Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.25 | conjunto 2

Evalúa las siguientes integrales:

Pregunta 21. ∫(log⁡x) ² x dx

Solución:

Dado que, I = ∫(log⁡x) ² x dx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = (log⁡x) ² ∫xdx – ∫(2(log⁡x)(1/x) ∫xdx)dx

= x ² /2(log⁡x) ² – 2∫(log⁡x)(1/x)(x ² /2)dx

= x ² /2(log⁡x) ² – ∫x(log⁡x)dx

= x ² /2(log⁡x) ² – [log⁡x∫xdx – ∫ (1/x ∫xdx)dx]

= x ² /2(log⁡x) ² – [x ² 2/2 log⁡x – ∫(1/x × x ² /2)dx]

= x ² /2(log⁡x) ² – x ² /2 log⁡x + 1/2 ∫xdx

= x ² /2(log⁡x) ² – x ² /2 log⁡x + 1/4 x ² + c

Por lo tanto, yo = x ² /2 [(log⁡x) ² – log⁡x + 1/2] + c

Pregunta 22. ∫e ^√x dx

Solución :

Dado que, I = ∫ e ^√x dx

 Supongamos, √x = t

x = t ²

dx = 2tdt

yo = 2∫ mi ^t tdt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = 2[t∫e ^t dt – ∫(1∫e ^t dt)dt]

= 2[te ^t – ∫e ^t dt]

= 2[te ^t – e ^t ] + c

= 2e ^t (t – 1) + c

Por lo tanto, yo = 2e ^√x (√x – 1) + c

Pregunta 23. ∫(log⁡(x + 2))/((x + 2) ² ) dx

Solución:

Dado que, I = ∫(log⁡(x + 2))/((x + 2) ² ) dx

 Supongamos (1/(x + 2) = t

-1/((x + 2) ² ) dx = dt

yo = -∫log⁡(1/t)dt

= -∫log⁡t ^-1 dt

= -∫1 × log⁡tdt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = log⁡t∫dt – ∫(1/t ∫dt)dt

= tlog⁡t – ∫(1/t × t)dt

= tlog⁡t – ∫dt

= tlog⁡t – t + c

= 1/(x + 2) (log⁡(x + 2) ^-1 – 1) + c

Por lo tanto, yo = (-1)/(x + 2) – (log⁡(x + 2))/(x + 2) + c

Pregunta 24. ∫(x + sen⁡x)/(1 + cos⁡x) dx

Solución:

Dado que, I = ∫(x + sin⁡x)/(1 + cos⁡x) dx

= ∫x/(2cos ² x/2) dx + ∫(2sen⁡x/2 cos⁡x/2)/(2cos ² ⁡x/2) dx

= 1/2 ∫xsec ² ⁡x/2 dx + ∫tan⁡x/2 dx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= 1/2 [x∫seg ² x/2 dx – ∫(1∫ seg²x/2 dx)dx] + ∫tan⁡x/2 dx

= 1/2 [2xtan⁡x/2 – 2∫tan⁡x/2 dx] + ∫tan⁡x/2 dx + c

= xtan⁡x/2 – ∫tan⁡x/2 dx + ∫tan⁡x/2 dx+c

Por lo tanto, yo = xtan⁡x/2 + c

Pregunta 25. ∫log ₁₀ xdx

Solución:

Dado que, I = ∫log ₁₀ ⁡xdx

= ∫(log⁡x)/(log⁡10) dx

= 1/(log⁡10) ∫1 × log⁡xdx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= 1/(log⁡10) [log⁡x∫dx – ∫(1/x ∫dx)dx]

= 1/(log⁡10) [xlog⁡x – ∫(x/x)dx]

= 1/(log⁡10)[xlog⁡x – x]

Por lo tanto, yo = (x/(log⁡10)) × (log⁡x – 1) + c

Pregunta 26. ∫cos⁡√x dx

Solución:

