Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.2

Evalúe las siguientes integrales definidas:

Pregunta 21. $\int_{0}^{\pi}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$

Sea sen x = A (sen x + cos x) + B $\frac{d}{dx}(sinx+cosx)$

=> sen x = A (sen x + cos x) + B (cos x – sen x)

=> sen x = sen x (A – B) + cos x (A + B)

Al comparar ambos lados, obtenemos

A – B = 1 y A + B = 0

Al resolver obtenemos A = 1/2 y B = –1/2.

Por lo tanto, la expresión se convierte en,

yo = $\frac{1}{2}\int_0^\pi dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}dx$

yo = $\left[\frac{x}{2}\right]_0^\pi-\frac{1}{2}\left[\log(sinx+cosx)\right]_{0}^{\pi}$

yo = $\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}(0)$

yo = $\frac{\pi}{2}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\pi}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$ es $\frac{\pi}{2}$ .

Pregunta 22. $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{3+2sinx+cosx}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{3+2sinx+cosx}dx$

Al poner cos x = $\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}$ y sen x = $\frac{2tan\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}$ , obtenemos,

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{3+\frac{4tan\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}+\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}}dx$

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{1+tan^2\frac{x}{2}}{3(1+tan^2\frac{x}{2})+4tan\frac{x}{2}+1-tan^2\frac{x}{2}}dx$

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{sec^2\frac{x}{2}}{3+3tan^2\frac{x}{2}+4tan\frac{x}{2}+1-tan^2\frac{x}{2}}dx$

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{sec^2\frac{x}{2}}{2tan^2\frac{x}{2}+4tan\frac{x}{2}+4}dx$

Sea tan x/2 = t. Entonces tenemos

=> 1/2 seg ² x/2 dx = dt

=> seg ² x/2 dx = 2 dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = tan x/2

=> t = tan 0/2

=> t = bronceado 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π

=> t = tan x/2

=> t = tan π/2

=> t = ∞

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{\infty}\frac{2}{2t^2+4t+4}dt$

yo = $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^2+2t+2}dt$

yo = $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(t+1)^2+1}dt$

yo = $\left[tan^{-1}(t+1)\right]^\infty_0$

yo = $tan^{-1}\infty-tan^{-1}1$

yo = $\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}$

yo = $\frac{\pi}{4}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{3+2sinx+cosx}dx$ es $\frac{\pi}{4}$ .

Pregunta 23. $\int_{0}^{1}tan^{-1}xdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}tan^{-1}xdx$

yo = $tan^{-1}x\int_{0}^{1}dx-\int_{0}^1(\int dx) \frac{d}{dx}(tan^{-1}x)dx$

yo = $\left[xtan^{-1}x\right]_{0}^{1}-\int_{0}^1\frac{x}{1+x^2}dx$

yo = $\left[xtan^{-1}x\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int_{0}^1\frac{2x}{1+x^2}dx$

yo = $\left[xtan^{-1}x\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\left[log(1+x^2)\right]_{0}^1$

yo = $(\frac{\pi}{4}-0)-\frac{1}{2}\left[log(1+1)-log(1+0)\right]$

yo = $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\left[log2-log1\right]$

yo = $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\left[log2-0\right]$

yo = $\frac{\pi}{4}-\frac{\log2}{2}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}tan^{-1}xdx$ es $\frac{\pi}{4}-\frac{\log2}{2}$ .

Pregunta 24. $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{xsen^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{xsen^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Sea sen ^–1 x = t. Entonces tenemos

=> $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$ = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = sen ^–1 x

=> t = sen ^–1 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = 1/2

=> t = sen ^–1 x

=> t = sen ^–1 1/2

=> t = π/6

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}tsintdt$

yo = $t\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}sintdt-\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(\int sintdt) \frac{d}{dt} (t)dt$

yo = $\left[-tcost\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}costdt$

yo = $\left[-tcost\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}+\left[sint\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$

yo = $\left[-\frac{\pi}{6}(\frac{\sqrt{3}}{2})+0\right]+\left[sin\frac{\pi}{6}-0\right]$

yo = $\frac{-\sqrt{3}\pi}{12}+\frac{1}{2}$

yo = $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\pi}{12}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{xsin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ es $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\pi}{12}$ .

