Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.25 | conjunto 3

Evalúa las siguientes integrales:

Pregunta 41. ∫cos ^-1 ⁡ ((1 – x ² )/(1 + x ² ))dx 

Solución:

Dado que, I = ∫cos ^-1 ⁡ ((1 – x ² )/(1 + x ² ))dx)

Consideremos x = tan⁡t

dx = seg²tdt

yo = ∫cos ^-1 ⁡ ((1 – tan ² t)/(1 + tan ² ⁡t)) seg ² tdt

= ∫cos ^-1 (cos⁡2t)seg ² tdt

= ∫2tsec ² ⁡tdt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = 2[t∫sce ² tdt – ∫(1∫sec ² ⁡tdt)dt]

= 2[t × tan ² t – ∫tan⁡tdt]

= 2[t × tan ² t – log⁡seg⁡t] + c

= 2[ x tan ^-1 x – log⁡√(1 + x ² )] + c

Por lo tanto, I = 2xtan ^-1 x – log⁡|1 + x ² | +c

Pregunta 42. ∫tan ^-1 ⁡ (2x/(1 – x ² ))dx

Solución:

Dado que, I = ∫tan ^-1 ⁡ (2x/(1 – x ² ))dx

Consideremos x = tan⁡θ

dx = segundo ² θdθ

yo = ∫tan ^-1 ⁡ ((2tan⁡θ)/(1 – tan ² θ)) segundo ² θdθ

= ∫tan ^-1 ⁡(tan⁡2θ)seg ² θdθ

= ∫2θseg ² θdθ

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = 2[θ∫seg ² θdθ – ∫(1∫ seg ² ⁡θdθ)dθ]

= 2[θtan⁡θ – ∫tan⁡θdθ]

= 2[θtan⁡θ – log⁡sec⁡θ] + c

= 2[ x tan ^-1 ⁡x – log⁡√(1 + x ² )] + c

Por lo tanto, I = 2xtan ^-1 ⁡x – log⁡|1 + x ² | +c

Pregunta 43. ∫(x + 1)log⁡xdx

Solución:

Dado que, I = ∫(x + 1)log⁡xdx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = log⁡x∫ (x + 1)dx – ∫(1/x ∫(x + 1)dx)dx

= (x2 / ² + x)log⁡x – ∫1/x (x2 / ² + x)dx

= (x ² /2 + x)log⁡x – 1/2 ∫xdx – ∫dx

= (x + x ² /2)log⁡x – 1/2 × x ² /2 – x + c

Por lo tanto, yo = (x + x ^2/2 )log⁡x – 1/2 × x 2/2 – ^x + c

Pregunta 44. ∫ x ² tan ^-1 xdx

Solución:

Dado que, I = ∫ x ² tan ^-1 ⁡xdx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = bronceado ^-1 ⁡x∫x ² dx – ∫(1/(1 + x ² ) ∫x ² dx) dx

= bronceado ^-1 ⁡x(x ³ /3) – 1/3∫x ³ /(1 + x ² ) dx

= 1/3 x ³ tan ^-1 ⁡x – 1/3 ∫(x – x/(1 + x ² ))dx

= 1/3 x ³ tan ^-1 ⁡x – 1/3 × x ² /2 + 1/3 ∫x/(1 + x ² ) dx

Por lo tanto, I = 1/3 x ³ tan ^-1 x – 1/6 x ² + 1/6 log⁡|1 + x ² | +c

Pregunta 45. ∫(e ^logx + sin⁡x) cos⁡xdx

Solución:

Dado que, I = ∫(e ^logx + sin⁡x)cos⁡xdx

= ∫(x + sin⁡x)cos⁡xdx

= ∫xcos⁡xdx + ∫sin⁡xcos⁡xdx

= [x∫cos⁡xdx – ∫(1]cos⁡xdx)dx] + 1/2 ∫sin⁡2xdx

= [xsen⁡x – ∫ sin⁡xdx] + 1/2 (-(cos⁡2x)/2) + c

yo = xsen⁡x+cos⁡x – 1/4 cos⁡2x + c

= xsen⁡x + cos⁡x – 1/4 [1 – 2sen ² ⁡x] + c

= xsen⁡x + cos⁡x – 1/4 + 1/2 sen ² x + c

= xsen⁡x + cos⁡x – 1/4 + 1/2 sen ² x + c

Por lo tanto, yo = xsin⁡x + cos⁡x + 1/2 sin ² ⁡x + d [d = c-/4]

Pregunta 46. ∫((xtan ^-1 ⁡x))/(1 + x ² ) ^3/2 dx

Solución:

Dado que, I = ∫((xtan ^-1 ⁡x))/(1 + x ² ) ^3/2 dx

Consideremos tan ^-1 ⁡x = t

1/(1 + x ² ) dx = dt

yo = ∫(t tan⁡t)/√(1 + tan ² ⁡t) dt

= ∫(t × tan⁡t)/(seg⁡t) dt

= ∫t (sen⁡t)/(cos⁡t) cos⁡tdt

= ∫tsin⁡tdt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = [t]sin⁡tdt – ∫(1)sin⁡tdt)dt]

= [-tcos⁡t + ∫cos⁡tdt]

= [-tcos⁡t + sin⁡t] + c

= -(bronceado ^-1 ⁡x)/√(1 + x ² ) + x/√(1 + x ² ) + c

Por lo tanto, yo = -(tan ^-1 ⁡x)/√(1 + x ² ) + x/√(1 + x ² ) + c

Pregunta 47. ∫ tan ^-1 (√x)dx

Solución:

Dado que, I = ∫ tan ^-1 (√x)dx

Consideremos x = t ²

dx = 2tdt

yo = ∫2ttan ^-1 tdt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos 

= 2[tan ^-1 )⁡t∫tdt – ∫(1/(1 + t ² ) ∫tdt)dt]

= 2[t ² /2 tan ^-1 ⁡t – ∫t ² /2(1 + t ² )dt]

= t ² tan ^-1 ⁡t – ∫(t ² + 1 – 1)/(1 + t ² )dt

= t ² tan ^-1 ⁡t – ∫(1 – 1/(1 + t ² ))dt

= t ² bronceado ^-1 t – t + bronceado ^-1 ⁡t + c

= (t ² + 1) bronceado ^-1 ⁡t – t + c

Por lo tanto, yo = (x + 1)tan ^-1 ⁡√x – √x + c

Pregunta 48. ∫x ³ tan ^-1 xdx

Solución:

Dado que, I = ∫x ³ tan ^-1 xdx

= tan ^-1 ⁡x∫x ³ dx – (∫(dtan ^-1 ⁡x)/dx (∫x ³ dx)dx)

= bronceado ^-1 ⁡xx ⁴ /4 – (∫1/(1 + x ² ) (x ⁴ /4)dx)

= bronceado ^-1 ⁡xx ⁴ /4 – (∫1/(1 + x ² ) (x ⁴ /4)dx) 

= bronceado ^-1 ⁡xx ⁴ /4 – (∫1/(1 + x ² ) (x ⁴ /4)dx)

∫ 1/(1 + x ² ) (x ⁴ /4)dx = 1/4 [∫1/(1 + x ² ) dx + (x ² – 1)dx]

∫ 1/(1 + x ² ) (x ⁴ /4)dx = 1/4 [tan ^-1 ⁡x + x ³ /3 – x]

Por lo tanto, I = x ⁴ /4 tan ^-1 ⁡x – 1/4 [tan ^-1 ⁡x + x ³ /3 – x] + c

Pregunta 49. ∫xsen⁡xcos⁡2xdx

Solución:

Dado que, I = ∫xsen⁡xcos⁡2xdx

= 1/2 ∫x(2sen⁡xcos⁡2x)dx

= 1/2 ∫x(sen⁡(x + 2x) – sin⁡(2x – x))dx

= 1/2 ∫x(sen⁡3x – sen⁡x)dx

= 1/2[x](sen⁡3x – sin⁡x)dx – ∫ (1)(sen⁡3x – sin⁡x)dx)dx]

= 1/2 [x((-cos⁡3x)/3 + cos⁡x) – ∫(-(cos⁡3x)/3 + cos⁡x)dx]

Por lo tanto, yo = 1/2 [-x (cos⁡3x)/3 + xcos⁡x + 1/9 sen⁡3x – sen⁡x] + c

Pregunta 50. ∫(tan ^-1 x ² )xdx

Solución:

Dado que, I = ∫(tan ^-1 ⁡x ² )xdx

Consideremos x ² = t

2xdx = dt

yo = 1/2∫tan ^-1 tdt

= 1/2∫1tan ^-1 tdt

= 1/2 [tan ^-1 ⁡t∫dt – (∫1/(1 + t ² )∫dt)dt]

= 1/2 [t × tan ^-1 ⁡t – ∫t/(1 + t ² ) dt]

= 1/2 t × tan ^-1 ⁡t – 1/4∫2t/(1 + t ² ) dt

= 1/2 t × tan ^-1 ⁡t – 1/4 log⁡|1 + t ² | +c

Por lo tanto, yo = 1/2 x ² tan ^-1 ⁡x ² – 1/4 log⁡|1 + x ⁴ | +c

Pregunta 51. ∫xdx/√(1 – x ² )

Solución:

Dado que, I = ∫xdx/√(1 – x ² )

Sea la primera función sen ^-1 ⁡x y la segunda función sea x/√(1 – x ² ).

