Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.2

Evalúe las siguientes integrales definidas:

Pregunta 42. $\int_{0}^{\pi}5(5-4\cos\theta)^{\frac{1}{4}}\sin\theta d\theta$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\pi}5(5-4\cos\theta)^{\frac{1}{4}}\sin\theta d\theta$

Sea 5 – 4 cos θ = t. Entonces tenemos

=> 4 sen θ dθ = dt

=> sen θ dθ = dt/4

Ahora, el límite inferior es, θ = 0

=> t = 5 – 4 cos θ

=> t = 5 – 4 cos 0

=> t = 5 – 4

=> t = 1

Además, el límite superior es, θ = π

=> t = 5 – 4 cos θ

=> t = 5 – 4 cos π

=> t = 5 + 4

=> t = 9

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{1}^{9}\frac{5t^{\frac{1}{4}}}{4}dt$

yo = $\frac{5}{4}\int_{1}^{9}t^{\frac{1}{4}}dt$

yo = $\frac{5}{4}\left[\frac{t^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}\right]_{1}^{9}$

yo = $\frac{5}{4}\left[\frac{4}{5}t^{\frac{5}{4}}\right]_{1}^{9}$

yo = $\left[t^{\frac{5}{4}}\right]_{1}^{9}$

yo = $9^{\frac{5}{4}}-1^{\frac{5}{4}}$

yo = $3^{\frac{5}{2}}-1$

yo = 9√3 – 1

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\pi}5(5-4\cos\theta)^{\frac{1}{4}}\sin\theta d\theta$ es 9√3 – 1.

Pregunta 43. $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{-3}2\theta \sin2\theta d\theta$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{-3}2\theta \sin2\theta d\theta$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{\sin2\theta}{\cos^{3}2\theta} d\theta$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{\sin2\theta}{(\cos2\theta)(\cos^22\theta)} d\theta$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{\tan2\theta}{\cos^22\theta} d\theta$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\tan2\theta \sec^22\theta d\theta$

Sea tan 2θ = t. Entonces tenemos

=> 2 seg ² 2θ dθ = dt

=> seg ² 2θ dθ = dt/2

Ahora, el límite inferior es, θ = 0

=> t = tan 2θ

=> t = bronceado 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, θ = π/6

=> t = tan 2θ

=> t = tan π/3

=> t = √3

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{3}}tdt$

yo = $\frac{1}{2}\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{3}}$

yo = $\frac{1}{2}\left[\frac{3}{2}-0\right]$

yo = $\frac{3}{4}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{-3}2\theta \sin2\theta d\theta$ es $\frac{3}{4}$ .

Pregunta 44. $\int_{0}^{\pi^\frac{3}{2}}\sqrt{x}cos^2x^\frac{2}{3}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\pi^\frac{3}{2}}\sqrt{x}cos^2x^\frac{2}{3}dx$

Sea $x^{\frac{2}{3}}$ = t. Entonces tenemos

=> $\frac{3}{2}\sqrt{x}dx$ = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = $x^{\frac{2}{3}}$

=> t = $0^{\frac{2}{3}}$

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = $\pi^{\frac{3}{2}}$

=> t = $x^{\frac{2}{3}}$

=> t = $(\pi^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$

=> t = π

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi}cos^2tdt$

yo = $\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}(1+cos2t)dt$

yo = $\frac{1}{3}\left[t+\frac{sin2t}{t}\right]_{0}^{\pi}$

yo = $\frac{1}{3}\left[\pi+0-0-0\right]$

yo = $\frac{\pi}{3}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\pi^\frac{3}{2}}\sqrt{x}cos^2x^\frac{2}{3}dx$ es $\frac{\pi}{3}$ .