Pregunta 25. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx})dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx})dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{\frac{sinx}{cosx}}+\sqrt{\frac{cosx}{sinx}})dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{sinx+cosx}{\sqrt{sinxcosx}})dx$

yo = $\sqrt{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{sinx+cosx}{\sqrt{2sinxcosx}})dx$

yo = $\sqrt{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{sinx+cosx}{\sqrt{1-(sinx-cosx)^2}})dx$

Sea senx – cosx = t. Entonces tenemos

=> (cos x + sen x) dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = senx – cosx

=> t = sen 0 – cos 0

=> t = 0 – 1

=> t = –1

Además, el límite superior es, x = π/4

=> t = senx – cosx

=> t = sen π/4 – cos π/4

=> t = sen π/4 – sen π/4

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\sqrt{2}\int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$

yo = $\sqrt{2}\left[sin^{-1}t\right]_{-1}^{0}$

yo = $\sqrt{2}\left[sin^{-1}0-sin^{-1}(-1)\right]$

yo = $\sqrt{2}\left[0+sin^{-1}(1)\right]$

yo = $\sqrt{2}(\frac{\pi}{2})$

yo = $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx})dx$ es $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ .

Pregunta 26. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{tan^3x}{1+cos2x}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{tan^3x}{1+cos2x}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{tan^3x}{2cos^2x}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{tan^3xsec^2x}{2}dx$

yo = $\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tan^3xsec^2xdx$

Sea tan x = t. Entonces tenemos

=> seg ² x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = bronceado x

=> t = bronceado 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π/4

=> t = bronceado x

=> t = tan π/4

=> t = 1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\frac{1}{2}\int_{0}^{1}t^3dt$

yo = $\frac{1}{2}\left[\frac{t^4}{4}\right]_{0}^{1}$

yo = $\frac{1}{2}(\frac{1}{4}-0)$

yo = $\frac{1}{8}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{tan^3x}{1+cos2x}dx$ es $\frac{1}{8}$ .

Pregunta 27. $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{5+3cosx}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{5+3cosx}dx$

Al poner cos x = $\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}$ , obtenemos

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{5+\frac{3(1-tan^2\frac{x}{2})}{1+tan^2\frac{x}{2}}}dx$

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{1+tan^2\frac{x}{2}}{5(1+tan^2\frac{x}{2})+3(1-tan^2\frac{x}{2})}dx$

yo = $\int_{0}^{\pi}\frac{sec^2\frac{x}{2}}{5(1+tan^2\frac{x}{2})+3(1-tan^2\frac{x}{2})}dx$

Sea tan x/2 = t. Entonces tenemos

=> 1/2 seg ² x/2 dx = dt

=> seg ² x/2 dx = 2 dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = tan x/2

=> t = tan 0/2

=> t = bronceado 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π

=> t = tan x/2

=> t = tan π/2

=> t = ∞

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{5(1+t^2)+3(1-t^2)}dt$

yo = $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{5+5t^2+3-3t^2}dt$

yo = $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{8+2t^2}dt$

yo = $\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{4+t^2}dt$

yo = $\frac{1}{2}\left[tan^{-1}\frac{t}{2}\right]_{0}^{\infty}$

yo = $\frac{1}{2}\left[tan^{-1}\frac{\infty}{2}-\tan^{-1}\frac{0}{2}\right]$

yo = $\frac{1}{2}\left[tan^{-1}\infty-\tan^{-1}0\right]$

yo = $\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2})$

yo = $\frac{\pi}{4}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{5+3cosx}dx$ es $\frac{\pi}{4}$ .

Pregunta 28. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a^2sin^2x+b^2cos^2x}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a^2sin^2x+b^2cos^2x}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{cos^2x}}{a^2\frac{sin^2x}{cos^2x}+b^2\frac{cos^2x}{cos^2x}}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sec^2x}{a^2tan^2x+b^2}dx$

yo = $\frac{1}{a^2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sec^2x}{tan^2x+\frac{b^2}{a^2}}dx$

Sea tan x = t. Entonces tenemos

=> seg ² x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = bronceado x

=> t = bronceado 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = bronceado x

=> t = tan π/2

=> t = ∞

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\frac{1}{a^2}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^2+\frac{b^2}{a^2}}dt$

yo = $\frac{1}{a^2}\left[\frac{a}{b}tan^{-1}\frac{at}{b}\right]_{0}^{\infty}$

yo = $\frac{1}{a^2}\left[\frac{a}{b}tan^{-1}\infty-\frac{a}{b}tan^{-1}0\right]$

yo = $\frac{1}{a^2}(\frac{a}{b})(\frac{\pi}{2})$

yo = $\frac{\pi}{2ab}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a^2sin^2x+b^2cos^2x}dx$ es $\frac{\pi}{2ab}$ .

Pregunta 29. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x+sinx}{1+cosx}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x+sinx}{1+cosx}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2cos^2\frac{x}{2}}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{xsec^2\frac{x}{2}}{2}+tan\frac{x}{2}dx$

yo = $\left[xtan\frac{x}{2}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}tan\frac{x}{2}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}tan\frac{x}{2}dx\right]^{\frac{\pi}{2}}_0$

yo = $\left[xtan\frac{x}{2}\right]^\frac{\pi}{2}_0$

yo = $\frac{\pi}{2}tan\frac{\pi}{4}-0$

yo = $\frac{\pi}{2}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x+sinx}{1+cosx}dx$ es $\frac{\pi}{2}$ .

Pregunta 30. $\int_{0}^{1}\frac{tan^{-1}x}{1+x^2}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}\frac{tan^{-1}x}{1+x^2}dx$

Sea tan ^–1 x = t. Entonces tenemos

=> $\frac{1}{1+x^2}dx$ = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = bronceado ^–1 x

=> t = bronceado ^–1 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = 1

=> t = bronceado ^–1 x

=> t = bronceado ^–1 1

=> t = π/4

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tdt$

yo = $\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

yo = $\frac{1}{2}(\frac{\pi^2}{16})-0$

yo = $\frac{\pi^2}{32}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}\frac{tan^{-1}x}{1+x^2}dx$ es $\frac{\pi^2}{32}$ .

Pregunta 31. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx+cosx}{3+sin2x}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx+cosx}{3+sin2x}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx+cosx}{3+1-(cosx-sinx)^2}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx+cosx}{4-(cosx-sinx)^2}dx$

yo = $\left[\frac{1}{4}log|\frac{2+sinx-cosx}{2-sinx+cosx}|\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

yo = $\frac{1}{4}\left[log|\frac{2+sin\frac{\pi}{4}-cos\frac{\pi}{4}}{2-sin\frac{\pi}{4}+cos\frac{\pi}{4}}|-log\frac{2+0-1}{2-0+1}\right]$

yo = $\frac{1}{4}\left(log|\frac{2}{2}|-log\frac{1}{3}\right)$

yo = $\frac{1}{4}\left(log1-log\frac{1}{3}\right)$

yo = $\frac{1}{4}\left(-log\frac{1}{3}\right)$

yo = $-\frac{log\frac{1}{3}}{4}$

yo = $\frac{log3}{4}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx+cosx}{3+sin2x}dx$ es $\frac{log3}{4}$ .

Pregunta 32. $\int_{0}^{1}xtan^{-1}xdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}xtan^{-1}xdx$

Al usar la integración por partes, obtenemos

yo = $tan^{-1}x\int_{0}^{1}xdx-\int_0^1(\int xdx)\frac{d}{dx}(tan^{-1}x)dx$

yo = $\left[\frac{x^2tan^{-1}x}{2}\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dx$

yo = $\left[\frac{x^2tan^{-1}x}{2}\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx$

yo = $\left[\frac{x^2tan^{-1}x}{2}\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1+x^2}{1+x^2}dx+\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$

yo = $\left[\frac{x^2tan^{-1}x}{2}\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1+x^2}{1+x^2}dx+\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$

yo = $\left[\frac{x^2tan^{-1}x}{2}\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int_0^1dx+\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$

yo = $\left[\frac{x^2tan^{-1}x}{2}\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\left[x\right]_0^1+\frac{1}{2}\left[tan^{-1}x\right]_0^1$

yo = $(\frac{\pi}{8}-0)-\frac{1}{2}(1-0)+\frac{1}{2}\left[tan^{-1}1-tan^{-1}0\right]$

yo = $\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4}-0)$

yo = $\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{8}$

yo = $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}xtan^{-1}xdx$ es $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$ .

Pregunta 33. $\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{x^4+x^2+1}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{x^4+x^2+1}dx$

yo = $-\int_{0}^{1}\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}dx$

yo = $-\int_{0}^{1}\frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x^2(x^2+1+\frac{1}{x^2})}dx$

yo = $-\int_{0}^{1}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}dx$

yo = $-\int_{0}^{1}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{(x+\frac{1}{x})^2-1^2}dx$

yo = $-\left[\frac{1}{2}\log|\frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1}|\right]^1_0$

yo = $-\left[\frac{1}{2}\log|\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}|\right]^1_0$

yo = $-\frac{1}{2}\log|\frac{1^2-1+1}{1^2+1+1}|+\frac{1}{2}\log|\frac{0^2-0+1}{0^2+0+1}|$

yo = $-\frac{1}{2}\log\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\log1$

yo = $-\frac{1}{2}\log\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(0)$

yo = $-\frac{1}{2}\log\frac{1}{3}$

yo = $\log(\frac{1}{3})^{\frac{-1}{2}}$

yo = $\log3^{\frac{1}{2}}$

yo = $\frac{1}{2}\log3$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{x^4+x^2+1}dx$ es $\frac{1}{2}\log3$ .

