen -1 (x/a)

Asi que, 

= \frac{1}{\sqrt{2}}sin^{-1}(\frac{q}{\frac{\sqrt{65}}{4}})+C

Ahora pon el valor de q de eq(1), obtenemos

= \frac{1}{\sqrt{2}}sin^{-1}(\frac{x+\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{65}}{4}})+C

= \frac{1}{\sqrt{2}}sin^{-1}(\frac{4x+3}{\sqrt{65}})+C

Pregunta 7. ∫dx/√(16 – 6x – x 2 )

Solución:

Tenemos,

Sea I = ∫dx/√(16 – 6x – x 2 )

= ∫dx/√{16 – (x2 + 2,3x + 9 – 9)}

= ∫dx/√{25 – (x2 + 2,3x + 9)}

= ∫\frac{dx}{(5)^2-(x+3)^2}

Sea x + 3/2 = q…(1)

= ∫\frac{dx}{(5)^2-(q)^2}

Como sabemos que, ∫dx/√(a 2 – x 2 ) = sen -1 (x/a)

Asi que, 

= sin^{-1}(\frac{q}{5})+C

Ahora pon el valor de q de eq(1), obtenemos

= sin^{-1}(\frac{x+3}{5})+C

Pregunta 8. ∫dx/√(7 – 6x – x 2 )

Solución:

Tenemos,

Sea I = ∫dx/√(7 – 6x – x 2 )

= ∫dx/√{7-(x2 + 2,3x + 9 – 9)}

= ∫dx/√{16 – (x2 + 2,3x + 9)}

= ∫\frac{dx}{(4)^2-(x+3)^2}

Sea x + 3/2 = q…(1)

= ∫\frac{dx}{(4)^2-(q)^2}

Como sabemos que, ∫dx/√(a 2 – x 2 ) = sen -1 (x/a)

Asi que, 

= sin^{-1}(\frac{q}{4})+C

Ahora pon el valor de q de eq(1), obtenemos

= sin^{-1}(\frac{x+3}{4})+C

Pregunta 9. ∫dx/√(5x 2 – 2x)

Solución:

Tenemos,

Sea I = ∫dx/√(5x 2 – 2x)

= ∫dx/√{5(x2 – 2x /5)}

= \frac{1}{\sqrt5}∫\frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{2x}{5}+(\frac{1}{5})^2-(\frac{1}{5})^2}}

= \frac{1}{\sqrt5}∫\frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{1}{5})^2-(\frac{1}{5})^2}}

= \frac{1}{\sqrt5}log|x-\frac{1}{5}+\sqrt{(x-\frac{1}{5})^2+(\frac{1}{5})^2}|+C

= \frac{1}{\sqrt5}log|x-\frac{1}{5}+\sqrt{x^2-\frac{2x}{5}}|+C

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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