Pregunta 45. $\int_{1}^{2}\frac{1}{x(1+logx)^2}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{1}^{2}\frac{1}{x(1+logx)^2}dx$

Sea 1 + log x = t. Entonces tenemos

=> 1/x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = 1 + registro x

=> t = 1 + registro 0

=> t = 1

Además, el límite superior es, x = 2

=> t = 1 + registro x

=> t = 1 + registro 2

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{1}^{1+\log2}\frac{1}{t^2}dt$

yo = $\left[\frac{-1}{t}\right]_{1}^{1+\log2}$

yo = $\frac{-1}{1+\log2}+1$

yo = $\frac{\log2}{1+\log2}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{1}^{2}\frac{1}{x(1+logx)^2}dx$ es $\frac{\log2}{1+\log2}$ .

Pregunta 46. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^5xdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^5xdx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2x)^2\cos xdx$

Sea sen x = t. Entonces tenemos

=> cos x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = sen x

=> t = sen 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = sen x

=> t = sen π/2

=> t = 1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{1}(1-t^2)^2dt$

yo = $\int_{0}^{1}(1+t^4-2t^2)dt$

yo = $\left[t-\frac{2}{3}t^3+\frac{t^5}{5}\right]_{0}^{1}$

yo = $1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$

yo = $\frac{8}{15}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^5xdx$ es $\frac{8}{15}$ .

Pregunta 47. $\int_{4}^{9}\frac{\sqrt{x}}{(30-x^{\frac{3}{2}})^2}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{4}^{9}\frac{\sqrt{x}}{(30-x^{\frac{3}{2}})^2}dx$

Sea 30 – x ^3/2 = t. Entonces tenemos

=> $-\frac{3}{2}\sqrt{x}dx$ = dt

=> $\frac{3}{2}\sqrt{x}dx$ = – dt

Ahora, el límite inferior es, x = 4

=> t = 30 – x ^3/2

=> t = 30 – 4 ^3/2

=> t = 30 – 8

=> t = 22

Además, el límite superior es, x = 9

=> t = 30 – x ^3/2

=> t = 30 – 9 ^3/2

=> t = 30 – 27

=> t = 3

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{22}^{3}\frac{-2}{3t^2}dt$

yo = $\frac{2}{3}\int_{3}^{22}\frac{1}{t^2}dt$

yo = $\frac{2}{3}\left[\frac{-1}{t}\right]_{3}^{22}$

yo = $\frac{2}{3}\left[\frac{-1}{22}+\frac{1}{3}\right]$

yo = $\frac{2}{3}(\frac{19}{66})$

yo = $\frac{19}{99}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{4}^{9}\frac{\sqrt{x}}{(30-x^{\frac{3}{2}})^2}dx$ es $\frac{19}{99}$ .

Pregunta 48. $\int_{0}^{\pi}sin^3x(1+2cosx)(1+cosx)^2dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\pi}sin^3x(1+2cosx)(1+cosx)^2dx$

Sea cos x = t. Entonces tenemos

=> – sen x dx = dt

=> sen x dx = –dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = cos x

=> t = cos 0

=> t = 1

Además, el límite superior es, x = π

=> t = cos x

=> t = cos π

=> t = –1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{\pi}sin^2x(1+2cosx)(1+cosx)^2.sinxdx$

yo = $\int_{1}^{-1}-(1-t^2)(1+2t)(1+t)^2dt$

yo = $\int_{-1}^{1}(1+2t-t^2-2t^3)(1+t^2+2t)dt$

yo = $\int_{-1}^{1}(1+4t+4t^2-2t^3-5t^4-2t^5)dt$

yo = $\left[t+2t^2+\frac{4}{3}t^3-\frac{1}{2}t^4-t^5-\frac{1}{3}t^6\right]_{-1}^{1}$

yo = $2+0+\frac{8}{3}-0-2-0$

yo = $\frac{8}{3}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\pi}sin^3x(1+2cosx)(1+cosx)^2dx$ es $\frac{8}{3}$ .

Pregunta 49. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2sinxcosxtan^{-1}(sinx)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2sinxcosxtan^{-1}(sinx)dx$

Sea sen x = t. Entonces tenemos

=> cos x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = sen x

=> t = sen 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = sen x

=> t = sen π/2

=> t = 1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $2\int_{0}^{1}ttan^{-1}tdt$

yo = $2\left[\frac{1}{2}t^2tan^{-1}t-\frac{t}{2}+\frac{1}{2}tan^{-1}t\right]_0^1$

yo = $2(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2})$

yo = $\frac{\pi}{2}-1$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2sinxcosxtan^{-1}(sinx)dx$ es $\frac{\pi}{2}-1$ .

Pregunta 50. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin2xtan^{-1}(sinx)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin2xtan^{-1}(sinx)dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2sinxcosxtan^{-1}(sinx)dx$

Sea sen x = t. Entonces tenemos

=> cos x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = sen x

=> t = sen 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = sen x

=> t = sen π/2

=> t = 1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $2\int_{0}^{1}ttan^{-1}tdt$

yo = $2\left[\frac{1}{2}t^2tan^{-1}t-\frac{t}{2}+\frac{1}{2}tan^{-1}t\right]_0^1$

yo = $2(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2})$

yo = $\frac{\pi}{2}-1$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin2xtan^{-1}(sinx)dx$ es $\frac{\pi}{2}-1$ .

Pregunta 51. $\int_{0}^{1}(cos^{-1}x)^2dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}(cos^{-1}x)^2dx$

Al usar la integración por partes, obtenemos,

yo = $(cos^{-1}x)^2\int_{0}^{1}dx-\int_0^1(\int dx)\frac{d}{dx}(cos^{-1}x)^2dx$

yo = $\left[x(cos^{-1}x)^2\right]_{0}^{1}+2\int_0^1\frac{xcos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Sea cos ^-1 x = t. Entonces tenemos

=> $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = cos ^-1 x

=> t = cos ^-1 0

=> t = π/2

Además, el límite superior es, x = 1

=> t = cos ^-1 x

=> t = cos ^-1 1

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\left[x(cos^{-1}x)^2\right]_{0}^{1}+2\int_\frac{\pi}{2}^0-tcostdt$

yo = $0-0+2\int^\frac{\pi}{2}_0tcostdt$

yo = $2\int^\frac{\pi}{2}_0tcostdt$

yo = $t\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}costdt-\int_0^\frac{\pi}{2}(\int costdt)\frac{dt}{dt}dt$

yo = $2\left[tsint-\int sintdt\right]^\frac{\pi}{2}_0$

yo = $2\left[tsint+cost\right]^\frac{\pi}{2}_0$

yo = $2(\frac{\pi}{2}-1)$

yo = π – 2

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}(cos^{-1}x)^2dx$ es π – 2.

Pregunta 52. $\int_{0}^{a}sin^{-1}\sqrt{\frac{x}{a+x}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{a}sin^{-1}\sqrt{\frac{x}{a+x}}dx$

Sea x = a tan ² t. Entonces tenemos

=> dx = 2a tan t seg ² t dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> un bronceado ² t = x

=> un bronceado ² t = 0

=> bronceado t = 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = a

=> un bronceado ² t = x

=> un bronceado ² t = un

=> bronceado ² t = 1

=> bronceado t = 1

=> t = π/4

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{-1}\sqrt{\frac{atan^2t}{a+atan^2t}}(2atantsec^2t)dt$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{-1}\sqrt{\frac{atan^2t}{a(1+tan^2t)}}(2atantsec^2t)dt$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{-1}\sqrt{\frac{tan^2t}{sec^2t}}(2atantsec^2t)dt$

yo = $2a\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{-1}(sint)(tantsec^2t)dt$

yo = $2a\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}t(tantsec^2t)dt$

yo = $2a\left[\frac{ttan^2t}{2}-\int \frac{tan^2t}{2}dt\right]_0^\frac{\pi}{4}$

yo = $\left[attan^2t-\frac{2a}{2}\int (sec^2t-1)dt\right]_0^\frac{\pi}{4}$

yo = $\left[attan^2t-atant+at\right]_0^\frac{\pi}{4}$

yo = $\frac{a\pi}{4}tan^2\frac{\pi}{4}-atan\frac{\pi}{4}+a\frac{\pi}{4}$

yo = $\frac{a\pi}{4}-a+\frac{a\pi}{4}$

yo = $\frac{a\pi}{2}-a$

yo = $a(\frac{\pi}{2}-1)$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{a}sin^{-1}\sqrt{\frac{x}{a+x}}dx$ es $a(\frac{\pi}{2}-1)$ .