Dado que, I = ∫cos⁡√x dx

Supongamos, √x = t

x = t ²

dx = 2tdt

= ∫2tcos⁡tdt

yo = 2∫tcos⁡tdt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = 2[t]cos⁡tdt – ∫(1 ∫cos⁡tdt)dt]

= 2[tsin⁡t – ∫sin⁡tdt]

= 2[tsin⁡t + costo⁡t] + c

Por lo tanto, yo = 2[√x sen⁡√x + cos√x] + c

Pregunta 27. ∫(xcos ^-1 x)/√(1 – x ² ) dx

Solución:

Dado que, I = ∫(xcos ^-1 x)/√(1 – x ² ) dx

Supongamos, t = cos ^-1 ⁡x

dt = (-1)/√(1 – x ² ) dx

Además, costo = x

yo = -∫tcos⁡tdt

Ahora, usando la integración por partes,       

Entonces deja

tu = t;

du = dt

∫cos⁡tdt = ∫dv

sen⁡t = v

Por lo tanto,

 yo = -[tsint – ∫sin⁡tdt]

= -[tsint + costo⁡t] + c

Al sustituir el valor t = cos ^-1 x obtenemos,

 yo = -[cos ^-1 ⁡xsen⁡t + x] + c

Por lo tanto, yo = -[cos ^-1 ⁡x√(1 – x²) + x] + c

Pregunta 28. ∫cosec ³ xdx

Solución:

Dado que, I =∫cosec ³ xdx

 =∫cosec⁡x × cosec ² xdx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= cosec⁡x × ∫cosec ² xdx + ∫(cosec⁡xcot⁡x]cosec ² xdx)dx

= cosecx × (-cot⁡x) + ∫cosec⁡xcot⁡x(-cot⁡x)dx

= -cosec⁡xcot⁡x – ∫cosecx⁡cot ² ⁡xdx

= -cosec⁡xcot⁡x – ∫cosec⁡x(cosec ² x – 1)dx

= -cosec⁡xcot⁡x – ∫cosec ³ xdx + ∫cosecxd⁡x

yo = -cosec⁡xcot⁡x – yo + log⁡|tan⁡x/2| + do ₁

2l = -cosec⁡xcot⁡x + log⁡|tan⁡x/2| + do ₁

Por lo tanto, I = -1/2cosecx⁡cot⁡x + 1/2 log⁡|tan⁡x/2| +c

Pregunta 29. ∫sec ^-1 √x dx

Solución:

Dado que, I = ∫sec ^-1 ⁡√x dx

 Supongamos, √x = t

x = t ²

dx = 2tdt

yo = ∫2tsec ^-1 ⁡tdt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= 2[seg ^-1 ⁡t∫tdt – ∫(1/(t√(t ² -1))∫tdt)dt]

= 2[t ² /2 seg ^-1 – ∫(t/(2t√(t ² – 1)))dt]

= t ² seg ^-1 ⁡t – ∫t/√(t ² – 1) dt

= t ² seg ^-1 ⁡t – 1/2∫2t/√(t ² – 1) dt

= t ² seg ^-1 ⁡t – 1/2 × 2√(t ² – 1) + c

Por lo tanto, yo = xsec ^-1 ⁡√x – √(x – 1) + c

Pregunta 30. ∫sen ^-1 √x dx

Solución :