Pregunta 34. $\int_{0}^{1}\frac{24x^3}{(1+x^2)^4}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}\frac{24x^3}{(1+x^2)^4}dx$

Sea 1 + x ² = t. Entonces tenemos

=> 2x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = 1 + x ²

=> t = 1 + 0 ²

=> t = 1 + 0

=> t = 1

Además, el límite superior es, x = π

=> t = 1 + x ²

=> t = 1 + 1 ²

=> t = 1 + 1

=> t = 2

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{2}\frac{12(2x)(x^2)}{(1+x^2)^4}dx$

yo = $\int_{1}^{2}\frac{12(t-1)}{t^4}dt$

yo = $12\int_{1}^{2}(\frac{t}{t^4}-\frac{1}{t^4})dt$

yo = $12\int_{1}^{2}(\frac{1}{t^3}-\frac{1}{t^4})dt$

yo = $12\left[\frac{-1}{2t^2}-\frac{1}{3t^3}\right]_{1}^{2}$

yo = $12\left[\frac{-1}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right]$

yo = $12\left[\frac{-3+1+12-8}{24}\right]$

yo = $12(\frac{2}{24})$

yo = 1

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}\frac{24x^3}{(1+x^2)^4}dx$ es 1.

Pregunta 35. $\int_{4}^{12}x(x-4)^{\frac{1}{3}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{4}^{12}x(x-4)^{\frac{1}{3}}dx$

Sea x – 4 = t ³ . Entonces tenemos

=> dx = 3t ² dt

Ahora, el límite inferior es, x = 4

=> t ³ = x – 4

=> t ³ = 4 – 4

=> t ³ = 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = 12

=> t ³ = x – 4

=> t ³ = 12 – 4

=> t ³ = 8

=> t = 2

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{2}(t^3+4)t(3t^2)dt$

yo = $\int_{0}^{2}3t^3(t^3+4)dt$

yo = $3\int_{0}^{2}(t^6+4t^3)dt$

yo = $3\left[\frac{t^7}{7}+t^4\right]_{0}^{2}$

yo = $3\left[\frac{128}{7}+16-0-0\right]$

yo = $\frac{720}{7}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{4}^{12}x(x-4)^{\frac{1}{3}}dx$ es $\frac{720}{7}$ .

Pregunta 36. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2sinxdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2sinxdx$

Al usar la integración por partes, obtenemos

yo = $x^2\int sinxdx-\int(\int sinxdx)\frac{d}{dx}(x^2)dx$

yo = $x^2cosx-\int 2xcosxdx$

yo = $x^2cosx+2[x\int cosxdx-\int(\int cosxdx)\frac{dx}{dx}dx]$

yo = $x^2cosx+2[xsinxdx-\int sinxdx]$

yo = $\left[x^2cosx+2xsinxdx+2cosx\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

yo = π + 0 – 0 – 0 – 2

yo = π – 2

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2sinxdx$ es π – 2.

Pregunta 37. $\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$

Sea x = cos 2t. Entonces tenemos

=> dx = – 2 sen 2t dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> cos 2t = x

=> porque 2t = 0

=> 2t = π/2

=> t = π/4

Además, el límite superior es, x = 1

=> cos 2t = x

=> porque 2t = 1

=> 2t = 0

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{\frac{\pi}{4}}^{0}\sqrt{\frac{1-cos2t}{1+cos2t}}(-2sin2t)dt$

yo = $2\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\sqrt{\frac{sin^2t}{cos^2t}}(sin2t)dt$

yo = $2\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{sint}{cost}(2sintcost)dt$

yo = $4\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}sin^2tdt$

yo = $2\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}2sin^2tdt$

yo = $2\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}(1-cos2t)dt$

yo = $2\left[t-\frac{sin^2t}{2}\right]^{\frac{\pi}{4}}_{0}$

yo = $2\left[\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right]$

yo = $\frac{\pi}{2}-1$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$ es $\frac{\pi}{2}-1$ .

