Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.32

Pregunta 1. ∫1/[(x − 1)√(x + 2)]dx

Solución:

Tenemos,

∫1/[(x − 1)√(x + 2)]dx

Sea x + 2 = t ² , entonces obtenemos, xdx = 2tdt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= ∫2t/(t ² − 3)(t)dt

= 2∫dt/(t ² − 3)

= (2/2√3) log |(t − √3)/(t + √3)| +c

= (1/√3) log |(√(x − 2) − √3)/(√(x − 2) + √3)| +c 

Pregunta 2. ∫1/[(x − 1)√(2x + 3)]dx

Solución:

Tenemos,

∫1/[(x − 1)√(2x + 3)]dx

Sea 2x + 3 = t ² , entonces tenemos, 2dx = 2tdt,

=> dx = tdt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= ∫t/[(t ² − 3 − 2)/2](t)dt

= 2∫dt/(t ² − 5)

= (2/2√5) log |(t − √5)/(t + √5)| +c

= (1/√5) log |(√(2x + 3) − √5)/(√(2x + 3) + √5)| +c 

Pregunta 3. ∫(x + 1)/[(x − 1)√(x + 2)]dx

Solución:

Tenemos,

∫(x + 1)/[(x − 1)√(x + 2)]dx

= ∫(x − 1 + 2)/[(x − 1)√(x + 2)]dx

= ∫(x − 1)/[(x − 1)√(x + 2)]dx + ∫2/[(x − 1)√(x + 2)]dx

= ∫(dx/√(x + 2)] + 2∫dx/[(x − 1)√(x + 2)]

En la segunda parte, sea x + 2 = t ² , entonces obtenemos, xdx = 2tdt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= ∫(dx/√(x + 2)] + ∫2t/(t ² − 3)(t)dt

= ∫(dx/√(x + 2)] + 2∫dt/(t ² − 3)

= 2√(x + 2) + c ₁ + (4/2√3) log |(t − √3)/(t + √3)| + do ₂

= 2√(x + 2) + (2/√3) log |(√(x − 2) − √3)/(√(x − 2)+√3)| +c

Pregunta 4. ∫x ² /[(x − 1)√(x + 2)]dx 

Solución:

Tenemos,

∫x ² /[(x − 1)√(x + 2)]dx 

= ∫(x ² − 1 + 1)/[(x − 1)√(x + 2)]dx 

= ∫(x − 1)(x + 1)/[(x − 1)√(x + 2)]dx + ∫dx/[(x − 1)√(x + 2)]

= ∫(x + 1)/[√(x + 2)]dx + ∫dx/[(x − 1)√(x + 2)]

= ∫[(x + 2) − 1]/[√(x + 2)]dx + ∫dx/[(x − 1)√(x + 2)]

= ∫√(x + 2)dx − ∫dx/[√(x + 2)] + ∫dx/[(x − 1)√(x + 2)]

En la tercera parte, sea x + 2 = t ² , entonces obtenemos, xdx = 2tdt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= ∫√(x + 2)dx − ∫dx/[√(x + 2)] + ∫2t/(t ² − 3)(t)dt

= ∫√(x + 2)dx − ∫dx/[√(x + 2)] + 2∫dt/(t ² − 3)

= (2/3)(x + 2) ^3/2 + c ₁ − 2√(x + 2) + c ₂ + (2/2√3) log |(t − √3)/(t + √3 )| + do ₃

= (2/3)(x + 2) ^3/2 − 2√(x + 2) + (1/√3) log |(√(x − 2) − √3)/(√(x − 2) + √3)| +c

Pregunta 5. ∫x/[(x − 3)√(x + 1)]dx

Solución:

Tenemos,

∫x/[(x − 3)√(x + 1)]dx

= ∫[(x − 3) + 3]/[(x − 3)√(x + 1)]dx

= ∫dx/[√(x + 1)] + 3∫dx/[(x − 3)√(x + 1)]

Para la segunda parte, sea x + 1 = t ² , entonces obtenemos dx = 2tdt.

Entonces, la ecuación se convierte en,

= ∫dx/[√(x + 1)] + 3∫2tdt/[(t ² − 4)(t)]

= 2√(x + 1) + c ₁ + (3/2) log |(t − 2)/(t + 2)| + do ₂

= 2√(x + 1) + (3/2) log |(√(x + 1) − 2)/(√(x + 1) + 2)| +c

Pregunta 6. ∫1/[(x ² + 1)√x]dx

Solución:

Tenemos,

∫1/[(x ² + 1)√x]dx

Sea x = t ² , entonces tenemos, dx = 2tdt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= 2∫t/[(t ⁴ + 1)(t)]dt

= 2∫dt/(t ⁴ + 1)

= 2∫(t/t ² )/(t ² + 1/t ² )dt

= ∫[1 + 1/t ² − (1 − 1/t ² )]/(t ² + 1/t ² )dt

= ∫(1 + 1/t ² )/[(t − 1/t) ² + 2]dt − ∫(1 − 1/t ² )/[(t + 1/t) ² − 2]dt 

Sea t − 1/t = y, entonces tenemos, (1 + 1/t ² )dt = dy

Sea t + 1/t = z, entonces tenemos, (1 − 1/t ² )dt = dz

Entonces, la ecuación se convierte en,

= ∫dy/(y ² +2) − ∫dz/(z ² − 2)

= (1/√2) tan ⁻¹ (y/√2) − (1/2√2) log |(z − √2)/(z + √2)| +c

= (1/√2) tan ⁻¹ [(t ² −1)/√2t] − (1/2√2) log |[x + 1 − √(2x)]/[x + 1 + √(2x )]| +c

= (1/√2) tan ⁻¹ [(x−1)/√(2x)] − (1/2√2) log |[x + 1 − √(2x)]/[x + 1 + √( 2x)]| +c

Pregunta 7. ∫x/[(x ² + 2x + 2)√(x + 1)]dx

Solución:

Tenemos,

∫x/[(x ² + 2x + 2)√(x + 1)]dx

Sea x + 1 = t ² , entonces tenemos, dx = 2tdt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= 2∫(t ² − 1)(t)/[(t ⁴ + 1)(t)]dt

= 2∫(t ² − 1)/(t ⁴ + 1)dt

= 2∫(1 − 1/t ² )/[(t + 1/t) ² − 2]dt

Sea t + 1/t = y, entonces tenemos, (1 − 1/t ² )dt = dy

Entonces, la ecuación se convierte en,

= 2∫dy/(y ² − 2)

= (2/2√2) log |(y − √2)/(y + √2)| +c

= (1/√2) log |(t ² + 1 − √2t)/(t ² + 1 + √2t)| +c

= (1/√2) log |[x + 2 − √(2x + 2)]/[x + 2 + √(2x + 2)]| +c

Pregunta 8. ∫1/[(x − 1)√(x ² + 1)]dx

Solución:

Tenemos,

∫1/[(x − 1)√(x ² + 1)]dx

Sea x − 1 = 1/t, entonces tenemos dx = (−1/t ² )dt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= −∫(1/t ² )/[(1/t)√[(1 + 1/t) ² + 1]]dt

= −∫dt/√(2t ² + 2t + 1)

= −(1/√2)∫dt/√(t ² + t + 1/2)

= −(1/√2)∫dt/√[(t + 1/2) ² + 1/4]

= −(1/√2) log |(t + 1/2) + √[(t + 1/2) ² + 1/4]| +c

= −(1/√2) log |(1/(x − 1) + 1/2) + √[(1/(x−1) + 1/2) ² + 1/4]| +c

Pregunta 9. ∫1/[(x + 1)√(x ² + x + 1)]dx

Solución:

Tenemos,

∫1/[(x + 1)√(x ² + x + 1)]dx

Sea x + 1 = 1/t, entonces tenemos dx = (−1/t ² )dt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= −∫(1/t ² )/[(1/t)√(1/t ² + 1/t − 1)]dt

= −∫dt/√(1 + t − t ² )

= −∫dt/√[5/4 − (1/4 − t + t ² )]

= −∫dt/√[5/4 − (t − 1/2) ² ]

= − sen ⁻¹ [(t − 1/2)/(√5/2)] + c

= − sen ⁻¹ [(2t − 1)/√5] + c

= − sen ⁻¹ [(1 − x)/[√5(x + 1)]] + c

Pregunta 10. ∫1/[(x ² − 1)√(x ² + 1)]dx

Solución:

Tenemos,

∫1/[(x2 − ¹ )√(x2 + ¹ )]dx

Sea x = 1/t, entonces obtenemos, dx = (−1/t ² )dt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= −∫(1/t ² )/[(1/t ² − 1)√(1/t ² + 1)]dt

= −∫t/[(1 − t ² )√(1 + t ² )]dt

Sea 1 + t ² = y ² , entonces tenemos, 2tdt = 2ydy

=> tdt = ydy

Entonces, la ecuación se convierte en,

= ∫ydy/(y ² − 2)y

= ∫dy/(y ² − 2)

= (1/2√2) log |(y − √2)/(y + √2)| +c

= (1/2√2) log |(y − √2)/(y + √2)| +c

= (1/2√2) log |[√(1 + t ² ) − √2]/[√(1 + t ² ) + √2]| +c

= −(1/2√2) log |[√2x + √(x ² + 1)]/[√2x − √(x ² + 1)]| +c

Pregunta 11. ∫x/[(x ² + 4)√(x ² + 1)]dx

Solución:

Tenemos,

∫x/[(x2 + ⁴ )√(x2 + ¹ )]dx

Sea x ² + 1 = t ² , entonces obtenemos, 2xdx = 2tdt

=> xdx = tdt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= ∫t/(t ² + 3)(t)dt

= ∫dt/(t ² + 3)

= (1/√3) tan ⁻¹ (t/√3) + c

= (1/√3) tan ⁻¹ [√(x ² + 1)/√3] + c

Pregunta 12. ∫1/[(1 + x ² )√(1 − x ² )]dx 

Solución:

Tenemos,

∫1/[(1 + x ² )√(1 − x ² )]dx 

Sea x = 1/t, entonces obtenemos, dx = (−1/t ² )dt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= −∫(1/t ² )/[(1/t ² + 1)√(1 − 1/t ² )]dt

= −∫t/[(t ² + 1)√(t ² − 1)]dt

Sea t ² − 1 = y ² , entonces obtenemos, 2tdt = 2ydy

=> tdt = ydy

Entonces, la ecuación se convierte en,

= −∫y/[(y ² + 2)(y)]dy

= −∫1/(y ² + 2)dy

= −(1/√2) tan ⁻¹ (y/√2) + c

= −(1/√2) tan ⁻¹ (√(t ² − 1)/√2) + c

= −(1/√2) tan ⁻¹ (√(1 − x ² )/√2x) + c

Pregunta 13. ∫1/[(2x ² + 3)√(x ² − 4)]dx 

Solución:

Tenemos,

∫1/[(2x ² + 3)√(x ² − 4)]dx 

Sea x = 1/t, entonces tenemos dx = (−1/t ² )dt

Entonces, la ecuación se convierte en,

= −∫(1/t ² )/[(2/t ² + 3)√(1/t ² − 4)]dt

= −∫t/[(2 + 3t ² )√(1−4t ² )]dt

Sea 1 − 4t ² = y ² , entonces obtenemos, −8tdt = 2ydy

Entonces, la ecuación se convierte en,

= (1/4) ∫y/[(11 − 3y ² )y/4]dy

= (1/3) ∫1/(11/3 − y ² )dy

= (1/2√33) log |[y − √(11/3)]/[y + √(11/3)]| +c

= (1/2√33) log |[√(1 − 4t ² ) − √(11/3)]/[√(1 + 4t ² ) + √(11/3)]| +c

= (1/2√33) log |[√(11x) + √(3x ² − 12)]/[√(11x) − √(3x ² − 12)]| +c

Pregunta 14. ∫x/[(x ² + 4)√(x ² + 9)]dx 

Solución:

Tenemos,

∫x/[(x2 + ⁴ )√(x2 ⁺ 9)]dx 

Sea x ² + 9 = y ² , entonces tenemos 2xdx = 2ydy

=> xdx = ydy

Entonces, la ecuación se convierte en,

= ∫y/[(y ² − 5)y]dy

= ∫1/(y ² − 5)dy

= (1/2√5) log |(y − √5)/(y + √5)| +c

= (1/2√5) log |(√(x ² + 9) − √5)/(√(x ² + 9) + √5)| +c