Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.26 | conjunto 2

Evalúa las siguientes integrales.

Pregunta 11. ∫e ^x (sen4x-4)/(2sen ² 2x)dx

Solución: 

Tenemos,

 ∫e ^x (sen4x-4)/(2sen ² 2x)dx

=∫e ^x (2sen2xcos2x-4)/(2sen ² 2x)dx

=∫e ^x (((2sen2xcos2x)/(2sen ² 2x))-4/(2sen ² 2x))dx

=∫e ^x (cot2x-2cosec ² 2x)dx

=∫e ^x cot2xdx-2∫e ^x cosec ² 2xdx

Integrando por partes,

e ^x cot2x-2∫e ^x d(cot2x)/dx-2∫e ^x cosec ² 2xdx 

= e ^x cot2x+2∫e ^x cosec ² 2xdx-2∫e ^x cosec ² 2xdx

= e ^x cot2x+C

Pregunta 12. ∫e ^x (2-x)/(1-x) ² dx

Tenemos,

∫e ^x (2-x)/(1-x) ² dx

=∫e ^x ((1-x)+1)/(1-x) ² dx

=∫e ^x (((1/(1-x))+(1/(1-x) ² )))dx

=∫e ^x (1/(1-x))+∫e ^x (1/(1-x) ² )dx

= e ^x /(1-x)+C

Pregunta 13. ∫e ^x (1+x)/(x+2) ² dx

Tenemos,

∫e ^x (1+x)/(x+2) ² dx

=∫e ^x ((2+x)-1)/(x+2) ² dx

=∫e ^x (((2+x)/(x+2) ² )-1/(x+2) ² )dx

=∫e ^x ((1/(x+2))-1/(x+2) ² )dx

= e ^x /(x+2)dx

Pregunta 14. ∫e ^(-x/2) (1-senx) ^(1/2) /(1+cosx)dx

Tenemos,

∫e ^(-x/2) (1-senx) ^(1/2) /(1+cosx)dx

Sea x/2 = t

Entonces, x = 2t

Entonces la ecuación es,

∫2e ^(-t) (1-sen2t) ^(1/2) /(1+cos2t)dt

=2∫e ^(-t) (sen ² t+cos ² t-2sintcoste) ^(1/2) /(2cos ² (t))dt

=∫e ^(-t) (sint-coste) ^(2*1/2) /cos ² tdt

=∫e ^(-t) (sint-coste)/cos ² tdt

=∫e ^(-t) (tantsect-sect)dt

=∫e ^(-t) (tant sect)dt-∫e ^(-t) sectdt

=∫e ^(-t) (tant secta)dt -e ^(-t) secta -∫e ^(-t) (d(secta)/dt) dt

=∫e ^(-t) (tant secta)dt -e ^(-t) secta -∫e ^(-t) secta tantdt

= e ^(-t) secta

= e ^(-x/2) seg(x/2)+C

Pregunta 15. ∫e ^x (logx +1/x)dx

Solución:

Tenemos,

∫e ^x (logx +1/x)dx

= e ^x (logx)+C

Pregunta 16. ∫e ^x (logx+1/x ² )dx

Solución:

Tenemos,

∫e ^x (logx +1/x ² )dx

=∫e ^x (logx+1/x-1/x+1/x ² )dx

=∫e ^x ((logx-1/x)+((1/x)+(1/x ² ))dx

= e ^x (logx-1/x)+C

Pregunta 17. ∫e ^x /x(x(logx) ² +2logx)dx

Solución:

Tenemos,

∫e ^x /x(x(logx) ² +2logx)dx

=∫e ^x ((logx) ² +2e ^x (logx)/x)dx

=∫e ^x (logx)2dx +∫(2e ^x /x)(logx)dx

Integrando por partes,

= e ^x (logx) ² -∫e ^x (d(logx) ² /dx)dx +∫(2e ^x /x)(logx)dx

= e ^x (logx) ² -∫(ex / ^x )2logxdx+∫2e ^x /x(logx)dx

= e ^x (logx) ² +C

Pregunta 18. ∫e ^x (sen ^-1 x+1/(1-x ² ) ^1/2 )dx

Solución:

