Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.20

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1. Evalúa: ∫(x 2 + x + 1)/(x 2 – x) dx

Solución:

Dado que I = ∫(x 2 + x + 1)/(x 2 – x) dx

= ∫ [1 + (2x + 1)/(x 2 – x)]dx

= x + ∫(2x + 1)/(x 2 – x) dx + c 1 

= x + yo 1 + c 1            …….(yo)

Ahora, yo 1 = ∫(2x + 1)/(x 2 – x) dx

Sea 2x + 1 = λ d/dx (x 2 – x) + μ = λ(2x – 1) + μ

2x + 1 = (2λ)x – λ + μ

Al comparar los coeficientes de x, obtenemos

2 = 2λ ⇒ λ = 1

-λ + μ = 1 ⇒ μ = 2

yo 1 = ∫ ((2x – 1) + 2)/(x 2 – x) dx)

= ∫(2x – 1)/(x 2 – x) dx + 2∫1/(x 2 – x) dx

= ∫(2x – 1)/(x 2 – x) dx + 2∫1/(x 2 – 2x(1/2) + (1/2) 2 – (1/2) 2 ) dx

= ∫(2x – 1)/(x 2 – x) dx + 2∫1/((x – 1/2) 2 – (1/2) 2 ) dx

= log⁡|x 2 – x| + 2 × \frac{1}{2(\frac{1}{2})} log⁡|\frac{(x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})}{(x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}|+c_1       

Como sabemos que ∫1/(x 2 – a 2 ) dx = 1/2a log⁡|(x – a)/(x + a)| +c

Entonces, yo 1 = log⁡|x 2 – x| + 2log⁡|(x – 1)/x| + c 2      ……(ii)

Ahora ponga el valor de I 1 en eq(i), obtenemos

yo = x + log⁡|x 2 – x| + 2log⁡|(x – 1)/x| +c

Pregunta 2. ∫ (x 2 + x – 1)/(x 2 + x – 6) dx

Solución:

Dado que I = ∫ (x 2 + x – 1)/(x 2 + x – 6) dx

= ∫[1 + 5 /(x 2 + x – 6)]dx

yo = x + ∫5/(x 2 + x – 6) dx + c 1   

Supongamos que I 1 = 5∫1/(x 2 + x – 6) dx

yo = x + yo 1 + c 1      …..(yo)

= 5∫ 1/(x 2 + 2x(1/2) + (1/2) 2 – (1/2) 2 – 6) dx

= 5∫ 1/((x + 1/2) 2 – (5/2) 2 dx

= 5 1/2(5/2) log⁡|(x + 1/2 – 5/2)/(x + 1/2 + 5/2)| + do 2  

Como sabemos que ∫ 1/(x 2 – a 2 ) dx = 1/2a log⁡|(x – a)/(x + a)| +c

Entonces, obtenemos

yo 1 = log⁡|(x – 2)/(x + 3)| + c 2       …….(ii)

Ahora ponga el valor de I 1 en eq(i), obtenemos

yo = x + log⁡|(x – 2)/(x + 3)| +c

Pregunta 3. ∫ (1 – x 2 )/(x(1 – 2x)) dx

Solución:

Dado que I = ∫ (1 – x 2 )/(x(1 – 2x)) dx

= ∫ (1 – x 2 )/(x – 2x 2 ) dx

= ∫ (x 2 – 1)/(2x 2 – x) dx

= ∫ [1/2 + (x/2 – 1)/(2x 2 – x)]dx

yo = 1/2x + ∫(x/2 – 1)/(2x 2 – x) dx + c 1

Supongamos que I 1 = ∫(x/2 – 1)/(2x 2 – x) dx

Entonces, yo = 1/2x + yo 1 + c 1      …..(i)

Ahora, sea x/2 -1 = λ d/dx (2x 2 – x) + μ = λ(4x – 1) + μ

x/2 – 1 = (4λ)x – λ + μ

Al comparar los coeficientes de x, obtenemos

1/2 = 4λ ⇒ λ = 1/8

-λ + μ = -1 ⇒ -(1/8) + μ = -1

µ = -7/8

yo 1 = ∫ (1/8(4x – 1) – 7/8)/(2x 2 – x) dx

= 1/8 ∫(4x – 1)/(2x 2 – x) dx – 7/8 ∫1/2(x 2 – x/2)dx

= 1/8 ∫(4x – 1)/(2x 2 – x) dx – 7/16 ∫1/(x 2 – 2x(1/4) + (1/4) 2 – (1/4) 2 ) dx

= 1/8 ∫(4x – 1)/(2x 2 – x) dx – 7/16 [1/((x – 1/4) 2 – (1/4) 2 ) dx

= 1/8 log⁡|2x 2 – x| – 7/16 × 1/2(1/4) log⁡|(x – 1/4 – 1/4)/(x – 1/4 + 1/4)| + do 2 

Como sabemos que ∫ 1/(x 2 – a 2 ) dx = 1/2a log⁡|(x – a)/(x + a)| +c

Entonces, obtenemos

yo 1 = 1/8 log⁡|x| + 1/8 log⁡|2x – 1| – 7/8 log⁡|1 – 2x| + 7/8 log⁡2 + 7/8 log⁡|x| + do 2   

yo 1 = log⁡|x| – 3/4 log⁡|1 – 2x| + c 3        [Aquí, c 3 = c 2 + 7/8 log⁡2]

Ahora ponga el valor de I 1 en eq(i), obtenemos

yo = 1/2x + log⁡|x| – 3/4 log⁡|1 – 2x| +c

Pregunta 4. ∫(x 2 + 1)/(x 2 – 5x + 6)dx

Solución:

Dado que I = ∫(x 2 + 1)/(x 2 – 5x + 6)dx

Ahora convertimos I en función racional propia dividiendo x 2 + 1 por x 2 – 5x + 6

Asi que, 

(x 2 + 1)/(x 2 – 5x + 6) = 1 + (5x – 5)/(x 2 – 5x + 6) = 1 + (5x – 5)/((x – 2)(x – 3))

Dejar

(5x – 5)/((x – 2)(x – 3)) = A/(x – 2) + B/(x – 3)

Entonces, obtenemos A + B = 5 y 3A + 2B = 5

Al resolver ambas ecuaciones obtenemos A = -5 y B = 10 

Asi que, \frac{(x^2 + 1)}{(x^2 - 5x + 6)} = 1 - \frac{5}{(x-2)} + \frac{10}{(x - 3)}

Por lo tanto, ∫(x 2 + 1)/((x + 1) 2 (x + 3)) dx =∫dx – 5∫1/(x – 2) dx + 10∫x/(x – 3)

yo = x – 5log⁡|x – 2| + 10log⁡|x – 3| +c

Pregunta 5. ∫x 2 /(x 2 + 7x + 10) dx

Solución:

Dado que I = ∫x 2 /(x 2 + 7x + 10) dx

= ∫ {1 – (7x + 10)/(x 2 + 7x + 10)}dx

yo = x – ∫(7x + 10)/(x 2 + 7x + 10) dx + c 1

Supongamos que I 1 = ∫(7x + 10)/(x 2 + 7x + 10) dx 

Entonces, yo = x – yo 1 + c 1      …..(i)

Ahora supongamos 7x + 10 = λ d/dx (x 2 + 7x + 10) + μ = λ(2x + 7) + μ

7x + 10 = (2λ)x + 7λ + μ

Al comparar los coeficientes de x, obtenemos

7 = 2λ ⇒ λ = 7/2

7λ + μ = 10 ⇒ 7(7/2) + μ = 10μ = -29/2

 Entonces, yo 1 = ∫(7/2(2x + 7) – 29/2)/(x 2 + 7x + 10) dx

= 7/2 ∫((2x + 7))/(x 2 + 7x + 10) dx – 29/2∫1/(x 2 + 2x(7/2) + (7/2) 2 – (7/ 2) 2 + 10) dx

= 7/2 ∫(2x + 7)/(x 2 + 7x + 10) dx – 29/2 {1/((x + 7/2) 2 – (3/2) 2 ) dx

= 7/2 log⁡|x 2 + 7x + 10| – 29/2 × 1/2(3/2) log⁡|(x + 7/2 – 3/2)/(x + 7/2 + 3/2)| + do 2 

Como sabemos que ∫ 1/(x 2 – a 2 ) dx = 1/2a log⁡|(x – a)/(x + a)| +c

Entonces, obtenemos

yo 1 = 7/2 log⁡|x 2 + 7x + 10| – 29/6 log⁡|(x + 2)/(x + 5)| + do 2

Ahora ponga el valor de I 1 en eq(i), obtenemos

yo = x – 7/2 log⁡|x 2 + 7x + 10| + 29/6 log⁡|(x + 2)/(x + 5)| +c

Pregunta 6. ∫(x 2 + x + 1)/(x 2 – x + 1) dx

Solución:

Dado que l = ∫(x 2 + x + 1)/(x 2 – x + 1) dx

= ∫[1 + 2x/(x 2 – x + 1)]dx

= x + ∫2x/(x 2 – x + 1) dx + c 1  

Supongamos que I 1 = ∫2x/(x 2 – x + 1) dx

Entonces, yo = x + yo 1 + c 1      …..(i)

Ahora sea 2x = λ d/dx (x 2 – x + 1) + μ = λ(2x – 1) + μ

2x = (2λ) × -λ + μ

Al comparar los coeficientes de x, obtenemos

2 = 2λ ⇒ λ = 1

-λ + μ = 0 ⇒ -1 + μ = 0

µ = 1

Entonces, yo 1 = ∫((2x – 1) + 1)/(x 2 – x + 1) dx

= ∫((2x – 1))/(x 2 – x + 1) dx + ∫1/(x 2 – 2x(1/2) + (1/2) 2 – (1/2) 2 + 1) dx

= ∫(2x – 1)/(x 2 – x + 1) dx + ∫1/((x – 1/2) 2 + (√3/2) 2 ) dx

= log⁡|x 2 – x + 1| + 2/√3 bronceado -1 ⁡((x – 1/2)/(√3/2)) + c 2  

Como sabemos que, ∫1/(x 2 + a 2 ) dx = 1/a tan -1 ⁡(x/a) + c

Entonces, obtenemos

yo 1 = log⁡|x 2 – x + 1| + 2/√3 bronceado -1 ⁡((2x – 1)/√3) + c 2

Ahora ponga el valor de I 1 en eq(i), obtenemos

yo = x + log⁡|x 2 – x + 1| + 2/√3 tan -1 ⁡((2x – 1)/√3) + c

Pregunta 7. ∫(x – 1) 2 /(x 2 + 2x + 2) dx

Solución :

Dado que, I = ∫(x – 1) 2 /(x 2 + 2x + 2) dx

= ∫(x 2 – 2x + 1)/(x 2 + 2x + 2) dx

= ∫[1 – (4x + 1)/(x 2 + 2x + 2)]dx

= x – ∫(4x + 1)/(x 2 + 2x + 2) dx + c 1

Supongamos que l 1 = ∫(4x + 1)/(x 2 + 2x + 2) dx

Entonces, yo = x – yo 1 + c 1      …..(i)

Ahora, sea 4x + 1 = λ d/dx (x 2 + 2x + 2) + μ

= λ(2x + 2) + μ = (2k)x + (2λ + μ)

Al comparar los coeficientes de x, obtenemos

4 = 2λ ⇒ λ = 2

2λ + μ = 1 ⇒ 2(2) + μ = 1

µ = -3

l 1 = ∫ (2(2x + 2) – 3)/(x 2 + 2x + 2) dx

= 2∫ ((2x + 2))/(x 2 + 2x + 2) dx – 3∫1/(x 2 – 2x + (1) 2 – (1) 2 + 2) dx

= 2∫ (2x + 2)/(x 2 + 2x + 2) dx – 3∫1/((x + 1) 2 + (1) 2 ) dx

Como sabemos que, ∫1/(x 2 + 1) dx = tan -1 ⁡x + c 

Entonces, obtenemos

l 1 = 2log⁡|x 2 + 2x + 2| – 3tan -1 ⁡ (x + 1) + c 2                       

Ahora ponga el valor de I 1 en eq(i), obtenemos

yo = x – 2log⁡|x 2 + 2x + 2| + 3tan -1 ⁡ (x + 1) + do

Pregunta 8. ∫(x 3 + x 2 + 2x + 1)/(x 2 – x + 1) dx

Solución:

Dado que, I = ∫(x 3 + x 2 + 2x + 1)/(x 2 – x + 1) dx

= ∫[x + 2 + (3x – 1)/(x 2 – x + 1)]dx

= x 2 /2 + 2x + ∫(3x. -1)/(x 2 – x + 1) dx + c 1

Supongamos que l 1 = ∫(3x – 1)/(x 2 – x + 1) dx

Entonces, yo = x 2 /2 + 2x + yo 1 + c 1      …..(i)

Ahora, sea 3x – 1 = λ d/dx (x 2 – x + 1) + μ = λ(2x – 1) + μ

3x – 1 = (2λ)x – λ + μ

Al comparar los coeficientes de x, obtenemos

3 = 2λ ⇒ λ = 3/2

-λ + μ = -1 ⇒ -(3/2) + μ = -1

µ = 1/2

Entonces, yo 1 = ∫(3/2(2x – 1) + 1/2)/(x 2 – x + 1) dx

= 3/2 ∫ ((2x – 1))/(x 2 – x + 1) dx + 1/2 ∫1/(x 2 – 2x(1/2) + (1/2) 2 – (1/ 2) 2 + 1) dx

= 3/2 ∫ (2x – 1)/(x 2 – x + 1) dx + 1/2 ∫1/((x + 1/2) 2 + (√3/2) 2 ) dx

= 3/2 log⁡|x 2 – x + 1| + 1/2 × 2/√3 bronceado -1 ⁡((x + 1/2)/(√3/2)) + c 2 

Como sabemos que, ∫1/(x 2 + a 2 ) dx = 1/a tan -1 (x/a) + c

Entonces, obtenemos

yo 1 = 3/2 log⁡|x 2 – x + 1| + 1/√3 bronceado -1 ⁡((2x + 1)/√3) + c 2

Ahora ponga el valor de I 1 en eq(i), obtenemos

yo = x 2 /2 + 2x + 3/2 log⁡|x 2 – x + 1| + 1/√3 tan -1 ⁡((2x + 1)/√3) + c

Pregunta 9. ∫(x 2 (x 4 + 4))/(x 2 + 4) dx

Solución:

Dado que, I = ∫(x 2 (x 4 + 4))/((x 2 + 4)) dx

= ∫ (x 6 + 4x 2 )/((x 2 + 4)) dx

= ∫ [x 4 – 4x 2 + 20 – 80/(x 2 + 4)]dx

= x 5 /5 – (4x 3 )/3 + 20x – 80 ∫1/(x 2 + 4) dx + c 1

Supongamos que I 1 = ∫1/(x 2 + 4) dx

Entonces, yo = x 5 /5 – (4x 3 )/3 + 20x – 80I 1 + c 1      …..(i)

Ahora, yo 1 = ∫1/(x 2 + (2) 2 ) dx

Como sabemos que, ∫1/(x 2 + a 2 ) dx = 1/a tan -1 ⁡(x/a) + c

Entonces, obtenemos

yo 1 = 1/2 bronceado -1 ⁡(x/2) + c 2 

Ahora ponga el valor de I 1 en eq(i), obtenemos

yo = x 5 /5 – (4x 3 )/3 + 20x – 80/2 tan -1 ⁡(x/2) + c

I = x 5 /5 – (4x 3 )/3 + 20x – 40tan -1 (x/2) + c

Pregunta 10. ∫ x 2 /(x 2 + 6x + 12) dx

Solución :

Dado que, l = ∫ x 2 /(x 2 + 6x + 12) dx

= ∫ [1 – (6x + 12)/(x 2 + 6x + 12)]dx

= x – ∫(6x + 12)/(x 2 + 6x + 12) dx + c 1

Supongamos que I 1 = ∫(6x + 12)/(x 2 + 6x + 12) dx

Entonces, yo = x – yo 1 + c 1      …..(i)

Ahora, sea 6x + 12 = λ d/dx (x 2 + 6x + 12) + μ = λ(2x + 6) + μ

6x + 12 = (2λ)x + 6λ + μ

Al comparar los coeficientes de la potencia de x, obtenemos

6 = 2λ ⇒ λ = 3

6λ + μ = 12

 6(3) + μ = 12

µ = -6

Entonces, l 1 = ∫(3(2x + 6) – 6)/(x 2 + 6x + 12) dx

=3∫ ((2x + 6))/(x 2 + 6x + 12) dx – 6∫1/(x 2 + 2x(3) + (3) 2 – (3) 2 + 12) dx

= 3∫ (2x + 6)/(x 2 + 6x + 12) dx + 6∫1/((x + 3) 2 + (√3) 2 ) dx

Como sabemos que, ∫1/(x 2 + a 2 ) dx = 1/2 tan -1 ⁡(x/a) + c

Entonces, obtenemos

yo 1 =3log⁡|x 2 + 6x + 12| + 6/√3 tan -1 ⁡((x + 3)/√3) + c 2                   

yo 1 = 3log⁡|x 2 + 6x + 12| + 2√3 bronceado -1 ⁡((x + 3)/√3) + c 2

Ahora ponga el valor de I 1 en eq(i), obtenemos

l = x – 3log⁡|x 2 + 6x + 12| + 2√3 tan -1 ((x + 3)/√3) + c

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anandchaturvedirishra y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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