Pregunta 1(i). Encuentre gof y fog cuando f: R -> R y g: R -> R está definido por f(x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 + 5
Solución:
f: R -> R y g: R -> R
Por lo tanto, niebla: R -> R y gof: R -> R
Ahora, f(x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 + 5
gof(x) = g(2x + 3) =(2x + 3) 2 + 5
=> gof(x) = 4x 2 + 12x + 14
niebla(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 5) = 2(x 2 + 5) + 3
=> niebla(x) = 2x 2 + 13
Pregunta 1(ii). Encuentre gof y fog cuando f: R -> R y g: R -> R está definido por f(x) = 2x + x 2 y g(x) = x 3
Solución:
f(x) = 2x + x 2 y g(x) = x 3
gof(x) = g(f(x)) = g(2x + x 2 )
gof(x) =(2x + x 2 ) 3
niebla(x) = f(g(x)) = f(x 3 )
niebla(x) = 2x 3 + x 6
Pregunta 1(iii). Encuentre gof y fog cuando f: R -> R y g: R -> R está definido por f(x) = x 2 + 8 y g(x) = 3x 3 + 1
Solución:
f(x) = x 2 + 8 y g(x) = 3x 3 + 1
Así, gof(x) = g [f(x)]
=> gof(x) = g [x 2 + 8]
=> gof(x) = 3 [x 2 + 8] 3 + 1
Del mismo modo, niebla(x) = f [g(x)]
=> niebla(x) = f [3x 3 + 1]
=> niebla(x) = [3x 3 + 1] 2 + 8
=> niebla(x) = [9x 6 + 1 + 6x 3 ] + 8
=> niebla(x) = 9x 6 + 6x 3 + 9
Pregunta 1(iv). Encuentre gof y fog cuando f: R -> R y g: R -> R está definido por f(x) = x y g(x) = | x |
Solución:
f(x) = x y g(x) = | x |
Ahora, gof = g(f(x)) = g(x)
gof(x) = | x |
gof(x) = | x |
y, niebla(x) = f(g(x)) = f(x)
niebla(x) = | x |
Pregunta 1(v). Encuentre gof y fog cuando f: R -> R y g: R -> R está definido por f(x) = x 2 + 2x – 3 y g(x) = 3x – 4
Solución:
f(x) = x 2 + 2x – 3 y g(x) = 3x – 4
Ahora, gof(x) = g(f(x)) = g(x 2 + 2x – 3)
gof(x) = 3(x 2 + 2x – 3) -4
gof(x) = 3x 2 + 6x – 13
y niebla(x) = f(g(x)) = f(3x – 4)
niebla(x) =(3x – 4) 2 + 2(3x – 4) – 3
= gx 2 + 16 – 24x + 6x – 8 – 3
niebla(x) = 9x 2 – 18x + 5
Pregunta 1 (vi). Encuentre gof y fog cuando f: R -> R y g: R -> R está definido por f(x) = 8x 3 y g(x) = x 1/3
Solución:
f(x) = 8x 3 y g(x) = x 1/3
Ahora, gof(x) = g(f(x)) = g(8x 3 )
=(8x,3),1/3
gof(x) = 2x
y, niebla(x) = f(g(x)) = f(x 1/3 )
= 8(x1 /3 ) 3
niebla(x) = 8x
Pregunta 2. Sean f = {(3, 1), (9, 3), (12, 4)} y g = {(1, 3), (3, 3), (4, 9), (5, 9)} Muestre que gof y fog están definidos. Además, encuentre niebla y vaya f.
Solución:
Sea f = {(3, 1),(9, 3),(12, 4)} y
sol = {(1, 3),(3, 3),(4, 9),(5, 9)
Ahora,
rango de f = {1, 3, 4}
dominio de f = {3, 9, 12}
rango de g = {3, 9}
dominio de g = {1, 3, 4, 5}
ya que, rango de f ⊂ dominio de g
Por lo tanto, gof está bien definido.
rango de g ⊂ dominio de g
gof en bien definido.
Ahora gof = {(3, 3),(9, 3),(12, 9)}
niebla = {(1, 1),(3, 1),(4, 3),(5, 3)}
Pregunta 3. Sean f = {(1, -1), (4, -2), (9, -3), (16, 4)} y g = {(-1, -2), (-2, -4), (-3, -6), (4, 8)} Muestre que gof está definido mientras que fog no está definido. Además, encuentre go f.