Pregunta 53. $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1+cosx}}{(1-cosx)^{\frac{3}{2}}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1+cosx}}{(1-cosx)^{\frac{3}{2}}}dx$

yo = $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{2cos^2\frac{x}{2}}}{(2sin^2\frac{x}{2})^{\frac{3}{2}}}dx$

yo = $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{2}cos\frac{x}{2}}{2\sqrt{2}sin^3\frac{x}{2}}dx$

yo = $\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos\frac{x}{2}}{sin^3\frac{x}{2}}dx$

yo = $\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}cot\frac{x}{2}\cosec^2\frac{x}{2}dx$

Sea cot x/2 = t. Entonces tenemos

=> $\frac{-1}{2}cosec^2\frac{x}{2}dx$ = dt

Ahora, el límite inferior es, x = π/3

=> t = cuna x/2

=> t = cuna π/6

=> t = √3

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = cuna x/2

=> t = cuna π/4

=> t = 1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $-\int_{\sqrt{3}}^{1}tdt$

yo = $\int^{\sqrt{3}}_{1}tdt$

yo = $\left[\frac{t^2}{2}\right]^{\sqrt{3}}_{1}$

yo = $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$

yo = 1

Por lo tanto, el valor de $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1+cosx}}{(1-cosx)^{\frac{3}{2}}}dx$ es 1.

Pregunta 54. $\int_{0}^{a}x\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{a}x\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}dx$

Sea x ² = a ² cos 2t. Entonces tenemos

=> 2x dx = – 2a ² sen 2t dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> a ² cos 2t = x ²

=> a ² cos 2t = 0

=> porque 2t = 0

=> 2t = π/2

=> t = π/4

Además, el límite superior es, x = a

=> a ² cos 2t = x ²

=> a ² cos 2t = a ²

=> porque 2t = 1

=> 2t = 0

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{\frac{\pi}{4}}^{0}\sqrt{\frac{a^2-a^2cos2t}{a^2-(1-cos2t)}}(-a^2sin2t)dt$

yo = $-a^2\int_{\frac{\pi}{4}}^{0}\frac{sint}{cost}sin2tdt$

yo = $a^2\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{sint}{cost}sin2tdt$

yo = $a^2\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}2sin^2tdt$

yo = $a^2\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}(1-cos2t)dt$

yo = $a^2\left[t-\frac{sin2t}{2}\right]^{\frac{\pi}{4}}_{0}$

yo = $a^2(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2})$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{a}x\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}dx$ es $a^2(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2})$ .

Pregunta 55. $\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}dx$

Sea x = a cos 2t. Entonces tenemos

=> dx = –2a sen 2t

Ahora, el límite inferior es, x = –a

=> a cos 2t = x

=> a cos 2t = –a

=> cos 2t = –1

=> 2t = π

=> t = π/2

Además, el límite superior es, x = a

=> a cos 2t = x

=> a cos 2t = a

=> porque 2t = 1

=> 2t = 0

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{\frac{a-acos2t}{a+acos2t}}(-2asin2t)dt$

yo = $-2a\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{\frac{a(1-cos2t)}{a(1+cos2t)}}sin2tdt$

yo = $-2a\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{\frac{1-cos2t}{1+cos2t}}sin2tdt$

yo = $-2a\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{\frac{2sin^2t}{2cos^2t}}sin2tdt$

yo = $-2a\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{sint}{cost}(2sintcost)dt$

yo = $-4a\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}sin^2tdt$

yo = $\frac{4a}{2}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(1-cos2t)dt$

yo = $2a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(1-cos2t)dt$

yo = $2a\left[t-\frac{sin2t}{2}\right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}$

yo = $2a\left[\frac{\pi}{2}-0-0+0\right]$

yo = πa

Por lo tanto, el valor de $\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}dx$ es πa.

