Pregunta 1. Evalúa ∫ 1/ 5+4cosx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 5+4cosx dx
Ponga cosx = 1-tan 2 (x/2)/ 1+tan 2 (x/2)
= ∫1/ 5+4{1-tan 2 (x/2)/ 1+tan 2 (x/2)} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 5(1+tan 2 x/2)+4(1-tan 2 x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 5+5tan 2 x/2+4-4tan 2 x/2 dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 9+tan 2 x/2 dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ 2dt/ (3) 2 +t 2
Al integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 2 × 1/3tan -1 t/3 +c
= 2/3 bronceado -1 {bronceado(x/2)/3} +c
Por tanto, yo = 2/3 tan -1 {tan(x/2)/3} +c
Pregunta 2. Evalúa ∫ 1/ 5-4senx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 5-4senx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 (x/2)
= ∫1/ 5-4{2tan(x/2)/ 1+tan 2 (x/2)} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 5(1+tan 2 x/2)-4(2tanx/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 5+5tan 2 x/2-8tanx/2 dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ 2dt/ 5t 2 -8t+5
= 2/5 ∫ dt/ t 2 -(8/5)t+1
= 2/5 ∫ dt/ t 2 -2t(4/5)+(4/5) 2 -(4/5) 2 +1
= 2/5 ∫ dt/ (t-4/5) 2 +(3/5) 2
Al integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 2/5 × 1/(3/5)tan -1 {t-(4/5)/ (3/5)} +c
= 2/3 tan -1 (5t-4)/ 3 +c
Por tanto, I = 2/3 tan -1 (5tanx/2-4)/ 3 +c
Pregunta 3. Evalúa ∫ 1/ 1-2senx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 1-2senx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 (x/2)
= ∫1/ 1-2{2tan(x/2)/ 1+tan 2 (x/2)} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 1(1+tan 2 x/2)-2(2tanx/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ tan 2 x/2-4tanx/2+1 dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ 2dt/ t 2 -4t+1
= ∫ 2dt/ t 2 -2t(2)+(2) 2 -(2) 2 +1
= 2∫ dt/ (t-2) 2 +3
= 2∫ dt/ (t-2) 2 +(√3) 2
Al integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 2 × 1/2√3log|t-2-√3/ t-2+√3| +c
= 2 × 1/2√3log|tanx/2-2-√3/ tanx/2-2+√3| +c
Por lo tanto, I = 2 × 1/2√3log|tanx/2-2-√3/tanx/2-2+√3| +c
Pregunta 4. Evalúa ∫ 1/ 4cosx-1 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 4cosx-1 dx
Ponga cosx = 1-tan 2 (x/2)/ 1+tan 2 (x/2)
= ∫1/ 4{1-tan 2 (x/2)/ 1+tan 2 (x/2)}-1 dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 4(1-tan 2 x/2)-(1+tan 2 x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 4-4tan 2 x/2+1-tan 2 x/2 dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 3-5tan 2 x/2 dx (i)
Sea √5tanx/2 = t
√5/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ dt/ (√3) 2 +t 2
Al integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/√15 log|√3+t/√3-t|
Por lo tanto, I = 1/√15 log|√3+√5tan(x/2)/√3-√5tan(x/2)|
Pregunta 5. Evalúa ∫ 1/ 1-senx+cosx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 1-senx+cosx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2
cosx = 1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)
= ∫ 1/ 1-{2tan(x/2)/1+tan 2 x/2} + {1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 x/2} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 1+tan(x/2)-2tan(x/2)+1-tan 2 (x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 2-2tanx/2 dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= 2/2 ∫ dt/ 1-t
= ∫ dt/ 1-t
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= -registro|1-t| +c
Por lo tanto, I = -log|1-tanx/2| +c
Pregunta 6. Evalúa ∫ 1/ 3+2senx+cosx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 3+2senx+cosx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2
cosx = 1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)
= ∫ 1/ 3+2{2tan(x/2)/1+tan 2 x/2} + {1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 x/2} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 3+3tan 2 (x/2)+4tan(x/2)+1-tan 2 (x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 2tan 2 x/2+4tanx/2+4 dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= 2/2 ∫ dt/ t 2 +2t+2
= ∫ dt/ t 2 +2t+1-1+2
= ∫ dt/ (t+1) 2 +1 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= bronceado -1 (t+1) +c
Por lo tanto, I = tan -1 (tanx/2+1) +c
Pregunta 7. Evalúa ∫ 1/ 13+3cosx+4senx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ 13+3cosx+4senx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2
cosx = 1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)
= ∫ 1/ 13+3{1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)} + 4{2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 13(1+tan 2 x/2)+3-3tan 2 (x/2)+8tan(x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 16+13tan 2 x/2-3tan 2 x/2+8tanx/2 dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= 2/10 ∫ dt/ 16+10t 2 +8t
= 1/5 ∫ dt/ t 2 +(4/5)t+8/5
= 1/5 ∫ dt/ t+2t(2/5) 2 +(2/5) 2 -(2/5) 2 +8/5
= 1/5 ∫ dt/ (t+2/5) 2 +(6/5) 2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 1/5 × 1/(6/5)tan -1 (t+(2/5)/ (6/5)) +c
= 1/6 tan -1 (5t+2/ 6) +c
Por lo tanto, I = 1/6 tan -1 (5tanx/2+2/ 6) +c
Pregunta 8. Evalúa ∫ 1/ cosx-senx dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ cosx-senx dx
Pon senx = 2tan(x/2)/ 1+tan 2 x/2
cosx = 1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 (x/2)
= ∫ 1/ {1-tan 2 (x/2)/1+tan 2 x/2} – {2tan(x/2)/1+tan 2 x/2} dx
= ∫ 1+tan 2 (x/2)/ 1-tan 2 (x/2)-2tan(x/2) dx
= ∫ seg 2 (x/2)/ 1-tan 2 (x/2)-2tan(x/2) dx (i)
Sea tanx/2 = t
1/2 seg 2 x/2 dx = dt
Poner el valor anterior en la ec. (i)
= ∫ 2dt/ 1-t 2 -2t
= -∫ 2dt/ t 2 +2t-1
= -∫ 2dt/ t 2 +2t+1-1-1
= -∫ 2dt/ (t+1) 2 -(√2) 2
= ∫ 2dt/ (√2) 2 -(t+1)2
Integrar la ecuación anterior. entonces, obtenemos
= 2/(2√2) log|√2+t+1/√2-t-1| +c
Por lo tanto, I = 1/√2 log|√2+tanx/2+1/ √2-tanx/2-1| +c