Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.18 | Serie 1

Pregunta 1. Evalúa ∫ x/ √x 4 +a 4 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ x/ √x 4 +a 4 dx

= ∫ x/ √(x 2 ) 2 +(a 2 ) 2 dx (i)

Ponga x 2 = t

2x dx = dt

x dx = dt/2

Poner el valor anterior en la ec. (i)

= 1/2 ∫ dt/√t 2 +(a 2 )

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

= 1/2 log |t+ √t 2 +(a 2 ) 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 +a 2 dx = log|x +√x 2 +a 2 | +c]

= 1/2 log |x 2 + √(x 2 ) 2 +(a 2 ) 2 | +c

Por lo tanto, I = 1/2 log |x 2 + √x 4 +a 4 | +c

Pregunta 2. Evalúa ∫ sec 2 x/ √tan 2 x+4 dx

Solución:

Supongamos que I =∫ sec 2 x/ √tan 2 x+4 dx (i)

Pon tan x = t

segundo 2 x dx = dt

Poner el valor anterior en la ec. (i)

= ∫ dt/ √t 2 +(2) 2

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

= log|t +√t 2 +(2) 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 +a 2 dx =log|x +√x 2 +a 2 | +c]

= log|tanx +√tan 2 x+(2) 2 | +c

Por lo tanto, I = log|tanx +√tan 2 x+4| +c

Pregunta 3. Evalúa ∫ e x / √16-e 2x dx

Solución:

Supongamos que I =∫ e x / √16-e 2x dx (i)

Pon e x = t

e x dx = dt

Poner el valor anterior en la ec. (i)

= ∫ dt/ √(4) 2 -(e) 2

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

= sen -1 (t/4) + c [ya que ∫1/ √a 2 – x 2 dx = sen -1 (x/a) + c]

= sen -1 (e x /4) + c

Por tanto, I = sen -1 (e x /4) + c

Pregunta 4. Evalúa ∫ cosx/√4+sen 2 x dx

Solución:

Supongamos que I =∫ cosx/ √4+sen 2 x dx (i)

Ponga senx = t

cosx dx = dt

Poner el valor anterior en la ec. (i)

= ∫ dt/ √(2) 2 +t 2

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

= log|t +√(2) 2 +t 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 +a 2 dx =log|x +√x 2 +a 2 | +c]

= log|senx +√(2) 2 +sen 2 x| +c

Por lo tanto, I = log|senx +√4+sen 2 x| +c

Pregunta 5. Evalúa ∫ senx/ √4cos 2 x-1 dx

Solución:

Supongamos que I =∫ senx/ √4cos 2 x-1 dx (i)

Poner 2cosx = t

-2senx dx = dt

senx dx = -dt/2

Poner el valor anterior en la ec. (i)

= -1/2 ∫ dt/ √t 2 -(1) 2

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

= -1/2 log|t +√t 2 -(1) 2 | + c [ya que ∫ 1/√x 2 -a 2 dx =log|x +√x 2 -a 2 | +c]

= -1/2 log|2cosx +√(2cosx) 2 -(1) 2 | +c

Por lo tanto, I = -1/2 log|2cosx +√4cos 2 x-1| +c

Pregunta 6. Evalúa ∫ x/ √4-x 4 dx

Solución:

Supongamos que I =∫ x/ √4-x 4 dx (i)

Ponga x 2 = t

2x dx = dt

x dx = dt/2

Poner el valor anterior en la ec. (i)

=1/2 ∫ dt/ √(2) 2 -(t) 2

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

= sen -1 (t/2) + c [ ya que ∫1/ √a 2 – x 2 dx = sen -1 (x/a) + c]

= sen -1 (x 2 /2) + c

Por tanto, I = sen -1 (x 2 /2) + c

Pregunta 7. Evalúa ∫ 1/ x√4-9(logx) 2 dx

Solución:

Supongamos que I =∫ 1/ x√4-9(logx) 2 dx

=∫ 1/ x√4-(3logx) 2 dx (i)

Ponga 3logx = t

3/x dx = dt

1/x dx = dt/3

Poner el valor anterior en la ec. (i)

=1/3 ∫ dt/ √4-t 2

=1/3 ∫ dt/ √(2) 2 -t 2

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

=1/3 sen -1 (t/2) + c [ya que ∫1/ √a 2 – x 2 dx = sen -1 (x/a) + c]

=1/3 sen -1 (3logx/2) + c

Por tanto, I =1/3 sen -1 (3logx/2) + c

Pregunta 8. Evalúa ∫ sin8x/ √9+sin 4 4x dx

Solución:

Supongamos que I =∫ sin8x/ √9+sin 4 4x dx (i)

Pon sen 2 4x = t

2sen4xcos4x (4)dx = dt

4sen8x dx = dt

sen8x dx = dt/4

Poner el valor anterior en la ec. (i)

= 1/4 ∫ dt/ √9+t 2

= 1/4 ∫ dt/ √(3) 2 +t 2

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

= 1/4 log|t +√(3) 2 +t 2 | + c [ya que ∫ 1/√a 2 +x 2 dx =log|x +√a 2 +x 2 | +c]

= 1/4 log|sen 4 4x +√(3) 2 +sen 4 4x| +c

Por lo tanto, I = 1/4 log|sen 2 4x +√9+sen 4 4x| +c

Pregunta 9. Evalúa ∫ cos2x/ √sen 2 2x+8 dx

Solución:

Supongamos que I =∫ cos2x/ √sen 2 2x+8 dx (i)

Pon sen2x = t

2cos2x dx = dt

cos2x dx = dt/2

Poner el valor anterior en la ec. (i)

=1/2 ∫ dt/ √t 2 +8

=1/2 ∫ dt/ √t 2 +(2√2) 2

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

= 1/2 log|t +√t 2 +(2√2) 2 | + c [puesto que ∫ 1/√x 2 +a 2 dx =log|x +√x 2 +a 2 | +c]

= 1/2 log|sen2x +√sen 2 2x+(2√2) 2 | +c

Por lo tanto, I = 1/2 log|sen2x +√sen 2 2x+8| +c

Pregunta 10. Evalúa ∫ sin2x/ √sin 4 x+4sin 2 x-2 dx

Solución:

Supongamos que I =∫ sin2x/ √sin 4 x+4sin 2 x-2 dx (i)

Pon sen 2 x = t

2senxcosx dx = dt

sen2x dx = dt

Poner el valor anterior en la ec. (i)

= ∫ dt/ √t 2 +4t-2

= ∫ dt/ √t 2 +2t(2)+(2) 2 -(2) 2 -2

= ∫ dt/ √(t+2) 2 -6 (ii)

Pon t+2 =u

dt = du

Poner el valor anterior en la ec. (ii)

= ∫ du/ √u 2 -6

= ∫ du/ √u 2 -(√6) 2

Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos

= log|u +√u 2 -(√6) 2 | + c [ya que ∫ 1/√x 2 -a 2 dx =log|x +√x 2 -a 2 | +c]

= log|t+2 +√(t+2) 2 -6| +c

= log|sen 2 x+2 +√(sen 2 x+2) 2 -6| +c

= log|sen 2 x+2 +√sen 4 x+4sen 2 x+4-6| +c

Por lo tanto, I = log|sen 2 x+2 +√sen 4 x+4sen 2 x-2| +c

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yogirao y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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