Solución:
Tenemos,
f = {(1, -1),(4, -2),(9, -3),(16, 4)} y
sol = {(-1, -2),(-2, -4),(-3, -6),(4, 8)}
Ahora,
Dominio de f = {1, 4, 9, 16}
Rango de f = {-1, -2, -3, 4}
Dominio de g = {-1, -2, -3, 4}
Rango de g = {-2, -4, -6, 8}
Claramente rango de f = dominio de g
Por lo tanto, gof está definido.
pero, rango de g != dominio de f
Por lo tanto, la niebla no está definida.
Ahora,
gof(1) = g(-1) = -2
gof(4) = g(-2) = -4
gof(g) = g(-3) = -6
gof(16) = g(4) = 8
Por lo tanto, gof = {(1, -2),(4, -4),(9, -6),(16, 8)}
Pregunta 4. Sean A = {a, b, c}, B = {u, v, w} y sean f y g dos funciones de A a B y de B a A, respectivamente, definidas como: f = {( a, v), (b, u), (c, w)},g = {(u, b), (v, a), (w, x)}. Muestre que f y g son biyecciones y encuentre niebla y haga f.
Solución:
A = {a, b, c}, B = {u, v, w} y
f = A -> B y g: B -> A definida por
f = {(a, v), (b, u), (c, w)} y
g = {(u, b) .(v, a),(w, c)}
Tanto para f como para g, diferentes elementos de dominio tienen imágenes diferentes
Por lo tanto, f y g son uno-uno
Nuevamente, para cada elemento en el codominio de f y g, hay una preimagen en el dominio
Por lo tanto, f y g están sobre
Entonces f y f son biyectivas,
Ahora,
gof = {(a, a),(b, b),(c, c)} y
niebla = {(u, u),(v, v),(w, w)}
Pregunta 5. Encuentra fog(2) y gof(1) cuando: f: R -> R ; f(x) = x 2 + 8 y g: R -> R ; g(x) = 3×3 + 1 .
Solución:
Tenemos,
f: R -> R dado por f(x) = x 2 + 8 y
g: R -> R dado por g(x) = 3x 3 + 1
Por lo tanto,
niebla(x) = f(g(x)) = f(3x 3 + 1)
=(3×3 + 1 ) 2 + 8
Por lo tanto, niebla(2) =(3 * 8 + 1) 2 + 8 = 625 + 8 = 633
Otra vez
gof(x) = g(f(x)) = g(x 2 + 8)
= 3(x2 + 8) 3 + 1
gof(1) = 3(1 + 8) 3 + 1 = 2188
Pregunta 6. Sea R + el conjunto de todos los números reales no negativos. si: R + -> R + y g: R + -> R + se definen como f(x) = x 2 y g(x) = +√x, encuentre fog y gof . ¿Son funciones iguales?
Solución:
Tenemos, f: R + -> R + dado por
f(x) = x2
g: R + -> R + dado por
g(x) = √x
niebla(x) = f(g(x)) = f(√x) =(√x) 2 = x
También,
gof(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = √x 2 = x
De este modo,
niebla(x) = gof(x)
Pregunta 7. Sean f: R -> R y g: R -> R definidas por f(x) = x 2 y g(x) = x + 1. Demuestre que fog != go f.
Solución:
Tenemos f: R -> R y g: R -> R son dos funciones definidas por f(x) = x 2 y g(x) = x + 1
Ahora,
niebla(x) = f(g(x)) = f(x + 1) =(x + 1) 2
niebla(x) = x 2 + 2x + 1 —> eq(i)
gof(x) = g(f(x)) = g(f(x)) = g(x,2) = x 2 + 1 —->(ii)
de (i), (ii)
niebla != gof
Pregunta 8. Sean f: R -> R y g: R -> R definidas por f(x) = x + 1 y g(x) = x – 1. Demuestre que fog = gof = I R.
