Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.30 | conjunto 3

Pregunta 41. ∫ x²/(x²+1)(3x²+4) dx

Solución:

Sea x²/(x²+1)(3x²+4) =(Ax+B)/(x²+1) +(Cx+D)/(3x²+4)

x²=(Ax+8)(3x²+4)+(Cx+D)(x²+1)

=(3A+C)x ³ +(3B+D)x²+(4A+C)x+4B+D

Igualando términos similares, obtenemos,

3A+C=0,

3B+D=1,

4A+C=0,

4B+D=0

Resolviendo, obtenemos,

A=0,

B=-1,

C=0,

D=4

De este modo,

yo =∫ (-dx)/(x²+1) +∫ 4dx/((3x²+4))

=-tan ^-1 ⁡x+4/3 ∫ dx/(x²+(2/√3)²)

=-bronceado ^-1 ⁡x+(4/3)*(√3/2)bronceado ^-1 ((√3 x)/2)+c

I =2/√3 tan ^-1 ((√3 x)/2)-tan ^-1 ⁡x+c

Pregunta 42. ∫(3x+5)/(x ³ -x²-x+1) dx

Solución:

∫ (3x+5)/(x ³ -x²-x+1) dx

Sea (3x+5)/((x-1)² (x+1))=A/(x-1)+B/((x-1)²)+C/(x+1)

3x+5=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)²

Pon x=1

B=4

Pon x=-1

do=1/2

Pon x=0

A=-1/2

Por lo tanto

∫ (3x+5)/((x-1)² (x+1)) dx

=-1/2 ∫ dx/(x-1)+4∫ dx/((x-1)²)+1/2 ∫ dx/(x+1)

=-1/2 ln⁡|(x-1)|-4/((x-1))+1/2 ln⁡|(x+1)|+c

=1/2 ln⁡|(x+1)/(x-1)|-4/((x-1))+c

Pregunta 43. ∫ (x ³ -1)/(x ³ +x) dx

Solución:

Sea I =∫ (x ³ -1)/(x ³ +x) dx

=∫(1-(x+1)/(x ³ +x))dx

=∫ dx-∫ (x+1)/(x ³ +x) dx

Sea (x+1)/x(x²+1) =A/x+(Bx+C)/(x²+1)

x+1 =A(x²+1)+(Bx+C)x

=(A+8)x²+(B+C)x+A

Igualando términos similares, obtenemos,

A+B=0,

do=1,

A=1

Resolviendo, obtenemos,

A=1,

B=-1,

C=1

De este modo,

I=-∫ dx/x-∫ (-x+1)/(x²+1) dx+∫ dx

I =x-log⁡|x|+1/2 log⁡|x²+1|-tan ^-1 ⁡x+c

I=x-log⁡|x|+1/2 log⁡|x²+1|-tan ^-1 ⁡x+c

Pregunta 44. ∫ (x²+x+1)/((x+1)² (x+2)) dx

Solución:

∫ (x²+x+1)/((x+1)² (x+2)) dx

Sea (x²+x+1)/((x+1)² (x+2))=A/(x+1)+B/((x+1)²)+C/(x+2)

x²+x+1=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)²

Poniendo x=-1

B=1

Poniendo x=-2

C=3

Poniendo x=0

A=-2,

Por lo tanto,

∫ (x²+x+1)/((x+1)² (x+2)) dx

=-2∫ dx/(x+1)+∫ dx/((x+1)²)+3∫ dx/(x+2)

=-2ln⁡|x+1|-1/(x+1)+3ln⁡|x+2|+c

Pregunta 45. ∫ 1/x(x ⁴ +1) dx

Solución:

Sea 1/x(x ⁴ +1) =A/x+(Bx ³ +Cx ² +Dx+E)/(x ⁴ +1)

1=A(x ⁴ +1)+(Bx ³ +Cx²+Dx+E)x

=(A+B)x ⁴ +Cx ³ +Dx²+Ex+A

Igualando términos similares, obtenemos,

A+B=0,

C=0,

D=0,

E=0,

A=1,

B=-1

De este modo,

yo =∫ dx/x+∫ -(x ³ dx)/(x ⁴ +1)

=log⁡|x|-1/4 log⁡|x ⁴ +1|+c

yo =1/4 log⁡|x ⁴ /(x ⁴ +1)|+c

Pregunta 46. ∫1/(x(x ³ +8)) dx

Solución:

I=∫1/(x(x ³ +8)) dx

Ordenando la ecuación anterior,

I=∫ x²/(x ³ (x ³ +8)) dx

=1/3∫(3x²)/(x ³ (x ³ +8)) dx

Ahora reemplazando x ³ =t, tenemos, 3x ³ dx=dt

yo=1/3∫dt/(t(t+8))

Integrando por fracciones parciales. De este modo,

1/(t(t+8))=A/t+B/(t+8)

1/(t(t+8))=(A(t+8)+Bt)/(t(t+8))

1=A(t+8)+Bt

1=En+8A+Bt

Comparando los coeficientes, tenemos,

A+B=0,

8A=-1/8

Por lo tanto,

I=1/3 ∫ dt/(t(t+8))

=1/3∫ {(1/8)/t – (1/8)/(t+8)} dt

=(1/3)*(1/8) ∫ dt/t – (1/3)*(1/8)∫ dt/(t+8)

=(1/24)* registro | t |-(1/24)* log| t+8 |+c

=(1/24) registro| x ³ |-(1/24) log| x ³ +8|+c

=(3/24) log|x ³ |- (1/24)log|x ³ +8|+c

I=(1/8) registro| x3 | ^_ – (1/24)log|x ³ +8|+c

Pregunta 47. ∫ 3/((1-x)(1+x²)) dx

Solución:

Sea 3/((1-x)(1+x²))=A/(1-x)+(Bx+C)/(1+x²)

3 =A(1+x²)+(Bx+C)(1-x)

=(AB)x²+(BC)x+(A+C)

Igualando términos similares, obtenemos,

AB=0,

BC=0,

A+C=3

Resolviendo obtenemos,

A=C=3/2 y B=3/2

De este modo,

I=3/2 ∫ dx/(1-x)+3/2 ∫ xdx/(1+x²)+3/2 ∫ dx/(1+x²)

=-3/2 log⁡|1-x|+3/2 log⁡|1+x² |+3/2 tan ^-1 ⁡x+c

I=3/4 [log⁡|(1+x²)/((1-x)²)|+2tan ^-1 ⁡x+c

Pregunta 48. ∫ (cos⁡x)/((1-sin⁡x) ³ (2+sin⁡x)) dx

Solución:

Sea sen⁡x=t

cos⁡x=dt

∫ (cos⁡x)/((1-sen⁡x) ³ (2+sen⁡x))=∫ 1/((1-t) ³ (2+t)) dt

Sea f(t)=1/((1-t) ³ (2+t))

Entonces, supongamos

1/((1-t) ³ (2+t)) = A/(1-t)+B/((1-t)²)+c/((1-t) 3 )+D/ ⁽ ( 2+t))

1=A(1-t)² (2+t)+B(1-t)(2+t)+C(2+t)+D(1-t) ³

Pon t=1

1=3C

do=1/3

Pon t=-2

1=27D

D=1/27

Del mismo modo, podemos encontrar que A=(-1)/27 y B=(+1)/9

∫ 1/((1-t) ³ (2+t)) dt

=(-1)/27 ∫ 1/(1-t) dt+1/9 ∫ dt/((1-t)²)+1/3 ∫ dt/((1-t) 3 ⁾ +1/27 ∫ dt/(2+t)

=(-1)/27 log⁡|1-t|+1/(9(1-t))+1/(6(1-t)²)+1/27 log⁡|2+t|+c

Poniendo t=sin⁡x , obtenemos

∫ (cos⁡x)/((1-sen⁡x) ³ (2+sen⁡x)) dx

=(-1)/27 log⁡|1-sen⁡x|+1/(9(1-sen⁡x))+1/(6(1-sen⁡x)²)+1/27 log⁡| 2+sen⁡x|+c

Pregunta 49. ∫(2x²+1)/(x² (x²+4)) dx

Solución:

I=∫(2x²+1)/(x² (x²+4)) dx

Ahora separemos la fracción (2x²+1)/(x² (x²+4)) a través de fracciones parciales.