Dado que, I = ∫sen ^-1 ⁡√x dx 

Supongamos, x = t

dx = 2tdt

∫sen ^-1 √x dx = ∫sen ^-1 ⁡√(t ² ) 2tdt

= ∫sen ^-1 ⁡t2tdt

= sin⁡ ^-1 t∫2tdt – (∫(dsin ^-1 ⁡t)/dt (∫2tdt)dt

= sin ^-1 ⁡t(t ² ) – ∫1/√(1 – t ² ) (t ² )dt

Ahora, resolvamos ∫1/√(1 – t ² ) (t ² )dt

∫1/√(1 – t ² ) (t ² )dt = ∫(t ² – 1 + 1)/√(1 – t ² ) dt

= ∫(t ² – 1)/√(1 – t ² ) dt + ∫1/√(1 – t ² ) dt

Como sabemos, el valor de ∫1/√(1 – t ² ) dt = sin ^-1 ⁡t

Entonces, la integral restante para evaluar es 

∫(t ² – 1)/√(1 – t ² ) dt= ∫-√(1 – t ² ) dt

Ahora, sustituimos, t = sin⁡u, dt = cos⁡udu, gte

∫-√(1 – t ² ) dt = ∫-cos ² udu = -∫[(1 + cos⁡2u)/2]du

= -u/2-(sen⁡2u)/4

Ahora reemplazamos u = sen ^-1 x y t = √x, obtenemos

= -(sen ^-1 √x)/2 – (sen⁡(2sen ^-1 ⁡√x))/4

∫sen ^-1 √x dx = xsen ^-1 ⁡√x-(sen ^-1 ⁡√x)/2 – (sen⁡(2sen ^-1 √x))/4

sen⁡(2sen ^-1 ⁡√x) = 2√x √(1 – x)

Por lo tanto, yo = xsin ^-1 ⁡√x – (sin ^-1 ⁡√x)/2 – √(x(1 – x))/2 + c

Pregunta 31. ∫xtan ² ⁡xdx

Solución:

Dado que, I =∫xtan ² ⁡xdx

 = ∫x(seg ² x – 1)dx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

 = ∫xsec8xdx – ∫xdx

 = [x∫seg ² xdx – ∫(1∫seg ² xdx)dx] – x ² /2

 = xtan⁡x – ∫tan⁡xdx – x ² /2

Por lo tanto, I = xtan⁡x – log⁡|sec⁡x| – x ² /2 + c

Pregunta 32. ∫ x((seg⁡2x – 1)/(seg⁡2x + 1))dx

Solución:

Dado que, I = ∫ x((sec⁡2x – 1)/(sec⁡2x + 1))dx

= ∫x((1 – cos⁡2x)/(1 + cos⁡2x))dx

= ∫x((seg ² ⁡x)/(cos ² ⁡x))dx

= ∫xtan ² xdx

= ∫x(seg ² ⁡x – 1)dx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= ∫xseg ² xdx – ∫dx

= [x∫seg ² ⁡xdx – ∫(1∫seg ² xdx)dx] – x ² /2

= xtan⁡x – ∫tan⁡xdx – x ² /2

= xtan⁡x – log|secx| – x ² /2 + c

Por lo tanto, I = xtan⁡x – log|secx| – x ² /2 + c

Pregunta 33. ∫(x + 1)e ^x log⁡(xe ^x )dx

Solución:

Dado que, I = ∫(x + 1)e ^x log⁡(xe ^x )dx

Supongamos, xe ^x = t

(1 × e ^x + xe ^x )dx = dt

(x + 1)e ^x dx = dt

yo = ∫log⁡tdt

= ∫1 × log⁡tdt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= log⁡t∫dt – ∫(1/t∫dt)dt

= tlog⁡t – ∫(1/t × t)dt

= tlog⁡t – ∫dt

= tlog⁡t – t + c

= t(log⁡t – 1) + c

Por lo tanto, yo = xe ^x (log⁡xe ^x – 1) + c

Pregunta 34. ∫sen ^-1 (3x – 4x ³ )dx

Solución:

Dado que, I = ∫sen ^-1 (3x – 4x ³ )dx

Supongamos, x = sin⁡θ

dx = cos⁡θdθ

= ∫sen ^-1 ⁡(3sen⁡θ – 4sen ³ ⁡θ)cos⁡θdθ

= ∫sen ^-1 (sen⁡3θ)cos⁡θdθ

= ∫3θcos⁡θdθ

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= 3[θ]cos⁡θdθ – ∫(1∫cos⁡θdθ)dθ]

= 3[θsin⁡θ – ∫sin⁡θdθ]

= 3[θsin⁡θ + cos⁡θ] + c

Por lo tanto, yo = 3[xsen ^-1 ⁡x + √(1 – x ² )] + c)

Pregunta 35. ∫sen ^-1 (2x/(1 + x ² ))dx.