Solución:
Sean f: R -> R y g: R -> R definidas como .
f(x) = x +1 y g(x) = x – 1
Ahora,
niebla(x) = f(g(x)) = f(x – 1) = x – 1 + 1
= x = yo R —>(i)
Otra vez,
niebla(x) = f(g(x)) = g(x + 1) = x + 1 – 1
= x = I R —>(ii)
de i y ii
niebla = gof = I R
Pregunta 9. Verifique la asociatividad para las siguientes tres asignaciones: f: N -> Z 0 (el conjunto de números enteros distintos de cero), g: Z 0 -> Q y h: Q -> R dada por f(x) = 2x , g(x) = 1 / x y h(x) = e x
Solución:
Tenemos f: N -> Z 0 , g: Z 0 ->Q y
h: Q -> R
Además, f(x) = 2x, g(x) = 1 / x y h(x) = e x
Ahora, f: N -> Z 0 y hog: Z 0 -> R
(h og) de: N -> R
también, gof: N -> Q y h: Q -> R
ho(gof): N -> R
Así,(hog) of y ho(gof) existen y son funciones de N al conjunto R.
Finalmente,(cerdo) de(x) =(cerdo)(f(x)) =(cerdo)(2x)
= h(1 / 2x)
= mi 1/2x
Ahora, ho(gof)(x) = ho(g(2x)) = h(1 / 2x)
= mi 1/2x
Asociatividad verificada.
Pregunta 10. Considere f: N -> N, g: N -> N y h:N -> R como f(x) = 2x, g(y) = 3y + 4 y h(z) = sen z para todo x, y, z ∈ norte. Demuestre que ho(gof) =(hog) de .
Solución:
Tenemos,
ho(gof)(x) = h(gof(x)) = h(g(f(x)))
= h(g(2x)) h(3(2x) + 4)
= h(6x + 4) = sen(6x + 4) x ∈ N
((cerdo) de)(x) =(cerdo)(f(x)) =(cerdo)(2x)
= h(g(2x)) == h(3(2x) + 4)
= h(6x + 4) = sen(6x + 4) x ∈ N
Esto muestra, ho(gof) =(hog) de
Pregunta 11. Dé ejemplos de dos funciones f: N -> N y g: N -> N, tales que gof es sobre pero f no es sobre.
Solución:
Definir f: N -> N por, f(x) = x + 1
Y, g: N -> N por,
g(x) = x – 1 si x > 1
1 si x = 1
primero demuestre que f no es sobre.
para esto, considere el elemento 1 en el co-dominio N. Está claro que este elemento no es una imagen de ninguno de los elementos en el dominio N.
Por lo tanto, f no es sobre.
Ahora, gof: N -> N está definido.
Pregunta 12. Da ejemplos de dos funciones f: N -> Z yg: Z -> Z, tales que gof es inyectiva pero g no es inyectiva.
Solución:
Defina f: N -> Z como f(x) = x y g: z -> z como g(x) = | x | .
Primero mostramos que g no es inyectiva.
Se puede observar que:
g(-1) = | -1 | = 1
g(1) = | 1 | = 1
Por lo tanto, g(-1) = g(1), pero -1 != 1 .
Por lo tanto, g no es inyectiva.
Ahora, gof: N -> Z se define como gof(x) = g(f(x)) = g(x) = | x |.
Sea x, y EN tal que gof(x) = gof(y) .
=> | x | = | y |
Como x e y ∈ N, ambos son positivos.
| x | = | y | => x = y
Por lo tanto, gof es inyectivo
Pregunta 13. Si f: A -> B y g: B -> C son funciones uno a uno, demuestre que gof es una función uno a uno.
Solución:
Tenemos f: A -> B y g: B -> C son funciones uno – uno
Ahora tenemos que probar: gof: A -> C en uno – uno
sean x, y ∈ A tales que
gof(x) = gof(y)
=> g(f(x)) = g(f(y))
=> f(x) = f(y)
x = y
Por lo tanto, gof es una – una función.
Pregunta 14. Si f: A -> B y g: B -> C son funciones sobre, demuestre que gof es una función sobre.
Solución:
Tenemos, f: A -> B y g: B -> C son sobre funciones
Ahora, necesitamos probar: gof: A -> C in sobre
sea y ∈ C, entonces,
gof(x) = y
g(f(x)) = y –>(i)
Como g es sobre, para cada elemento en c, entonces existe una preimagen en B.
g(x) = y —->(ii)
de (i) y (ii)
f(x) = ∞
Como f es sobre, para cada elemento en B existe una preimagen en A
f(x) = ∞ —>(iii)
De (ii) y (iii) podemos concluir que para cada y ∈ c existe una preimagen en A
Tal que gof(x) = y
Por lo tanto, gof está en
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Artículo escrito por vishnuteja476 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA