Pregunta 11. Evalúa ∫ sen2x/ √cos 4 x-sen 2 x+2 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ sen2x/ √cos 4 x-sen 2 x+2 dx
=∫sen2x/ √cos 4 x-(1-cos 2 x)+2 dx (i)
Poner cos 2 x = t
-2senxcosx dx = dt
sen2x dx = -dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= -∫ dt/ √t 2 -(1-t)+2
= -∫ dt/ √t 2 -1+t+2
= -∫ dt/ √t 2 +t+1
= -∫ dt/ √t 2 +t+(1/4)+(3/4)
= -∫ dt/ √(t+1/2) 2 + 3/4 (ii)
Pon t+1/2 =u
dt = du
Poner el valor anterior en la ec. (ii)
= -∫ du/ √u 2 + 3/4
= -∫ du/ √u 2 +3/4
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= -log|u +√u 2 +3/4| + c [puesto que ∫ 1/√x 2 +a 2 dx =log|x +√x 2 +a 2 | +c]
= -log|t+1/2 +√(t+1/2) 2 +3/4| +c
= -log|t+1/2 +√(t 2 +t+1)| +c
= -log|(cos 2 x+1/2) +√(cos 4 x+cos 2 x+1| + c
Por tanto, I = -log|(cos 2 x+1/2) +√(cos 4 x+cos 2 x+1| + c
Pregunta 12. Evalúa ∫ cosx/ √4-sen 2 x dx
Solución:
Supongamos que I =∫ cosx/ √4-sen 2 x dx (i)
Ponga senx = t
cosx dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ dt/ √(2) 2 -(t) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= sen -1 (t/2) + c [puesto que ∫1/ √a 2 – x 2 dx = sen -1 (x/a) + c]
= sen -1 (senx/2) + c
Por tanto, I = sen -1 (senx/2) + c
Pregunta 13. Evalúa ∫ 1/ x 2/3 √x 2/3 -4 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ 1/ x 2/3 √x 2/3 -4 dx (i)
Pon x 1/3 = t
(1/3) x 1/3-1 dx = dt
(1/3) x -2/3 dx = dt
dx/ x 2/3 = 3dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= 3 ∫ dt/ √t 2 -(2) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 3 log|t +√t 2 -(2) 2 | + c [ya que ∫ 1/√x 2 -a 2 dx =log|x +√x 2 -a 2 | +c]
= 3 log|x 1/3 +√(x 1/3 ) 2 -(2) 2 | +c
Por lo tanto, yo = 3 log|x 1/3 +√x 2/3 – 4| +c
Pregunta 14. Evalúa ∫ 1/ √(1-x 2 )[9+(sen -1 x) 2 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ 1/ √(1-x 2 )[9+(sen -1 x) 2 dx (i)
Poner sen -1 x = t
dx/√1-x 2 = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ dt/ √(3) 2 + t
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= log|t +√(3) 2 +t 2 | + c [ya que ∫ 1/√a 2 +x 2 dx =log|x +√a 2 +x 2 | +c]
= log|sen -1 x +√(3) 2 +(sen -1 x) 2 | +c
Por lo tanto, I = log|sen -1 x +√9+(sen -1 x) 2 | +c
Pregunta 15. Evalúa ∫ cosx/ √sen 2 x-2senx-3 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ cosx/ √sen 2 x-2senx-3 dx (i)
Ponga senx = t
cosx dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ dt/ √t 2 -2t -3
= ∫ dt/ √t 2 -2t +(1) 2 -(1) 2 -3
= ∫ dt/ √(t-1) 2 -(2) 3 (ii)
Pon t-1 =u
dt = du
Poner el valor anterior en la ec. (ii)
= ∫ du/ √u 2 -(2) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= log|u +√u 2 -(2) 2 | + c [ya que ∫1/√x 2 -a 2 dx =log|x +√x 2 -a 2 | +c]
= log|t-1 +√(t-1) 2 -4| +c
= log|t-1 +√t 2 -2t +1-4| +c
= log|t-1 +√t 2 -2t -3| +c
= log|senx-1 +√sen 2 x-2senx-3| +c
Por lo tanto, I = log|senx-1 +√sen 2 x-2senx-3| +c
Pregunta 16. Evalúa ∫ √cosecx-1 dx
Solución:
Supongamos que I =∫ √cosecx-1 dx
= ∫ √1/senx -1 dx
=∫ √1-senx /senx dx
=∫ √(1-senx)+(1 + senx) /(1+senx)senx dx
=∫ √(1+senx-senx-sen 2 x) /sen 2 x+senx dx
=∫ √cos 2 x /sen 2 x+senx dx
=∫ cosx /√sen 2 x+senx dx (i)
Sea senx = t
cosx dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ dt/√t 2 +t
= ∫ dt/√t 2 +2t(1/2)+(1/2) 2 -(1/2) 2
= ∫ dt/√(t+1/2) 2 -(1/2) 2 (ii)
Sea t+1/2 = u
dt = du
Poner el valor anterior en la ec. (ii)
= ∫ dt/√(u) 2 -(1/2) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= log|u +√u 2 -(1/2) 2 | + c [ya que ∫ 1/√x 2 -a 2 dx =log|x +√x 2 -a 2 | +c]
= log|t+1/2 +√(t+1/2) 2 -(1/2) 2 | +c
= log|t+1/2 +√t 2 +t| +c
Por lo tanto, I = log|senx+1/2 +√sen 2 x+senx| +c
Pregunta 17. Evalúa ∫ sinx-cosx/ √sin2x dx
Solución:
Supongamos que I =∫ senx-cosx/ √sin2x dx
∫ senx-cosx/ √sen2x dx = ∫ senx-cosx/ √(senx+cosx) 2 -1 dx
= ∫ senx-cosx/ √(senx+cosx)2 -1 dx (i)
Sea senx+cosx = t
cosx-senx dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= -∫ dt/ √t 2 -(1) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= – log|t +√t 2 -(1) 2 | + c [ya que ∫ 1/√x 2 -a 2 dx =log|x +√x 2 -a 2 | +c]
= – log|senx+cosx +√sen2x| +c
Por lo tanto, I = – log|senx+cosx +√sen2x| +c