Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.8

Pregunta 1. Evalúa ∫ 1/√1 – cos2x dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1/√1 – cos2x dx

∫ 1/√1 – cos2x dx = ∫1/√2sen ² x dx

= ∫ 1/(√2 senx) dx

= (1/√2) ∫ cosec x dx

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= (1/√2) log|tan x/2| +c

Por lo tanto, I = (1/√2) log|tan x/2| +c

Pregunta 2. Evalúa ∫ 1/√1 + cos2x dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1/√1 + cos2x dx

∫ 1/√1 + cos2x dx = ∫1/√2cos ² x/2 dx

= ∫ 1/(√2 cosx/2) dx

= (1/√2) ∫ seg x/2 dx

= (1/√2) ∫ cosec (π/2 + x/2) dx

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= (2/√2) log|tan (π/4 + x/4| + c

Por lo tanto, I = √2 log|tan (π/4 + x/4| + c

Pregunta 3. Evaluar $∫ \sqrt{\frac{1 + cos2x}{1 - cos2x}} dx$

Solución:

Supongamos que yo = $∫ \sqrt{\frac{1 + cos2x}{1 - cos2x}} dx$

= ∫ √(2 cos ² x/2 sen ² x) dx

= ∫ √cot ² x dx

= ∫ cox dx

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= log|senx| + c [∫ cotx dx = log|senx| +c]

Por lo tanto, I = log|senx| +c

Pregunta 4. Evaluar $∫ \sqrt{\frac{1 - cos2x}{1 + cos2x}} dx$

Solución:

Supongamos que yo = $∫ \sqrt{\frac{1 - cos2x}{1 + cos2x}} dx$

= $∫ \sqrt{\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{2cos^2\frac{x}{2}}} dx$

= ∫ √tan ² x/2 dx

= ∫ tanx/2 dx

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= -2log|cosx/2| + c [∫ tanx dx = – log|cosx| +c]

Por lo tanto, I = -2log|cosx/2| +c

Pregunta 5. Evalúa ∫secx/sec2x dx

Solución:

Supongamos que I = ∫secx/sec2x dx

∫segx/seg2x dx

= $∫ \frac{\frac{1}{cosx}}{\frac{1}{cos2x}} dx$

= ∫cos2x/cosx dx

= $∫ \frac{2cos^2x - 1}{cosx} dx$

= $∫ \frac{2cos^2x}{cosx} dx - ∫ \frac{1}{cosx} dx$

= ∫ 2cosx dx – ∫ secx dx

= 2∫ cosx dx – ∫ secx dx

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= 2senx – log|secx + tanx| +c

Por lo tanto, I = 2senx – log|secx + tanx| +c

Pregunta 6. Evalúa ∫ cos2x/(cosx + senx) ² dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ cos2x/(cosx + senx) ² dx

∫ cos2x/(cosx + senx) ² dx

= $∫ \frac{cos2x}{(cos^2x + sin^2x + 2sinxcosx)} dx$

= ∫ cos2x/(1 + sen2x) dx ………….(i)

Pon 1 + sen2x = t

2cos2x dx = dt

Ponga todos estos valores en la ecuación (i) entonces, obtenemos

= 1/2 ∫ 1/t dt

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= 1/2 registro|t| +c

= 1/2 log|1 + sen2x| +c

= 1/2 log|(cosx + senx) ² | +c

Por lo tanto, I = log|senx + cosx| +c

Pregunta 7. Evalúa ∫ sin(x – a)/sin(x – b) dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ sin(x – a)/sin(x – b) dx

∫ sin(x – a)/sin(x – b) dx = ∫ sin(x – a + b – b)/sin(x – b) dx

= ∫ sen(x – b + b – a)/sen(x – b) dx

= $∫ \frac{sin(x - b)cos(b - a) + cos(x - b)sin(b - a)}{sin(x - b)} dx$

= $∫ \frac{sin(x-b)cos(b-a)}{sin(x-b)} dx + ∫ \frac{cos(x-b)sin(b-a)}{sin(x-b)} dx$