Sustituye x²=t, luego (2x²+1)/(x² (x²+4))=(2t+1)/(t(t+4))

(2t+1)/(t(t+4))=A/t+B/(t+4)

(2t+1)/(t(t+4))=(A(t+4)+Bt)/(t(t+4))

2t+1=A(t+4)+Bt

2t+1=At+4A+Bt

Comparando los coeficientes, tenemos, A+B=2 y 4A=1

A=1/4 y B=7/4

(2x²+1)/(x² (x²+4))=1/(4x²)+7/4(x²+4)

Así, tenemos

yo= ∫ (2x²+1)/(x²(x²+4)) dx

=1/4 ∫ dx/x² dx +7/4 ∫ dx/(x²+4) dx

=-1/4x +(7/4)*(1/2) tan ^-1 (x/2)+c

I=-1/4x+(7/8)tan ^-1 (x/2)+c

Pregunta 50. ∫ cosx/(1-senx)/(2-senx) dx

Solución:

∫ cosx/(1-senx)/(2-senx) dx

Sea 1-senx=t y

-cos x dx = dt

Por lo tanto

-∫ dt/(t(1+t))=-∫ (1/t-1/(t+1))dt

=ln⁡|(t+1)|-ln⁡|t|+c

=ln⁡|(t+1)/t|+c

=ln⁡|(2-sen⁡x)/(1-sen⁡x)|+c

Pregunta 51. ∫(2x+1)/((x-2)(x-3)) dx

Solución:

Sea (2x+1)/((x-2)(x-3))=A/((x-2))+B/(x-3)

2x +1=A(x-3)+B(x-2)

=(A+B)x+(-3A-2B)

Igualando términos similares, obtenemos,

A+B=2 y -3A-2B=1

De este modo,

I=-5∫ dx/(x-2)+7∫ dx/(x-3)

=-5log⁡|x-2|+7log⁡|x-3|+c

I=log⁡|((x-3) ⁷ /((x-2) ⁵ )|+c

Pregunta 52. ∫ 1/((x²+1)(x²+2)) dx

Solución:

Sea x²=y

Entonces 1/((y+1)(y+2))=A/(y+1)+B/(y+2)

1 =A(y+2)+B(y+1)

=(A+B)y+(2A+B)

Igualando términos similares, obtenemos,

A+B=0 y 2A+B=1

Resolviendo, obtenemos,

De este modo,

I=∫ dx/(x²+1)-∫ dx/(x²+2)

I=tan⁡ ^-1 x-1/√2 tan ^-1 ⁡x/√2+c

Pregunta 53. ∫ 1/x(x ⁴ -1) dx

Solución:

∫ 1/x(x ⁴ -1) dx

Sea 1/x(x ⁴ -1) =A/x+B/(x+1)+C/(x-1)+D/(x²+1)

1=A(x+1)(x-1)(x²+1)+Bx(x-1)(x²+1)+Cx(x+1)(x²+1)+Dx(x+1)( x-1))

Pon x=0

A=-1,

Pon x=1

do=1/4

Pon x=-1

segundo=1/4

Pon x=2

re=1/4

Por lo tanto

∫ 1/x(x ⁴ -1) dx

=-∫ 1/x dx+1/4 ∫ dx/(x+1)+1/4 ∫ dx/(x-1)+1/4 ∫ dx/(x²+1)

=-ln⁡|x|+1/4 ln⁡|(x+1)|+1/4 ln⁡|(x-1)|+1/4 ln⁡|(x²+1)|+c

=1/4 ln⁡|(x ⁴ -1)/x ⁴ |+c

Pregunta 54. ∫ 1/(x ⁴ -1) dx

Solución:

∫ 1/(x ⁴ -1) dx

Sea 1/(x ⁴ -1) =A/(x+1)+B/(x-1)+C/(x²+1)

1=A(x-1)(x²+1)+B(x+1)(x²+1)+C(x+1)(x-1)

Pon x=1

B=1/

Pon x=-1

A=-1/4

Pon x=0

C=-1/2

Por lo tanto,

∫ 1/(x ⁴ -1) dx

=-1/4 ∫ dx/(x+1)+1/4 ∫ dx/(x-1)-1/2 ∫ dx/(x²+1)

=-1/4 ln⁡|(x+1)|+1/4 ln⁡|(x-1)|-1/2 tan ^-1 ⁡x+c

=1/4 ln⁡|(x-1)/(x+1)|-1/2 tan ^-1 x+c

Pregunta 55. ∫ dx/(cos⁡x(5-4sin⁡x)) dx

Solución:

Sea I=∫ dx/(cos⁡x(5-4sin⁡x))

=∫ (cos⁡xdx)/(cos²⁡x(5-4sen⁡x))

=∫ (cos⁡xdx)/((1-sin²⁡x)(5-4sin⁡x))

Sea sen⁡x=t

porque ⁡x dx = dt

I=∫ dt/((1-t²)(5-4t))

Ahora,

Sea 1/((1-t²)(5-4t))=A/(1-t)+B/(1+t)+C/(5-4t)

1=A(1+t)(5-4t)+B(1-t)(5-4t)+C(1-t²)

Pon t=1

1=2A

A=1/2

Pon t=-1

1=18B

segundo=1/18

Pon t=5/4

1=-9C/16

do=-16/9

De este modo,

Yo=1/2∫dt/(1-t)+1/18∫dt/(1+t)-16/9∫dt/(5-4t)

=-1/2 log⁡|1-t|+1/18 log⁡|1+t|+4/9 log⁡|5-4t|+c

Por eso,

I=-1/2 log⁡|1-sin⁡x|+1/18 log⁡|1+sin⁡x|+4/9 log⁡|5-4sin⁡x|+c

Pregunta 56. ∫ 1/(senx(3+2cos⁡x)) dx

Solución:

Sea I =∫ 1/(senx(3+2cos⁡x)) dx

=∫ (sen⁡xdx)/(sen²x(3+2cos⁡x))

=∫ (sen⁡xdx)/((1-cos²x)(3+2cos⁡x))

Sea cos⁡x=t

-sen⁡xdx=dt

I=∫ dt/((t²-1)(3+2t))

Ahora,

Sea 1/((t²-1)(3+2t))=A/(t-1)+B/(t+1)+C/(3+2t)

1=A(t+1)(3+2t)+B(t-1)(3+2t)+C(t²-1)

Pon t=1

1=10A

A=1/10

Pon t=-1

1=-2B

B=-1/2

Pon t=-3/2

1=5/4C

do=4/5

De este modo,

I=1/10∫dt/(t-1)-1/2∫dt/(t+1)+5/4∫dt/(3+2t)

=1/10 log⁡|t-1|-1/2 log⁡|t+1|+2/5 log⁡|3+2t|+c

Por eso,

I=1/10 log⁡|cos⁡x-1|-1/2 log⁡|cos⁡x+1|+2/5 log⁡|3+2cos⁡x|+c

Pregunta 57. ∫1/(sen⁡x+sen⁡2x) dx

Solución:

Sea I=∫1/(sin⁡x+sin⁡2x) dx

=∫ dx/(sen⁡x+2sen⁡xcos⁡x)

=∫ (sen⁡xdx)/((1-cos²⁡x)+2(1-cos²x)cos⁡x)

Sea cos⁡x=t

-sen⁡xdx=dt

yo =∫ dt/((t²-1)+2(t²-1)t)

=∫ dt/((t²-1)(1+2t))

Sea ∫1/((t²-1)(1+2t))=A/(t-1)+B/(t+1)+C/(1+2t)

1=A(t+1)(1+2t)+B(t-1)(1+2t)+c(t²-1)

Pon t=1

1=6A

A=1/6

Pon t=-1

1=2B

B=1/2

Pon t=-1/2

1=-3/4C

C=-4/3

De este modo,

I=1/6∫dt/(t-1)+1/2∫dt/(t+1)-4/3∫dt/(1+2t)

=1/6 log⁡|t-1|+1/2 log⁡|t+1|-2/3 log⁡|1+2t|+c

Por eso,

I=1/6 log|cosx-1| +1/2 log|cosx+1| -2/3 log|1+2cosx| +c

Pregunta 58. ∫(x+1)/x(1+xe ^x ) dx

Solución:

Sea I=∫(x+1)/x(1+xe ^x ) dx

=∫((x+1)(1+xe ^x -xe ^x ))/x(1+xe ^x ) dx

=∫((x+1)(1+xe ^x ))/x(1+xe ^x ) dx – ∫((x+1)(xe ^x ))/x(1+xe ^x ) dx

=∫((x+1))/x dx-∫(e ^x (x+1))/(1+xe ^x ) dx

=∫((x+1)e ^x )/(xe ^x ) dx-∫(e ^x (x+1))/(1+xe ^x ) dx

=log⁡|xe ^x |-log⁡|1+xe ^x |+c

I=log⁡|(xe ^x )/(1+xe ^x )|+c

Pregunta 59. ∫ (x²+1)(x²+2)/(x²+3)(x²+4) dx

Solución:

f(x)=(x²+1)(x²+2)/(x²+3)(x²+4)

Ahora,

((x²+1)(x²+2)/(x²+3)(x²+4)

