Evalúe las siguientes integrales definidas:
Pregunta 45. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{1}^{4} \frac{x^2+x}{\sqrt{2x+1}}dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9dc40c5540f3627694c437786fdfe77_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Sea 2x + 1 = t 2 , entonces tenemos,
=> 2 dx = 2t dt
=> dx = t dt
Ahora, el límite inferior es, x = 1
=> t 2 = 2x + 1
=> t 2 = 2(1) + 1
=> t 2 = 3
=> t = √3
Además, el límite superior es, x = 4
=> t 2 = 2x + 1
=> t 2 = 2(4) + 1
=> t 2 = 9
=> t = 3
Entonces, la ecuación se convierte en,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo = 1/4 [3 5/5 – 3 – (√3) 5/5 + √3]
yo = 1/4[243/5 – 3 – 9√3/5 + √3]
Yo = 1/4((243 – 15 – 9√3 + 5√3)/5)
Yo = 1/4[(228 – 4√3)/5]
Yo = 1/4[4(57 – √3)/5]
Yo = (57 – √3)/5
Por lo tanto, el valor de
es (57 – √3)/5.
Pregunta 46. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{1} x(1-x)^5dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b23ae20ef9815019ab900ae0df14e4d4_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Usando el teorema del binomio en la expansión de (1 – x) 5 , obtenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo = 1/2 – 5/3 + 10/4 – 10/5 + 5/6 – 1/7
yo = 1/2 – 5/3 + 5/3 – 2 + 5/6 – 1/7
yo = 1/2 – 2 + 5/6 – 1/7
yo = 1/42
Por lo tanto, el valor de
es 1/42.
Pregunta 47. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{1}^{2} (\frac{x-1}{x^2})e^xdx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ddd792c9995b2e858ce8f331d451594_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
Al usar la integración por partes, obtenemos,
yo =
yo =
yo = e x /x
Entonces obtenemos,
yo =
yo = mi 2 /2 – mi 1 /1
yo = mi 2 /2 – mi
Por lo tanto, el valor de
es e 2 /2 – e.
Pregunta 48. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{1} (xe^{2x}+sin\frac{\pi x}{2})dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6caa837f5cf4559e8e5fde5406aa58d3_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Al usar la integración por partes en la primera integral, obtenemos,
yo =
yo = xe 2x /2 – (1/2)(e 2x /2) + 2/
yo = xe 2x /2 – e 2x /4 + 2/
Entonces obtenemos,
yo =
yo = [e 2 /2 + e 2 /4 – 0 + 1/4] + 2/
yo = mi 2 /4 + 1/4 + 2/
Por lo tanto, el valor de
es e 2 /4 + 1/4 + 2/ .
Pregunta 49. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{1} (xe^{x}+cos\frac{\pi x}{4})dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-483de033cc4f92a0d3b77a960dda53c7_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Al usar la integración por partes en la primera integral, obtenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
Entonces obtenemos,
yo =
yo =
yo = [e 1 (1 – 1) – e 0 (0 – 1)] + 2√2/
Yo = [0 – (-1)] + 2√2/
yo = 1 + 2√2/
Por lo tanto, el valor de
es 1 + 2√2/ .
Pregunta 50. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}(\frac{1-sinx}{1-cosx})dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1438c7583f75a78393f3e42ebd055c2_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
I = -e cotπ/2 + e π/2 cotπ/4
yo = 0 + e π/2 (1)
yo = mi π/2
Por lo tanto, el valor de
es e π/2 .
Pregunta 51. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{2\pi} e^{\frac{x}{2}}\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-39bd7738f56be4ee37158a9399f923e0_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
Al usar la integración por partes en la primera integral, obtenemos,
yo =
yo =
yo =
yo = 1/√2[senπ(2e π ) – 0]
Yo = 1/√2[0 – 0]
yo = 0
Por lo tanto, el valor de
es 0.
Pregunta 52. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{2\pi} e^x\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ee0ffe7decc744538435e687e03046f_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Al usar la integración por partes, obtenemos,
yo = e x cos(x/2 + π/4) + 1/2∫e x sen(x/2 + π/4)
I = e x cos(x/2 + π/4) + 1/2[ e x sin(x/2 + π/4) – 1/2 ∫e x cos(x/2 + π/4)dx]
yo = e x cos(x/2 + π/4) + 1/2e x sen(x/2 + π/4) – 1/4I
5I/4 = -3/ 2√2(e 2π + 1)
Yo = -3√2/5(e 2π + 1)
Por lo tanto, el valor de
es -3√2/5(e 2π + 1).
Pregunta 53. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2325eede132a9f4cdfe653b3dbd8c686_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo = 2/3[2 3/2 – 1] + 2/3[1 – 0]
yo =
yo = 2 5/2 /3
Por lo tanto, el valor de
es 2 5/2 /3.
Pregunta 54. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{1}^{2} \frac{x}{(x+1)(x+2)}dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e70a8e7494186aafd8288e818639fba_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
I = -log3 + log2 + 2[log4 – log3]
I = -log3 + log2 + 2[2log2 – log3]
I = -log3 + log2 + 4log2 – 2log3
I = 5log2 – 3log3
I = log2 5 – log3 3
I = log32 – log27
I = log32/27
Por lo tanto, el valor de
es log32/27.