= e ^x sen ^-1 x-∫e ^x (d(sen ^-1 x)/dx) dx +∫e ^x /(1-x ² ) ^1/2 dx

= e ^x sen ^-1 x- ∫e ^x /(1-x ² ) ^1/2 dx+∫e ^x /(1-x ² ) ^1/2 dx

= e ^x sen ^-1 x+C

Pregunta 19. ∫e ^2x (-senx +2cosx)dx

Solución:

= -∫e ^2x senxdx +2∫e ^2x cosxdx

= -∫e ^2x senxdx+2((1/2)e ^2x cosx+∫(1/2)e ^2x senxdx)

= -∫e ^2x senxdx+e ^2x cosx+∫e ^2x senxdx

= e ^2x cosx+C

Pregunta 20. ∫e ^x (tan ^-1 x+1/(1+x ² ))dx

Solución:

= e ^x tan ^-1 x-∫e ^x (d(tan ^-1 x)/dx) dx+∫e ^x /(1+x ² )dx

= e ^x tan ^-1 x-∫e ^x /(1+x ² )dx+∫e ^x /(1+x ² )dx

= e ^x tan ^-1 x+C

Pregunta 21. ∫e ^x ((senxcosx-1)/sen ² x)dx

Solución:

= ∫e ^x (cotx-cosec ² x)dx

= e ^x cotx-∫e ^x (d(cotx)/dx) dx-∫e ^x cosec ² xdx

= e ^x cotx+∫e ^x cosec ² xdx -∫e ^x cosec ² xdx

= e ^x cotx+C

Pregunta 22. ∫(tan(logx)+sec ² (logx))dx

Solución:

Suponer,

logx=z

=>e ^z =x

=>d(e ^z )/dx=1

=>e ^z dz=dx

Sustituyéndolo en la pregunta original,

∫(tan z+sec ² z)e ^z dz

= e ^z tanz -∫e ^z (d(tanz)/dz))dz+∫e ^z sec ² zdz

= e ^z tanz-∫e ^z sec ² zdz+∫e ^z sec ² zdz

= e ^z tanz+C

= e ^(logx) tan(logx)+C

= x tan(logx)+C

Pregunta 23. ∫e ^x (x-4)/(x-2) ³ dx

Solución:

= ∫e ^x ((x-2)-2)/(x-2) ³ dx

= ∫e ^x ((1/(x-2) ² )-(2/(x-2) ³ ))dx

= e ^x /(x-2) ² -∫e ^x (d((x-2) ^-2 )/dx)dx-2∫e ^x /(x-2) ³ dx

= e ^x /(x-2) ² +2∫e ^x /(x-2) ³ dx -2∫e ^x /(x-2) ³ dx

= e ^x /(x-2) ² +C

Pregunta 24. ∫e ^2x ((1-sen2x)/(1-2cosx))dx

Solución:

=∫e ^2x ((1-sen2x)/2sen ² x)dx

=∫e ^2x ((cosec ² x/2)-cotx)dx

Suponer,

yo = yo _¹ + yo ₂

I ₁ =1/2∫e ^2x cosec ² xdx

yo ₂ =-∫e ^2x cotxdx

dejar,

tu=e ^2x

=du=2e ^2x dx

y

∫cosec2xdx=∫dv

=>v=-cotx+C

Asi que,

I ₁ =1/2[e ^2x (-cotx)-∫(-cotx)2e ^2x dx]

I ₁ =1/2(e ^2x (-cotx))+∫cotxe ^2x dx

De este modo,

I=(1/2)(e ^2x (-cotx))+∫cotxe ^2x dx -∫e ^2x cotx dx

=>I=(1/2)(e ^2x (-cotx))+C