=(x ⁴ +3x ² +2)/(x ⁴ +7x ² +12)

=(( ^x4 +7x²+12)-4x²-10)/(x4 ⁺ 7x²+12)

=1-(4x²+10)/(x4 ⁺ 7x²+12)

Ahora,

(4x²+10)/(x4 ⁺ 7x²+12)

=(4x²+10)/(x²+3)(x²+4)

Sea (4x²+10)/(x²+3)(x²+4) =(Ax+B)/(x²+3)+(Cx+D)/(x²+4)

4x²+10=(Ax+B)(x²+4)+(Cx+D)(x²+3)

Sea x=0, obtenemos

10=48+3D—————————–(i)

Si x=1, obtenemos

14=5(A+B)+4(C+D)=5A+5B+4C+4D——————(ii)

si x=-1, obtenemos

14=5(-A+B)+4(-C+D)=-5A+5B-4C+4D—————-(iii)

Aplicando (ii) y (iii) obtenemos,

28=10B+8D

1=5B+4D ——————————–(iv)

De (i) obtenemos,

10=4B+3D

Multiplicando la ecuación (iv) por 3 y (i) por 4 y restando, obtenemos

42-40=15B-16B

2=-B

B=-2

Poniendo el valor de B en (i), obtenemos

10=4(-2)+3D

(10+8)/3=D

D=6

Comparación de coeficientes de x ³ en

4x²+10=(Ax+B)(x²+4)+(Cx+4)(x²+3),

obtenemos

0=A+C

Comparando los coeficientes de x, obtenemos

0=4A+3C

A=C=0

f(x)=1-(-2)/(x²+3)-6/(x²+4)

=1+2/(x²+3)-6/(x²+4)

∫ f(x)dx=∫ 1+2/(x²+3)-6/(x²+4) dx

=x+2/√3 bronceado ^-1 x/√3-3 bronceado ^-1 ⁡x/2+c

Pregunta 60. ∫ (4×4+3)/ ((x²+2)(x²+3)(x²+4)) dx

Solución:

sea ​​x²=y

(4x ⁴ +3)/(x²+2)(x²+3)(x²+4)

=(4y²+3)/((y+2)(y+3)(y+4))

Ahora,

Sea (4y²+3)/((y+2)(y+3)(y+4))=A/(y+2)+B/(y+3)+C/(y+4)

4y²+3 =A(y+3)(y+4)+B(y+2)(y+4)+c(y+2)(y+3)

=(A+B+C)y²+(7A+6A+5C)y+12A+8B+6C

Igualando términos similares,

A+B+C=4,

7A+6A+5C=0,

12A+8B+6C=3

Resolviendo, obtenemos

A=19/2,

B=-39,

do=67/2

De este modo,

I=19/2 ∫ dx/(x²+2)+(-39)∫ dx/(x²+3)+67/2 ∫ dx/(x²+4)

I=19/(2√2) bronceado ^-1 ⁡(x/√2)-39/√3 bronceado ^-1 ⁡(x/√3)+67/4 bronceado ^-1 ⁡(x/2)+c

Por eso,

I=19/(2√2) bronceado ^-1 ⁡(x/√2)-39/√3 bronceado ^-1 ⁡(x/√3)+67/4 bronceado ^-1 ⁡(x/2)+c

Pregunta 61. ∫ x ⁴ /((x-1)(x²+1)) dx

Solución:

x ⁴ /((x-1)(x²+1))=x ⁴ /(x ³ -x²+x-1)

=(x(x ³ -x²+x-1)+1(x ³ -x²+x-1)+1)/((x ³ -x²+x-1))

=x+1+1/((x-1)(x²+1))

Ahora,

1/((x-1)(x²+1))=A/(x-1)+(Bx+C)/(x²+1)

1=A(x²+1)+(8x+C)(x-1)

Pon x=1

1=2A

A=1/2

Pon x=0

1=CA

C=A-1=-1/2

Pon x=-1

1=2A+2B-2C

=2(CA)+2B

1=2+2B

2B=-1

B=-1/2

∫ x ⁴ /((x-1)(x²+1)) dx

=∫ xdx+∫ 1dx+1/2 ∫ 1/(x-1) dx-1/2 ∫ (x+1)/(x²+1) dx

=x²/2+x+1/2 log⁡|x-1|-1/4 log|⁡(x²+1)|-1/2 tan ^-1 ⁡x+c