Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.26 | Serie 1

Evalúa las siguientes integrales.

Pregunta 1. ∫(e ^x (cosx -senx))dx

Solución:

La expresión dada es
∫(e ^x cosx)-(e ^x senx)dx
=∫(e ^x cosx) dx -∫(e ^x senx)dx
=e ^x (cosx )-∫(e ^x d(cosx)/dx- ∫e ^x senx dx
=e ^x (cosx )+∫e ^x senx dx-∫e ^x senx dx
=e ^x (cosx) + c

Pregunta 2. ∫e ^x (x ^-2 +2x ^-3 )dx

Solución:

La expresión dada es
∫e ^x (x ^-2 +2x ^-3 )dx
=∫e ^x x ^-2 dx +∫e ^x (2x ^-3 )dx
=e ^x x ^-2 -∫e ^x (d(x ^-2 )/dx)dx +2∫e ^x x ^-3 dx
=e ^x x ^-2 +2∫e ^x x ^-3 dx +2∫e ^x x ^-3 dx
=e ^x x ^-2 +C

Pregunta 3. ∫(e ^x (1+senx)/(1+cosx))dx

Solución:

La expresión dada es 
∫(e ^x (1+senx)/(1+cosx))dx
=∫((e ^x (sen ² (x/2)+cos ² (x/2)+2sen(x/2)cos (x/2)))/(2cos ² (x/2)))dx
=∫(((e ^x (sen(x/2)+cos(x/2)) ² /(2cos ² (x/2) )))dx
=∫((e ^x /2)(tan(x/2)+1) ² )dx
=∫((e ^x /2) (1+tan ² (x/2)+2tan(x/ 2)))dx
=∫((e ^x /2)(seg ² (x/2)+2tan(x/2)))dx
=∫((e ^x )((1/2)seg ² (x/ 2)+tan(x/2)))dx
Supongamos que tan(x/2)=y
=>dy/dx=d(tan(x/2))/dx
=>dy/dx=(1/2)(sec ² (x/2))
Entonces, la expresión anterior se convierte en
∫(e ^x )( y+(dy/dx))dx=e ^x (y)+c
Por lo tanto,
∫(e ^x ((1/2)seg ² (x/2)+tan(x/2)))dx
=e ^x tan( x/2) +C
 

Pregunta 4. ∫e ^x (cotx-cosec ² x)dx

Solución:

La expresión dada es
∫(e ^x (cotx – cosec ² x))dx
=∫e ^x cotx dx -∫e ^x cosec ² xdx
=e ^x cotx-∫(e ^x (d(cot x)/dx))dx- ∫e ^x cosec ² xdx
=e ^x cotx+∫e ^x cosec ² xdx -∫e ^x cosec ² xdx
=e ^x cotx +c

Pregunta 5. ∫(e ^x ((1/2x)-(1/2x ² )))dx

Solución:

La expresión dada es,
∫(e ^x ((1/2x)-(1/2x ² )))dx
=∫e ^x (1/2x)dx-∫e ^x (1/2x ² )dx
=(e ^x / 2x)-∫e ^x (d(1/2x)/dx)dx -∫e ^x (1/2x ² )dx
=(e ^x /2x)+∫(e ^x /2x ² )dx-∫(e ^x /2x ² )dx
=e ^x /2x+c

Pregunta 6. ∫e ^x secx(1+tanx)dx

Solución:

La expresión dada es,
∫e ^x secx(1+tanx)dx
=∫e ^x secxdx+∫e ^x( secx)(tanx)dx
=e ^x (secx)-∫e ^x (d(sec x tan x)/dx) +∫e ^x secx tanx dx
=e ^x (secx)+c

Pregunta 7. ∫e ^x (tanx -logcosx)dx

Solución:

La expresión dada es,
∫e ^x (tanx -logcosx)dx
=∫e ^x (tanx)dx -∫e ^x( logcosx)dx
=∫e ^x (tanx)dx- e ^x logcosx +∫e ^x (d(log cosx )/dx)dx
=∫e ^x (tanx)dx- e ^x logcosx -∫e ^x tanxdx
=-e ^x logcosx +c
=e ^x log(secx)+c

Pregunta 8. ∫e ^x [secx+log(secx +tanx)]dx

Solución:

La expresión dada es,
∫e ^x [secx+log(secx +tanx)]dx
=∫e ^x (secx)dx+∫e ^x log(secx+tanx)dx
=∫e ^x (secx)dx+e ^x log(secx +tanx)-∫e ^x (d(log(secx+tanx))/dx)dx
=∫e ^x (secx)dx+e ^x (log(secx+tanx))-∫e ^x secxdx
=e ^x (log (secx+tanx))+c

Pregunta 9. ∫e ^x (cotx+log senx)dx

Solución:

La expresión dada es,
∫e ^x (cotx+log senx)dx
=∫e ^x (cotx)dx+∫e ^x (log senx)dx
=∫e ^x (cotx)dx+e ^x( log(senx))-∫e ^x (d(log senx)/dx)dx
=∫e ^x (cotx)dx + e ^x (log senx) -∫e ^x cotx dx
=e ^x( log senx)+c

Pregunta 10. ∫e ^x ((x+1-2)/(x+1) ³ )dx

Solución:

La expresión dada es,
∫e ^x ((x+1-2)/(x+1) ³ )dx
=∫e ^x ((1/(x+1) ² )-(2/(x+1) ³ ) )dx
=∫e ^x (1/(x+1) ² )dx-∫(2e ^x )/(x+1) ³ dx
=e ^x /(x+1) ² -∫e ^x (d(1/ (x+1) ² )/dx)-∫(2e ^x )/(x+1) ³ dx
=e ^x /(x+1) ² -∫(e ^x (-2)/(x+1) ³ )dx -∫(2e ^x )/(x+1) ³ dx
=e ^x/(x+1) ² +∫(e ^x (2)/(x+1) ³ )dx -∫(2e ^x )/(x+1) ³ dx
=e ^x /(x+1) ² +c