Pregunta 38. $\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}dx$

yo = $\int_{0}^{1}\frac{-x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x^2(x+\frac{1}{x})^2}dx$

yo = $-\int_{0}^{1}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{(x+\frac{1}{x})^2}dx$

Sea x + 1/x = t. Entonces tenemos

=> (1 – 1/x ² )dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = x + 1/x

=> t = ∞

Además, el límite superior es, x = 1

=> t = x + 1/x

=> t = 1 + 1

=> t = 2

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $-\int_{\infty}^{2}\frac{dt}{t^2}$

yo = $\int^{\infty}_{2}\frac{dt}{t^2}$

yo = $\left[\frac{-1}{t}\right]^{\infty}_{2}$

yo = $\frac{-1}{\infty}+\frac{1}{2}$

yo = $\frac{1}{2}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}dx$ es $\frac{1}{2}$ .

Pregunta 39. $\int_{-1}^{1}5x^4\sqrt{x^2+1}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{-1}^{1}5x^4\sqrt{x^2+1}dx$

Sea x ⁵ + 1 = t. Entonces tenemos

=> 5x ⁴ dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = –1

=> t = x ⁵ + 1

=> t = (–1) ⁵ + 1

=> t = –1 + 1

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = 1

=> t = x ⁵ + 1

=> t = (1) ⁵ + 1

=> t = 1 + 1

=> t = 2

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{2}\sqrt{t}dt$

yo = $\left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{2}$

yo = $\frac{2}{3}(2^{\frac{3}{2}})$

yo = $\frac{2}{3}(2\sqrt{2})$

yo = $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{-1}^{1}5x^4\sqrt{x^2+1}dx$ es $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ .

Pregunta 40. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^2x}{1+3sin^2x}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^2x}{1+3sin^2x}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sec^2x}{sec^2x(sec^2x+3tan^2x)}dx$

Sea tan x = t. Entonces tenemos

=> seg ² x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = bronceado x

=> t = bronceado 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = bronceado x

=> t = tan π/2

=> t = ∞

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)}dx$

yo = $\frac{-1}{3}\int_{0}^{\infty}(\frac{1}{1+t^2}-\frac{1}{1+4t^2})dt$

yo = $\frac{-1}{3}\left[tan^{-1}t-2tan^{-1}2t\right]_{0}^{\infty}$

yo = $\frac{-1}{3}(\frac{\pi}{2})$

yo = $\frac{-\pi}{6}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^2x}{1+3sin^2x}dx$ es $\frac{-\pi}{6}$ .

Pregunta 41. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^32tcos2tdt$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^32tcos2tdt$

Sea sen 2t = u. Entonces tenemos

=> 2 cos 2t dt = du

=> cos 2t dt = du/2

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> u = sen 2t

=> u = sen 0

=> tu = 0

Además, el límite superior es, x = π/4

=> u = sen 2t

=> u = sen π/2

=> tu = 1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^3du$

yo = $\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_{0}^{1}$

yo = $\frac{1}{2}(\frac{1}{4})$

yo = $\frac{1}{8}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^32tcos2tdt$ es $\frac{1}{8}$ .

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.2 | conjunto 2

Evalúe las siguientes integrales definidas:

Pregunta 21. $\int_{0}^{\pi}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$

Pregunta 22. $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{3+2sinx+cosx}dx$

Pregunta 23. $\int_{0}^{1}tan^{-1}xdx$

Pregunta 24. $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{xsen^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Pregunta 25. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx})dx$

Pregunta 26. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{tan^3x}{1+cos2x}dx$

Pregunta 27. $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{5+3cosx}dx$

Pregunta 28. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a^2sin^2x+b^2cos^2x}dx$

Pregunta 29. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x+sinx}{1+cosx}dx$

Pregunta 30. $\int_{0}^{1}\frac{tan^{-1}x}{1+x^2}dx$

Pregunta 31. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx+cosx}{3+sin2x}dx$

Pregunta 32. $\int_{0}^{1}xtan^{-1}xdx$

Pregunta 33. $\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{x^4+x^2+1}dx$

Pregunta 34. $\int_{0}^{1}\frac{24x^3}{(1+x^2)^4}dx$

Pregunta 35. $\int_{4}^{12}x(x-4)^{\frac{1}{3}}dx$

Pregunta 36. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2sinxdx$

Pregunta 37. $\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$

Pregunta 38. $\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}dx$

Pregunta 39. $\int_{-1}^{1}5x^4\sqrt{x^2+1}dx$

Pregunta 40. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^2x}{1+3sin^2x}dx$

Pregunta 41. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^32tcos2tdt$

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