Ahora, primero encontramos la integral de la segunda función, 

∫xdx/√(1 – ^x2 )

Ahora, pon t = 1 – x ²

Entonces dt = -2xdx

Por lo tanto,

∫ xdx/√(1 – x ² ) = -1/2 ∫dt/√t = -√t = -√(1 – x ² )

Por eso,

∫(xsen ^-1 x)/√(1 – x ² ) dx

= (sen ^-1 ⁡x)(-√(1 – x ² ) – ∫1/√(1 – x ² ) * (-√(1 – x ² ))dx

= -√(1 – x ² ) sen ^-1 ⁡x + x + c

= x – √(1 – x ² ) sen ^-1 ⁡x + c

Pregunta 52. ∫sen ³ √x dx

Solución:

Dado que, I = ∫sen ³ √x dx

Consideremos √x = t

x = t ²

dx = 2tdt

yo = 2∫ tsen ³ ⁡tdt

= 2∫t((3sin⁡t – sin⁡3t)/4)dt

= 1/2 ∫t(3sin⁡t – sin⁡3t)dt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = 1/2 [t(-3cos⁡t + 1/3 cos⁡3t) – ∫(-3cos⁡t + (cos⁡3t)/3)dt]

= 1/2 [(-9tcos⁡t + tcos⁡3t)/3 – {-3sin⁡t + (sin⁡3t)/9}] + c

= 1/2 [(-9tcos⁡t + tcos⁡3t)/3 + (27sin⁡t – 3sin⁡3t)/9] + c

= 1/18[-27tcos⁡t + 3tcos⁡3t + 27sin⁡t – 3sin⁡3t] + c

Por lo tanto, yo = 1/18[3√x cos⁡3√x + 27sin⁡√x – 27√x cos⁡√x – 3sin⁡3√x] + c

Pregunta 53. ∫ xsen ³ xdx

Solución:

Dado que, I = ∫ xsen ³ ⁡xdx

= ∫x((3sin⁡x – sin⁡3x)/4)dx

= 1/4 ∫x(3sin⁡x – sin⁡3x)dx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

= 1/4 [x∫ (3sin⁡x – sin⁡3x)dx – ∫(1)(3sin⁡x – sin⁡3x)dx)dx]

= 1/4 [x(-3cos⁡x + (cos⁡3x)/3) – ∫(-3cos⁡x + (cos⁡3x)/3)dx]

= 1/4 [-3xcos⁡x + (xcos⁡3x)/3 + 3sin⁡x – (sin⁡3x)/9] + c

Por lo tanto, yo = 1/36[3xcos⁡3x – 27xcos⁡x + 27sin⁡x – sin⁡3x] + c

Pregunta 54. ∫cos ³ √x dx

Solución:

Dado que, I = ∫cos ³ √x dx

Consideremos x = t²

dx = 2tdt

= 2∫tcos ³ ⁡tdt

= 2∫t((3cos⁡t + cos⁡3t)/4)dt

= 1/2 ∫t(3cos⁡t + cos⁡3t)dt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = 1/2 [t(3sin⁡t + 1/3 sin⁡3t) + ∫(1 × 3sin⁡t + (sin⁡3t)/3)dt]

= 1/2 [t((9sin⁡t + sin⁡3t)/3) + 3cos⁡t(cos⁡3t)/9] + c

= 1/18[27tsen⁡t + 3tsen⁡3t + 9cos⁡t + cos⁡3t] + c

Por lo tanto, yo = 1/18[27√x sin⁡√x + 3√x sin⁡3√x + 9cos⁡√x + cos⁡3√x] + c

Pregunta 55. ∫xcos ³ xdx

Solución:

Dado que, I = ∫xcos ³ ⁡xdx

= ∫x((3cos⁡x + cos⁡3x)/4)dx

= 1/4 ∫x(3cos⁡x + cos⁡3x)dx

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = 1/4 [x∫(3cos⁡x + cos⁡3x)dx – ∫(1)(3cos⁡x + cos⁡3x)dx)dx]

= 1/4 [x(3sin⁡x + (sin⁡3x)/3) – ∫ (3sin⁡x + (sin⁡3x)/3)dx]

= 1/4 [3xsen⁡x + (xsen⁡3x)/3 + 3cos⁡x + (cos⁡3x)/9] + c

Por lo tanto, yo = (3xsen⁡x)/4 + (xsen⁡3x)/12 + (3cos⁡x)/4 + (cos⁡3x)/36 + c

Pregunta 56. ∫tan ^-1 √((1 – x)/(1 + x))

Solución:

Dado que, I = ∫tan ^-1 √((1 – x)/(1 + x))

Consideremos x = cos⁡θ

dx = -sen⁡θdθ

yo = ∫ tan ^-1 ⁡(tan⁡θ/2)(-sin⁡θ)dθ

=-1/2 ∫θsin⁡θdθ

Sea θ = u y sin⁡θdθ = v 

De modo que sen⁡θ = ∫vdθ

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = -1/2 (-θcos⁡θ – ∫-cos⁡θdθ)

= -1/2(-θcos⁡θ + sen⁡θ)+c

= -1/2 (-θcos⁡θ + √(1 – cos ² ⁡θ)) + c

= -1/2 (-x cos ^-1 ⁡x + √(1 – x ² )) + c

Pregunta 57. ∫sen ^-1 √(x/(a + x)) dx

Solución :

Dado que, I = ∫sen ^-1 ⁡√(x/(a + x)) dx

Consideremos x = atan ² θ

dx = 2atan⁡θsec ² ⁡θdθ

yo = ∫(sin ^-1 ⁡√((atan ² ⁡θ)/(a + atan ² ⁡θ))(2atan⁡θsec ² θ)dθ

= ∫ (sen ^-1 √((tan ² θ)/(seg ² θ)))(2atan⁡θsec ² θ)dθ

= ∫ sin ^-1 (sin⁡θ)(2atan⁡θsec ² θ)dθ

= ∫ 2θatan⁡θsec ² θdθ

= 2a∣θ(tan⁡θsec ² ⁡θ)dθ)

= ∫2θatan⁡θsec ² θdθ

= 2a∫θ(tan⁡θsec ² ⁡θ)dθ

= 2a[θ]tan⁡θsec ² θdθ – ∫(∫tan⁡θsec ² ⁡θdθ)dθ]

= 2a[θ (bronceado ² ⁡θ)/2 – ∫(bronceado ² θ)/2 dθ]

= aθtan ² θ – 2a/2∫(seg ² θ – 1)dθ

= aθtan ² θ – atan⁡θ + aθ + c

= a(tan ^-1 ⁡√(x/a)) x/a – a√(x/a) + atan ^-1 ⁡√(x/a) + c

Por lo tanto, yo = xtan ^-1 ⁡√(x/a) – √ax + atan ^-1 ⁡√(x/a) + c

Pregunta 58. ∫(x ³ sen ^-1 ⁡x²)/√(1 – x ⁴ ) dx

Solución:

Dado que, I = ∫(x ³ sen ^-1 x²)/√(1 – x ⁴ ) dx

Consideremos sen ^-1 ⁡x² = t

(1/√(1 – x ⁴ )(2x)dx = dt

yo = ∫(x² sen ^-1 ⁡x²)/√(1 – x ⁴ ) xdx

= ∫(sen⁡t)t dt/2

= 1/2∫tsin⁡tdt

= 1/2 [t∫sin⁡tdt – ∫(1∫sin⁡tdt)dt]

= 1/2 [t(-costo)dt – ∫(1∫(-costo))dt]

= 1/2[-tcoste + sint] + c

Por lo tanto, yo = 1/2 [x ² – √(1 – x ⁴ ) sen ^(-1) ⁡x ² ] + c

Pregunta 59. ∫(x ² sen ^-1 ⁡x)/(1 – x ² ) ^3/2 dx

Solución:

Dado que, I = ∫(x ² sen ^-1 x)/(1 – x ² ) ^3/2 dx

Consideremos sen ^-1 ⁡x = t

(1/√(1 – x ² ) dx = dt

yo = ∫(sen ² t × t)/((1 – sen ² t)) dt

= ∫(tsen ² t)/(cos ² t) dt

= ∫t × tan ² tdt

= ∫t(seg ² ⁡t – 1)dt

= ∫tsec ² ⁡tdt – t ² /2 + c

= t∫seg ² tdt – ∫(1∫seg ² tdt)dt – t ² /2 + c

= t × tan⁡t – ∫tan⁡tdt – t ² /2 + c

= t × tan⁡t – log⁡seg⁡t – t ² /2 + c

Por lo tanto, yo = x/√(1 – x ² ) sen ^-1 x + log⁡|1 – x ² | – 1/2 (sen ^-1 x) ² + c

Pregunta 60. ∫cos ^-1 (1 – x ² / 1 + x ² ) dx

Solución:

Dado que, I = ∫cos ^-1 (1 – x ² / 1 + x ² ) dx

Consideremos, x = tant

dx = seg ² tdt

I = ∫cos ^-1 (1 – tan ² t/ 1 + tan ² t) seg ² tdt

= ∫ 2t seg ² tdt

Usando la integración por partes,       

∫uv dx = v∫ u dx – ∫{d/dx(v) × ∫u dx}dx + c 

Obtenemos

yo = 2[t∫seg ² tdt – ∫(1 ∫seg ² tdt)dt]

= 2[t tan ² t – ∫tant dt]

= 2[t tan ² t – log sect] + c

= 2[x tan ² x – log √1 + x ² ] + c

Por lo tanto, I = 2[xtan ² x – log √1 + x ² ] + c