Pregunta 56. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinxcosx}{cos^2x+3cosx+2}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinxcosx}{cos^2x+3cosx+2}dx$

Sea cos x = t. Entonces tenemos

=> – sen x dx = dt

=> sen x dx = –dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = cos x

=> t = cos 0

=> t = 1

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = cos x

=> t = cos π/2

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{1}^{0}\frac{-t}{t^2+3t+2}dt$

yo = $\int_{0}^{1}\frac{t}{(t+2)(t+1)}dt$

yo = $\int_{0}^{1}(\frac{-1}{t+1}+\frac{2}{t+2})dt$

yo = $\left[-log|1+t|+2log|t+2|\right]_{0}^{1}$

I = – log 2 + 2 log 3 + 0 – 2 log 2

I = 2 log 3 – 3 log 2

I = registro 9 – registro 8

I = registro 9/8

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinxcosx}{cos^2x+3cosx+2}dx$ es log 9/8.

Pregunta 57. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{tanx}{1+m^2tan^2x}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{tanx}{1+m^2tan^2x}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{sinx}{cosx}}{1+m^2(\frac{sin^2x}{cos^2x})}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinxcosx}{cos^2x+m^2sin^2x}dx$

Sea sen ² x = t. Entonces tenemos

=> 2 sen x cos x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = sen ² x

=> t = sen ² 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = sen ² x

=> t = sen ² π/2

=> t = 1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{(1-t)+m^2t}dt$

yo = $\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{(m^2-1)t+1}dt$

yo = $\frac{1}{2(m^2-1)}\left[\log|(m^2-1)t+1|\right]_0^1$

yo = $\frac{1}{2(m^2-1)}\left[\log|m^2-1+1|-log1\right]$

yo = $\frac{1}{2(m^2-1)}\left[\log m^2-log1\right]$

yo = $\frac{\log m^2}{2(m^2-1)}$

yo = $\frac{2\log m}{2(m^2-1)}$

yo = $\frac{\log m}{m^2-1}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{tanx}{1+m^2tan^2x}dx$ es $\frac{\log m}{m^2-1}$ .

Pregunta 58. $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(1+x^2)(\sqrt{1-x^2})}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(1+x^2)(\sqrt{1-x^2})}dx$

Sea x = sen t. Entonces tenemos

=> dx = cos t dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> sen t = x

=> sen t = 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = 1/2

=> sen t = x

=> sen t = 1/2

=> t = π/6

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{(1+sin^2t)(\sqrt{1-sin^2t})}(cost)dt$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{(1+sin^2t)(\sqrt{cos^2t})}(cost)dt$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{(1+sin^2t)cost}(cost)dt$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{1+sin^2t}dt$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{sec^2t}{1+2tan^2t}dt$

Sea tan t = u. Entonces tenemos

=> seg ² t dt = du

Ahora, el límite inferior es, t = 0

=> tu = bronceado t

=> tu = bronceado 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, t = π/6

=> tu = bronceado t

=> u = tan π/6

=> t = 1/√3

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{1}{1+2u^2}du$

yo = $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[tan^{-1}(\sqrt{2}u)\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

yo = $\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\sqrt{\frac{2}{3}}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(1+x^2)(\sqrt{1-x^2})}dx$ es $\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Pregunta 59. $\int_{\frac{1}{3}}^{1}\frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{\frac{1}{3}}^{1}\frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4}dx$

Sea 1/x ² – 1 = t. Entonces tenemos

=> –2/x ³ dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 1/3

=> t = 1/x ² – 1

=> t = 9 – 1

=> t = 8

Además, el límite superior es, x = 1

=> t = 1/x ² – 1

=> t = 1 – 1

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\frac{-1}{2}\int_{8}^{0}t^{\frac{1}{3}}dt$

yo = $\frac{1}{2}\left[\frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}\right]_{0}^{8}$

yo = $\frac{3}{8}\left[t^{\frac{4}{3}}\right]_{0}^{8}$

yo = $\frac{3}{8}(8^{\frac{4}{3}})$

yo = $\frac{3}{8}(16)$

yo = 6

Por lo tanto, el valor de $\int_{\frac{1}{3}}^{1}\frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4}dx$ es 6.