= ∫ cos(b – a) dx + ∫ cot(x – b)sen(b – a) dx

= cos(b – a) ∫dx + sin(b – a)∫ cot(x – b) dx

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= xcos(b – a) + sen(b – a) log|sen(x – b)| +c

Por lo tanto, I = xcos(b – a) + sin(b – a) log|sin(x – b)| +c

Pregunta 8. Evalúa ∫ sin(x – a)/sin(x + a) dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ sin(x – a)/sin(x + a) dx

∫ sin(x – a)/sin(x + a) dx = ∫ sin(x – a + a – a)/sin(x + a) dx

= ∫ sin(x + a – 2a)/sin(x + a) dx

= $∫ \frac{sin(x + a)cos(2a) - cos(x + a)sin(2a)}{sin(x + a)} dx$

= $∫ \frac{sin(x+a)cos2a)}{sin(x+a)} dx - ∫\frac{cos(x+a)sin(2a)}{sin(x+a)} dx$

= ∫ cos(2a) dx – ∫ cot(x+a)sen(2a) dx

= cos(2a) ∫dx + sin(2a)∫ cot(x+a) dx

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

xcos(2a) + sen(2a) log|sen(x + a)| +c

Por lo tanto, I = xcos(2a) + sin(2a) log|sin(x + a)| +c

Pregunta 9. Evalúa ∫ 1 + tanx/1 – tanx dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1 + tanx/1 – tanx dx

∫ 1 + tanx/1 – tanx dx

= $∫ \frac{1 + (\frac{sinx}{cosx})}{1 - (\frac{sinx}{cosx})} dx$

= $∫ \frac{\frac{(cosx + sinx)}{cosx}}{\frac{(cosx-sinx)}{cosx}} dx$

= ∫ (cosx + senx) / (cosx – senx) dx ………….(i)

Poner cosx – senx dx = t

(-senx – cosx) dx = dt

– (senx + cosx) dx = dt

dx = – dt/(senx + cosx)

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= – ∫dt/t

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= – registro|t| +c

= – log|cosx – senx| +c

Por lo tanto, I = – log|cosx – senx| +c

Pregunta 10. Evalúa ∫ cosx/cos(x – a) dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ cosx/cos(x – a) dx

∫ cosx/cos(x – a) dx = ∫ cos(x + a – a)/cos(x – a) dx

= ∫ [cos(x – a)cosa – sen(x – a)sina]/cos(x – a) dx

= ∫ [cos(x – a)cosa]/cos(x – a) dx – ∫ [sen(x – a)sina]/cos(x – a) dx

= ∫ cosa dx – ∫ tan(x – a)sina dx

= cosa ∫dx – sina∫ tan(x – a) dx

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= x cosa – sina log|sec(x – a)| +c

Por tanto, I = x cosa – sina log|sec(x – a)| +c

Pregunta 11. Evaluar $∫ \sqrt{\frac{1-sin2x}{1+sin2x}}dx$

Solución:

Supongamos que yo = $∫ \sqrt{\frac{1-sin2x}{1+sin2x}}dx$

= $∫ \sqrt{\frac{1 - cos(\frac{π}{2} - 2x)}{1 + cos(\frac{π}{2} - 2x)}} dx$

= $∫ \sqrt{\frac{2sin^2(\frac{π}{4} - x)}{2cos^2(\frac{π}{4} - x)}} dx$

= ∫ √tan ² (π/4 – x) dx

= ∫ tan(π/4 – x) dx

Integrar la ecuación anterior entonces obtenemos

= log|cos(π/4 – x)| +c

Por lo tanto, I = log|cos(π/4 – x)| +c

Pregunta 12. Evalúa ∫ e ^3x /(e ^3x + 1) dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ e ^3x /(e ^3x + 1) dx ………..(i)

Ponga e ^3x + 1 = t, entonces

3e ^3x dx = dt

dx = dt/3e ^3x

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= 1/3 ∫dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= 1/3 registro|t| +c

= 1/3 registro |3e ^3x + 1| +c

Por lo tanto, I = 1/3 log |3e ^3x + 1| +c

Pregunta 13. Evalúa ∫ secxtanx/3secx + 5 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ secxtanx/3secx + 5 dx ………..(i)

Poner 3secx + 5 = t

3segxtanx dx = dt

dx = dt/3segxtanx

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= 1/3 ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= 1/3 registro|t| +c

= 1/3 log|3segx + 5| +c

Por lo tanto, I = 1/3 log|3secx + 5| +c

Pregunta 14. Evalúa ∫ 1 – cotx/1 + cotx dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1 – cotx/1 + cotx dx

= $∫ \frac{1-(\frac{cosx}{sinx})}{1+(\frac{cosx}{sinx})} dx$

= $∫ \frac{\frac{(sinx-cosx)}{sinx}}{\frac{(sinx+cosx)}{sinx}} dx$

= $∫ \frac{sinx-cosx }{ sinx+cosx} dx$ ………..(yo)

Poner senx + cosx = t

cosx – senx dx = dt

-(senx – cosx) dx = dt

– dx = dt/senx – cosx

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= ∫ – dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= – registro|t| +c

= – log|senx + cosx| +c

Por lo tanto, I = – log|senx + cosx| +c

Pregunta 15. Evalúa ∫ secxcosecx/log(tanx) dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ secxcosecx/log(tanx) dx ………..(i)

log(tanx) = t

secxcosecx dx = dt

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= registro|t| +c

= log|log(tanx)| +c

Por lo tanto, I = log|log(tanx)| +c

Pregunta 16. Evalúa ∫1/ x(3+logx) dx

Solución:

Supongamos que I = ∫1/ x(3+logx) dx ………..(i)

Sea 3 + logx = t

d(3 + log x) = dt

\1/x dx = dt

dx = x dt

Poniendo 3 + logx =t y dx = xdt en la ecuación (i), obtenemos,

= ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= registro |t| +c

= registro|(3 + registro x)| +c

Por lo tanto, I = log|(3 + log x)| +c

Pregunta 17. Evalúa ∫ e ^x + 1 / e ^x + x dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ e ^x + 1 / e ^x + x dx ………..(i)

Sea e ^x + x = t

d(ex + ^x ) = dt

(ex + 1) dx ⁼ dt

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= registro |t| +c

= log|e ^x + x| +c

Por lo tanto, I = log|e ^x + x| +c

Pregunta 18. Evalúa ∫1/ (xlogx) dx

Solución:

Supongamos que I = ∫1/(xlogx) dx ………..(i)

Sea logx = t

d(log x) = dt

1/x dx = dt

dx = x dt

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= registro |t| +c

= registro|(registro x)| +c

Por lo tanto, I = log|(log x)| +c

Pregunta 19. Evalúa ∫ sen2x/ (acos ² x + bsen ² x) dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ sen2x/ (acos ² x + bsen ² x) dx ………..(i)

Sea acos ² x + bsen ² x = t

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

d(acos ² x + bsen ² x) = dt

[a(2 cosx (-senx)) + b(2senxcosx)] dx = dt

[ -a (2 cosx senx) + b(2 senx cosx)] dx = dt

[ -a sen2x + bsen2x] dx = dt

sen2x (-a + b) dx = dt

sen2x (b – a) dx = dt

sen2x dx = dt/(b – a)

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= 1/(b – a) ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= 1/(b – a) registro |t| +c

= 1/(b – a) log|acos ² x + bsen ² x| +c

Por tanto, I = 1/(b – a) log|acos ² x + bsen ² x| +c

Pregunta 20. Evalúa ∫ cosx/ 2 + 3senx dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ cosx/ 2 + 3senx dx ………..(i)

Sea 2 + 3senx = t

d(2 + 3senx) = dt

3cosx dx = dt

cosx dx = dt/3

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= 1/3 ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= 1/3 registro |t| +c

= 1/3 log|2 + 3senx| +c

Por lo tanto, I = 1/3 log|2 + 3senx| +c

Pregunta 21. Evalúa ∫ 1 – senx/ x + cosx dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1 – senx/ x + cosx dx ………..(i)

Sea x + cosx = t

d(x + cosx) = dt

(1 – senx) dx = dt

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= registro|t| +c

= log|x + cosx| +c

Por lo tanto, I = log|x + cosx| +c

Pregunta 22. Evalúa ∫ a/ b + ce ^x dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ a/ b + ce ^x dx

= $∫ \frac{a}{e^x(\frac{b}{e^x}+c)} dx$

= ∫ a/ e ^x (ser ^-x +c) dx ………..(i)

Sea ^-x + c = t

d(ser ^-x + c) = dt

-ser ^-x dx = dt

-b/e ^x dx = dt

1/e ^x dx = -dt/b

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= -a/b ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= -a/b registro|t| +c

= -a/b log|ser ^-x + c| +c

Por lo tanto, I = -a/b log|be ^-x + c| +c

Pregunta 23. Evalúa ∫ 1/ e ^x + 1 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ 1/ e ^x + 1 dx

= $∫\frac{1}{e^x[1 + \frac{1}{e^x}]} dx$

= ∫ 1/ e ^x [1 + e ^-x ] dx ………..(i)

Sea 1 + e ^-x = t

d(1 + e ^-x ) = dt

-e ^-x dx = dt

1/e ^x dx = -dt

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= -∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= -log|t| +c

= -log|1 + e ^-x | +c

Por lo tanto, I = -log|1 + e ^-x | +c

Pregunta 24. Evalúa ∫ cotx/logsinx dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ cotx/logsinx dx ………..(i)

Sea logsinx = t

d(logsinx) = dt

cosx/senx dx = dt

cox dx = dt

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= registro|t| +c

= log|log senx| +c

Por lo tanto, I = log|log senx| +c

Pregunta 25. Evalúa ∫ e ^2x / e ^2x – 2 dx

Solución:

Supongamos que I = ∫ e ^2x / e ^2x – 2 dx ………..(i)

Sea e ^2x – 2 = t

d(e ^2x – 2) = dt

e ^2x dx = dt

Ponga todos estos valores en la ecuación (i), obtenemos

= 1/2 ∫ dt/t

Integrando la ecuación anterior, obtenemos

= 1/2 registro|t| +c

= 1/2 log|e ^2x – 2| +c

Por lo tanto, I = 1/2 log|e ^2x – 2| +c

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yogirao y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.8 | Serie 1

Pregunta 1. Evalúa ∫ 1/√1 – cos2x dx

Pregunta 2. Evalúa ∫ 1/√1 + cos2x dx

Pregunta 3. Evaluar $∫ \sqrt{\frac{1 + cos2x}{1 - cos2x}} dx$

Pregunta 4. Evaluar $∫ \sqrt{\frac{1 - cos2x}{1 + cos2x}} dx$

Pregunta 5. Evalúa ∫secx/sec2x dx

Pregunta 6. Evalúa ∫ cos2x/(cosx + senx) ² dx

Pregunta 7. Evalúa ∫ sin(x – a)/sin(x – b) dx

Pregunta 8. Evalúa ∫ sin(x – a)/sin(x + a) dx

Pregunta 9. Evalúa ∫ 1 + tanx/1 – tanx dx

Pregunta 10. Evalúa ∫ cosx/cos(x – a) dx

Pregunta 11. Evaluar $∫ \sqrt{\frac{1-sin2x}{1+sin2x}}dx$

Pregunta 12. Evalúa ∫ e ^3x /(e ^3x + 1) dx

Pregunta 13. Evalúa ∫ secxtanx/3secx + 5 dx

Pregunta 14. Evalúa ∫ 1 – cotx/1 + cotx dx

Pregunta 15. Evalúa ∫ secxcosecx/log(tanx) dx

Pregunta 16. Evalúa ∫1/ x(3+logx) dx

Pregunta 17. Evalúa ∫ e ^x + 1 / e ^x + x dx

Pregunta 18. Evalúa ∫1/ (xlogx) dx

Pregunta 19. Evalúa ∫ sen2x/ (acos ² x + bsen ² x) dx

Pregunta 20. Evalúa ∫ cosx/ 2 + 3senx dx

Pregunta 21. Evalúa ∫ 1 – senx/ x + cosx dx

Pregunta 22. Evalúa ∫ a/ b + ce ^x dx

Pregunta 23. Evalúa ∫ 1/ e ^x + 1 dx

Pregunta 24. Evalúa ∫ cotx/logsinx dx

Pregunta 25. Evalúa ∫ e ^2x / e ^2x – 2 dx

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Pregunta 1. Evalúa ∫ 1/√1 – cos2x dx

Pregunta 2. Evalúa ∫ 1/√1 + cos2x dx

Pregunta 3. Evaluar

Pregunta 4. Evaluar

Pregunta 5. Evalúa ∫secx/sec2x dx

Pregunta 6. Evalúa ∫ cos2x/(cosx + senx) 2 dx

Pregunta 7. Evalúa ∫ sin(x – a)/sin(x – b) dx

Pregunta 8. Evalúa ∫ sin(x – a)/sin(x + a) dx

Pregunta 9. Evalúa ∫ 1 + tanx/1 – tanx dx

Pregunta 10. Evalúa ∫ cosx/cos(x – a) dx

Pregunta 11. Evaluar

Pregunta 12. Evalúa ∫ e 3x /(e 3x + 1) dx

Pregunta 13. Evalúa ∫ secxtanx/3secx + 5 dx

Pregunta 14. Evalúa ∫ 1 – cotx/1 + cotx dx

Pregunta 15. Evalúa ∫ secxcosecx/log(tanx) dx

Pregunta 16. Evalúa ∫1/ x(3+logx) dx

Pregunta 17. Evalúa ∫ e x + 1 / e x + x dx

Pregunta 18. Evalúa ∫1/ (xlogx) dx

Pregunta 19. Evalúa ∫ sen2x/ (acos 2 x + bsen 2 x) dx

Pregunta 20. Evalúa ∫ cosx/ 2 + 3senx dx

Pregunta 21. Evalúa ∫ 1 – senx/ x + cosx dx

Pregunta 22. Evalúa ∫ a/ b + ce x dx

Pregunta 23. Evalúa ∫ 1/ e x + 1 dx

Pregunta 24. Evalúa ∫ cotx/logsinx dx

Pregunta 25. Evalúa ∫ e 2x / e 2x – 2 dx

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Pregunta 3. Evaluar $∫ \sqrt{\frac{1 + cos2x}{1 - cos2x}} dx$

Pregunta 4. Evaluar $∫ \sqrt{\frac{1 - cos2x}{1 + cos2x}} dx$

Pregunta 6. Evalúa ∫ cos2x/(cosx + senx) ² dx

Pregunta 11. Evaluar $∫ \sqrt{\frac{1-sin2x}{1+sin2x}}dx$

Pregunta 12. Evalúa ∫ e ^3x /(e ^3x + 1) dx

Pregunta 17. Evalúa ∫ e ^x + 1 / e ^x + x dx

Pregunta 19. Evalúa ∫ sen2x/ (acos ² x + bsen ² x) dx

Pregunta 22. Evalúa ∫ a/ b + ce ^x dx

Pregunta 23. Evalúa ∫ 1/ e ^x + 1 dx

Pregunta 25. Evalúa ∫ e ^2x / e ^2x – 2 dx