Solución:

Dado que, I = ∫sen ^-1 (2x/(1 + x ² ))dx

Supongamos, x = tan⁡θ

dx = segundo ² ⁡θdθ

sin ^-1 ⁡(2x/(1 + x ² )) = sin ^-1 ⁡((2tan⁡θ)/(1 + tan²⁡θ))

= sin ^-1 ⁡(sin⁡2θ) = 2θ

∫sen ^-1 ⁡(2x/(1 + x ² ))dx = ∫2θsec ² θdθ = 2∫θsec ² ⁡θdθ

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

2[θ∫seg ² ⁡θdθ – ∫{(d/dθ θ) ∫seg ² θdθ}dθ

= 2[θtan⁡θ – ∫tan⁡θdθ]

= 2[θtan⁡θ + log⁡|cos⁡θ|] + c

= 2[x tan ^-1 ⁡x + log⁡|1/√(1 + x ² )|] + c

= 2x tan ^-1 ⁡x + 2log⁡(1 + x ² ) ^1/2 + c

= 2xtan ^-1 ⁡x + 2[-1/2 log⁡(1 + x ² )] + c

= 2xtan ^-1 ⁡x – log⁡(1 + x ² ) + c

Por lo tanto, yo = 2xtan ^-1 ⁡x – log⁡(1 + x ² ) + c

Pregunta 36. ∫ tan ^-1 ((3x – x ³ )/(1 – 3x ² ))dx

Solución:

Dado que, I = ∫tan ^-1 ⁡((3x – x ³ )/(1 – 3x ² ))dx

 Supongamos, x = tan⁡θ

dx = segundo ² ⁡θdθ

yo = ∫tan ^-1 ⁡((3tan⁡θ – tan ³ θ)/(1 – 3tan ² ⁡x)) seg ² ⁡θdθ

=∫tan ^-1 ⁡(tan⁡3θ)seg ² θdθ

= ∫3θseg ² θdθ

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= 3[θ∫ seg ² ⁡θdθ – ∫(1∫seg ² θdθ)dθ]

= 3[θtan⁡θ – ∫tan⁡θdθ]

= 3[θtan⁡θ + log⁡sec⁡θ] + c

= 3[x tan ^-1 x – log⁡√(1 + x ² )] + c

Por lo tanto, yo = 3[xtan ^-1 x – log⁡√(1 + x ² )] + c

Pregunta 37. ∫x ² sen ^-1 xdx

Solución:

Dado que, I = ∫x ² sin ^-1 ⁡xdx

yo = sen ^-1 x∫x ² dx – ∫(1/√(1 – x ² ) ∫x ² dx)dx

= x ³ /3 sen ^-1 ⁡x – ∫x ³ /(3√(1 – x ² )) dx

yo = x ³ /3 sen ^-1 ⁡x – 1/3 yo ₁ + c ₁ …..(1)

Sea I ₁ = ∫x ³ /√(1 – x ² ) dx

Sea 1 – x ² = t ²

-2xdx = 2tdt

-xdx = tdt

yo ₁ = -∫(1 – t ² )tdt/t

= ∫(t ² – 1)dt

= t ³ /3 – t + c ₂

= (1 – x ² ) ^3/2 /3 – (1 – x ² ) ^1/2 + c ₂

Ahora, pon el valor de I ₁ en la ecuación (1), obtenemos

Por lo tanto, I = x ³ /3 sen ^-1 ⁡x – 1/9 (1 – x ² ) ^3/2 + 1/3 (1 – x ² ) ^1/2 + c

Pregunta 38. ∫(sen ^-1 x)/x ² dx

Solución:

Dado que, I =∫(sen ^-1 ⁡x)/x ² dx

 = ∫(1/x ² )(sen ^-1 ⁡x)dx

yo = [sen ^-1 ⁡x∫1/x ² dx – ∫(1/√(1 – x ² ) ∫1/x ² dx)dx]

= sen ^-1 ×(-1/x) – ∫1/√(1 – x ² ) (-1/x)dx

I = -1/x sen ^-1 x + ∫1/(x√(1 – x ² )) dx

yo = -1/x sen ^-1 ⁡x + yo ₁   …….(1)

Dónde,

yo ₁ = ∫1/(x√(1 – x ² )) dx

Sea 1 – x ² = t ²

-2xdx = 2tdt

yo ₁ = ∫x/(x ² √(1 – x ² )) dx

= -∫tdt/((1 – t ² ) √t)

= -∫dt/((1 – t ² ))

= ∫1/(t ² – 1) dt

= 1/2 log⁡|(t – 1)/(t + 1)| 

= 1/2 log⁡|(t – 1)/(t + 1)|

= 1/2 log⁡|(√(1 – x ² ) – 1)/(√(1 – x ² ) + 1)| + do ₁

Ahora, pon el valor de I ₁ en la ecuación (1), obtenemos

yo = -(sen ^-1 x)/x + 1/2 log⁡|((√(1 – x ² ) – 1)/(√(1 – x ² ) + 1))((√(1 – x ² ) – 1)/(√(1 – x ² ) – 1))| +c 

= -(sen ^-1 ⁡x)/x + 1/2 log⁡|(√(1 – x ² ) – 1) ² /(1 – x ² – 1)| +c

= -(sen ^-1 ⁡x)/x + 1/2 log⁡|(√(1 – x ² ) – 1) ² /(-x ² )| +c

= -(sen ^-1 ⁡x)/x + log⁡|(√(1 – x ² ) – 1)/(-x)| +c

Por lo tanto, yo = -(sen ^-1 x)/x + log⁡|(1 – √(1 – x ² ))/x| +c

Pregunta 39. ∫(x ² tan ^-1 x)/(1 + x ² ) dx

Solución:

Dado que, I = ∫(x ² tan ^-1 ⁡x)/(1 + x ² ) dx

Supongamos, tan ^-1 ⁡x = t [x = tan⁡t]

1/(1 + x ² ) dx = dt

yo = ∫t × tan ² tdt

= ∫t(seg ² ⁡t – 1)dt

= ∫(tsec ² t – t)dt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= ∫tsec ² tdt – ∫tdt

= [t∫seg ² tdt – ∫(1)seg ² ⁡tdt)dt] – t ² /2

= [t × tan⁡t – ∫tan⁡tdt] – t ² /2

= t tan⁡t – log⁡seg⁡t – t ² /2 + c

= xtan ^-1 ⁡x – log⁡√(1 + x ² ) – (tan ² x)/2 + c

Por lo tanto, yo = xtan ^-1 ⁡x – 1/2 log⁡|1 + x ² | – (bronceado ² ⁡x)/2 + c

Pregunta 40. ∫cos ^-1 (4x ³ – 3x)dx

Solución:

Dado que, I = ∫cos ^-1 ⁡(4x ³ – 3x)dx

 Supongamos, x = cos⁡θ

dx = -sen⁡θdθ

yo = -∫cos ^-1 (4cos⁡ ³ θ – 3cos⁡θ)sin⁡θdθ

= – ∫cos ^-1 (cos⁡3θ)sen⁡θdθ

= -∫3θsen⁡θdθ

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= -3[θ]sin⁡θdθ – ∫(1∫sin⁡θdθ)dθ]

= -3[-θcos⁡θ + ∫cos⁡θdθ]

= 3θcos⁡θ – 3sen⁡θ + c

Por lo tanto, yo = 3xcos ^-1 x – 3√(1 – x ² ) + c