Pregunta 55. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^3xdx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e39842dc838a683dc091e30c20debdfc_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
Sea cos x = t, entonces tenemos,
=> – sen x dx = dt
Ahora, el límite inferior es, x = 0
=> t = cos x
=> t = cos 0
=> t = 1
Además, el límite superior es, x = π/2
=> t = cos x
=> t = cos π/2
=> t = 0
Entonces, la ecuación se convierte en,
yo =
yo =
yo =
Yo = [0 – 1/3] – [0 – 1]
Yo = [-1/3] – [-1]
yo = -1/3 + 1
yo = 2/3
Por lo tanto, el valor de
es 2/3.
Pregunta 56. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{\pi} (sin^2\frac{x}{2}-cos^2\frac{x}{2})dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a8cb3454fff1627f91e7977c7a2f373_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
I = -sinπ + sin0
yo = 0
Por lo tanto, el valor de
es 0.
Pregunta 57. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2})e^{2x}dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5504bbaafe499b9b0521643384eda83b_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Sea 2x = t, entonces tenemos,
=> 2x dx = dt
Ahora, el límite inferior es, x = 1
=> t = 2x
=> t = 2(1)
=> t = 2
Además, el límite superior es, x = 2
=> t = 2x
=> t = 2(2)
=> t = 4
Entonces, la ecuación se convierte en,
yo =
yo =
yo =
Al usar la integración por partes en la primera integral, obtenemos,
yo =
yo =
yo =
yo = mi 4/4 – mi 2/2
Por lo tanto, el valor de
es e 4/4 – e 2/2 .
Pregunta 58. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{(x-1)(2-x)}}dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7afcac9862585472df59ac83afdd0eff_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
I = [pecado -1 (1) – senado -1 (-1)]
yo = π/2 – (-π/2)
yo = π/2 + π/2
yo = π
Por lo tanto, el valor de
es π.
Pregunta 59. Si
, encuentra el valor de k.
Solución:
Tenemos,
=>
=>
=>
=>
=> bronceado -1 2k/4 – bronceado -1 0 = 16
=> bronceado -1 2k/4 – 0 = 16
=> bronceado -1 2k/4 = 16
=> bronceado -1 2k =
=> 2k = bronceado
=> 2k = 1
=> k = 1/2
Por lo tanto, el valor de k es 1/2.
Pregunta 60. Si
, encuentra el valor de k.
Solución:
Tenemos,
=>
=>
=>
=>
=> un 3 – 0 = 8
=> un 3 = 8
=> un = 2
Por lo tanto, el valor de a es 2.
Pregunta 61.
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
Yo = -[√2cos32 – √2cos]
Yo = -(-√2 – 0)
yo = √2
Por lo tanto, el valor de
es √2.
Pregunta 62. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_0^{2\pi}\sqrt{1+sin\frac{x}{2}}dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-259ed56eaa4a50a324d89b164b0aae24_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
I = [-4cosπ/2 + 4cos0] + [4sinπ/2 – 4sin0]
yo = 0 + 4 + 4 – 0
yo = 8
Por lo tanto, el valor de
es 8.
Pregunta 63. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_0^{\frac{\pi}{4}}(tanx+cotx)^{-2}dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cabf70216632c00d2600fb175b99771a_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
Yo = (8 – 1/4) – (3/4(8 – 1/4) – 1/16)
yo = 8 – 1/4 – (332 – 3/16 – 1/16)
Yo = π/8 – 1/4 – (3π/32 – 1/4)
yo = π/8 – 1/4 – 3π/32 + 1/4
yo = π/8 – 3π/32
Yo = (4π – 3π)/32
yo = π/32
Por lo tanto, el valor de
es .
Pregunta 64. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_0^{1}xlog(1+2x)dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0dc4c82b17396afd4a98fc315f1fbfe3_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
Usando la integración por partes obtenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
Entonces obtenemos,
yo =
I = log3/2 – 1/8log3
yo = 3/8log3
Por lo tanto, el valor de
es 3/8log3.
Pregunta 65. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(tanx+cotx)^{2}dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-873bd337529f970b0acb792e0f606349_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
I = [tanπ/3 – tanπ/6] + [-cotπ/3 + cotπ/6]
Yo = [√3 – 1/√3] + [- 1/√3 – √3]
Yo = 2[√3 – 1/√3]
yo = 4/√3
Por lo tanto, el valor de
es 4/√3.
Pregunta 66. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(a^2cos^2x+b^2sin^2x)dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9acbaf35a23bd8a678e94f703414466c_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
yo =
Por lo tanto, el valor de
es
.
Pregunta 67. ![Rendered by QuickLaTeX.com \int_{0}^{1}\frac{dx}{1+2x+2x^2+2x^3+x^4}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55dd177d2b5bfd313ceb7e1ce9b34721_l3.png)
Solución:
Tenemos,
yo =
yo =
yo =
yo =
I = -log2/4 + log2/2 – 1/4 + 1/2
yo = log2/4 + 1/4
Por lo tanto, el valor de
es log2/4 + 1/4.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA