Pregunta 9. Evalúa ∫ 1/ cosx+senx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ cosx+senx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2
cosx = 1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)
= ∫ 1/ {1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 x/2} + {2tan(x/2)/1+tan 2 x/2} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 2tan(x/2)+1-tan 2 (x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 2tan(x/2)+1-tan 2 (x/2) dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ 2dt/ 2t+1-t 2
= -∫ 2dt/ t 2 -2t-1
= -∫ 2dt/ t 2 -2t+1-1-1
= -∫ 2dt/ (t-1) 2 -(√2) 2
= ∫ 2dt/ (√2) 2 -(t-1) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 2/(2√2) log|√2+t-1/√2-t+1| +c
Por lo tanto, I = 1/√2 log|√2+tanx/2-1/ √2-tanx/2+1| +c
Pregunta 10. Evalúa ∫ 1/ 5-4cosx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 5-4cosx dx
Ponga cosx = 1-tan 2 (x/2)/ 1+tan 2 (x/2)
= ∫1/ 5-4{1-tan 2 (x/2)/ 1+tan 2 (x/2)} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 5(1+tan 2 x/2)-4(1-tan 2 x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 5+5tan 2 x/2-4+4tan 2 x/2 dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 9tan 2 x/2+1 dx (i)
Sea 3tanx/2 = t
3/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= 2/3 ∫ dt/ t 2 +1
Al integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 2 × 1/3tan -1 t +c
= 2/3 bronceado -1 {3 bronceado(x/2)} +c
Por tanto, yo = 2/3 tan -1 {3tan(x/2)} +c
Pregunta 11. Evalúa ∫ 1/ 2+senx+cosx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 2+senx+cosx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2
cosx = 1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)
= ∫ 1/ 2+{2tan(x/2)/1+tan 2 x/2} + {1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 x/2} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 2+2tan 2 (x/2)+2tan(x/2)+1-tan 2 (x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ tan 2 x/2+2tanx/2+3 dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ 2dt/ t 2 +2t+3
= ∫ 2dt/ t 2 +2t+1-1+3
= 2∫ dt/ (t+1) 2 +(√2) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 2/√2 tan -1 (t+1/ √2) +c
Por lo tanto, I = √2tan -1 (tanx/2+1/ √2) +c
Pregunta 12. Evalúa ∫ 1/ senx+√3cosx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ senx+√3cosx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2
cosx = 1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)
= ∫ 1/ {2tan(x/2)/1+tan 2 x/2}+√3{1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 x/2} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 2tan(x/2)+√3-√3tan 2 (x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 2tan(x/2)+√3-√3tan 2 (x/2) dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ 2dt/ 2t+√3-√3t 2
= -2/√3 ∫ dt/ t 2 -2/√3t+(1/√3) 2 -(1/√3) 2 -1
= -2/√3 ∫ dt/ (t-1/√3) 2 -(2/√3) 2
= 2/√3 ∫ dt/ (2/√3) 2 -(t-1/√3) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 2/√3 x 1/2(2/√3) log|2/√3+t+1/√3/ 2/√3-t+1/√3| +c
= 1/2 log|√3t+1/ 3-√3t|+c
Por lo tanto, I = 1/2 log|1+√3+tanx/2/ 3-√3tanx/2| +c
Pregunta 13. Evalúa ∫ 1/ √3senx+cosx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ √3senx+cosx dx
√3 = rcosθ, y 1=rsenθ
tanθ=1/√3
θ = π/6
r = √3+1=2
I = ∫ 1/ rcosθsenx+rsenθcosx dx
= 1/r ∫ 1/ sin(x+θ) dx
= 1/2 ∫ cosec(x+θ) dx
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/2 log|tan(x/2+θ/2)| +c
Por lo tanto, I = 1/2 log|tan(x/2+π/12)| +c
Pregunta 14. Evalúa ∫ 1/ senx-√3cosx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ senx-√3cosx dx
1 = rcosθ, y √3=rsenθ
tanθ=√3
θ = π/3
r = √3+1=2
I = ∫ 1/ rcosθsenx-rsinθcosx dx
= 1/r ∫ 1/ sin(x-θ) dx
= 1/2 ∫ cosec(x-θ) dx
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/2 log|tan(x/2-θ/2)| +c
Por lo tanto, I = 1/2 log|tan(x/2-π/6)| +c
Pregunta 15. Evalúa ∫ 1/ 5+7cosx+senx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 5+7cosx+senx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2
cosx = 1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)
= ∫ 1/ 5+7{1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)} + {2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 5(1+tan 2 x/2)+7-7tan 2 (x/2)+2tan(x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ -2tan 2 x/2+12+2tanx/2 dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ 2dt/ -2t 2 +12+2t
= -∫ dt/ t 2 -t-6
= – ∫ dt/ t 2 -2t(1/2)+(1/2) 2 -(1/2) 2 -6
= – ∫ dt/ (t-1/2) 2 -(5/2) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= -1/2(5/2) log|t-1/2-5/2/ t-1/2+5/2| +c
= -1/5 log|t-3/ t+2| +c
Por lo tanto, I = 1/5 log|tanx/2+2/ tanx/2-3| +c