Pregunta 60. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^2xcos^2x}{(sin^3x+cos^3x)^2}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^2xcos^2x}{(sin^3x+cos^3x)^2}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{tan^2xsec^2x}{tan^6x+2tan^3x+1}dx$

Sea tan x = t. Entonces tenemos

=> seg ² x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = bronceado t

=> t = bronceado 0

=> t = 0

Además, el límite superior es, x = π/4

=> t = bronceado t

=> t = tan π/4

=> t = 1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{0}^{1}\frac{t^2}{t^6+2t^3+1}dt$

Sea t ³ = u. Entonces tenemos

=> 3t ² dt = du

=> t ² dt = du/3

Ahora, el límite inferior es, t = 0

=> tu = t ³

=> tu = 0 ³

=> tu = 0

Además, el límite superior es, t = 1

=> tu = t ³

=> tu = 1 ³

=> tu = 1

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{u^2+2u+1}du$

yo = $\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{(u+1)^2}du$

yo = $\frac{1}{3}\left[\frac{-1}{u+1}\right]_{0}^{1}$

yo = $\frac{1}{3}\left[\frac{-1}{1+1}+\frac{1}{1+0}\right]$

yo = $\frac{1}{3}(\frac{-1}{2}+1)$

yo = $\frac{1}{3}(\frac{1}{2})$

yo = $\frac{1}{6}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^2xcos^2x}{(sin^3x+cos^3x)^2}dx$ es $\frac{1}{6}$ .

Pregunta 61. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cosx-cos^3x}(sec^2x-1)cos^2xdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cosx-cos^3x}(sec^2x-1)cos^2xdx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cosx-cos^3x}tan^2xcos^2xdx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cosx-cos^3x}sin^2xdx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cosx(1-cos^2x)}sin^2xdx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cosx}sin^3xdx$

Sea cos x = t. Entonces tenemos

=> – sen x dx = dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = cos x

=> t = cos 0

=> t = 1

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = cos x

=> t = cos π/2

=> t = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $-\int_{1}^{0}\sqrt{t}(1-t^2)dt$

yo = $\int_{0}^{1}\sqrt{t}(1-t^2)dt$

yo = $\int_{0}^{1}(t^{\frac{1}{2}}-t^{\frac{5}{2}})dt$

yo = $\left[\frac{2t^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2t^{\frac{7}{2}}}{7}\right]_{0}^{1}$

yo = $\frac{2}{3}-\frac{2}{7}$

yo = $\frac{8}{21}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{cosx-cos^3x}(sec^2x-1)cos^2xdx$ es $\frac{8}{21}$ .

Pregunta 62. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})^n}dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})^n}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}}{(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})^n}dx$

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}}{(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})^{n-1}}dx$

Sea cos x/2 + sen x/2 = t. Entonces tenemos

=> (cos x/2 – sen x/2) dx = 2 dt

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> t = cos x/2 + sen x/2

=> t = cos 0 + sen 0

=> t = 1 + 0

=> t = 1

Además, el límite superior es, x = π/2

=> t = cos x/2 + sen x/2

=> t = cos π/2 + sen π/2

=> t = 1/√2 + 1/√2

=> t = √2

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = $\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{2}{(t)^{n-1}}dt$

yo = $\left[\frac{2t^{-n+2}}{-n+2}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$

yo = $\frac{2}{2-n}\left[(\sqrt{2})^{2-n}-1\right]$

yo = $\frac{2}{2-n}\left[2^{1-\frac{n}{2}}-1\right]$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})^n}dx$ es $\frac{2}{2-n}\left[2^{1-\frac{n}{2}}-1\right]$ .