Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.3 | conjunto 2

Posted on by Rudeus Greyrat

Evalúa las siguientes integrales:

Pregunta 15. \int\limits_{- \pi/2}^{\pi/2} \left\{ \sin \left| x \right| + \cos \left| x \right| \right\} dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int\limits_{- \pi/2}^{\pi/2} \left\{ \sin \left| x \right| + \cos \left| x \right| \right\} dx

Como f(- x) = sen|- x| + porque|- x|

= sen |x| + porque |x|

= f(x)

Entonces, f(x) es una función par.

Por lo tanto, obtenemos

yo = \int\limits_{- \pi/2}^{\pi/2} \left\{ \sin \left| x \right| + \cos \left| x \right| \right\} dx

yo = 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \left( \sin x + \cos x \right) dx

yo = 2 \left[ - \cos x + \sin x \right]_0^\frac{\pi}{2}

yo = 2 (0 + 1 + 1 – 0)

yo = 4

Pregunta 16. \int\limits_0^4 \left| x - 1 \right| dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int\limits_0^4 \left| x - 1 \right| dx

Sabemos,

\left| x - 1 \right| = \begin{cases} - \left( x - 1 \right) &,& 0 \leq x \leq 1\\x - 1&,& 1 < x \leq 4\end{cases}

Entonces obtenemos,

yo = \int_0^4 \left| x - 1 \right| d x

yo = \int_0^1 - \left( x - 1 \right) dx + \int_1^4 \left( x - 1 \right) dx

yo = \left[ - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^1 + \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_1^4

yo = -1/2 + 1 – 0 + 8 – 4 – 1/2 + 1

yo = 5

Pregunta 17. \int\limits_1^4 \left\{ \left| x - 1 \right| + \left| x - 2 \right| + \left| x - 4 \right| \right\} dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int\limits_1^4 \left\{ \left| x - 1 \right| + \left| x - 2 \right| + \left| x - 4 \right| \right\} dx

Sabemos,

\left| x - 1 \right| = \begin{cases} - \left( x - 1 \right) &,& x \leq 1\\x - 1&,& 1 < x \leq 4\end{cases}

\left| x - 2 \right| = \begin{cases} - \left( x - 2 \right) &,& 1 \leq x \leq 2\\x - 2&,& 2 < x \leq 4\end{cases}

\left| x - 4 \right| = \begin{cases} - \left( x - 4 \right) &,& 1 \leq x \leq 4\\x - 4&,& x > 4\end{cases}

Entonces obtenemos,

yo = \int_1^4 \left( x - 1 \right) d x - \int_1^2 \left( x - 2 \right) d x + \int_2^4 \left( x - 2 \right) d x - \int_1^4 \left( x - 4 \right) d x

yo = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_1^4 - \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_1^2 + \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_2^4 - \left[ \frac{x^2}{2} - 4x \right]_1^4

yo = 8 – 4 – 1/2 + 1 – (2 – 4 – 1/2 + 2) + 8 – 8 – 2 + 4 – (8 – 16 – 1/2 + 4)

yo = 23/2

Pregunta 18. \int_{- 5}^0 \left\{ \left| x \right| + \left| x + 2 \right| + \left| x + 5 \right| \right\} dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{- 5}^0 \left\{ \left| x \right| + \left| x + 2 \right| + \left| x + 5 \right| \right\} dx

Sabemos,

\left| x \right| = \begin{cases} - x &,& - 5 \leq x \leq 0\\x&,& x > 0\end{cases}

\left| x + 2 \right| = \begin{cases} - \left( x + 2 \right) &,& - 5 \leq x \leq - 2\\x + 2&,& - 2 < x \leq 0\end{cases}

\left| x + 5 \right| = \begin{cases} - \left( x + 5 \right) &,& - 5 \leq x \leq 0\\x + 5&,& x > - 5\end{cases}

Entonces obtenemos,

yo = - \int_{- 5}^0 x d x - \int_{- 5}^{- 2} \left( x + 2 \right) d x + \int_{- 2}^0 \left( x + 2 \right) d x + \int_{- 5}^0 \left( x + 5 \right) d x

yo = - \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{- 5}^0 - \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{- 5}^{- 2} + \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{- 2}^0 + \left[ \frac{x^2}{2} + 5x \right]_{- 5}^0

yo = 25/2 – (2 – 4 – 25/2 + 10) – 2 + 4 + (-25/2 + 25)

yo = 63/2

Pregunta 19. \int\limits_0^4 \left( \left| x \right| + \left| x - 2 \right| + \left| x - 4 \right| \right) dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int\limits_0^4 \left( \left| x \right| + \left| x - 2 \right| + \left| x - 4 \right| \right) dx

Sabemos,

\left| x \right| = \begin{cases} - x &,& - 5 \leq x \leq 0\\x&,& x > 0\end{cases}

\left| x - 2 \right| = \begin{cases} - \left( x - 2 \right) &,& 0 \leq x \leq 2\\x - 2&,& 2 < x \leq 4\end{cases}

\left| x - 4 \right| = \begin{cases} - \left( x - 4 \right) &,& 0 \leq x \leq 4\\x - 4&,& x > 4\end{cases}

Entonces obtenemos,

yo = \int_0^4 x d x - \int_0^2 \left( x - 2 \right) d x + \int_2^4 \left( x - 2 \right) d x - \int_0^4 \left( x - 4 \right) d x

yo = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 - \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_0^2 + \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_2^4 - \left[ \frac{x^2}{2} - 4x \right]_0^4

yo = 8 – (2 – 4) + 8 – 8 – 2 + 4 – (8 – 16)

yo = 20

Pregunta 20. \int_{- 1}^2 \left( \left| x + 1 \right| + \left| x \right| + \left| x - 1 \right| \right)dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{- 1}^2 \left( \left| x + 1 \right| + \left| x \right| + \left| x - 1 \right| \right)dx

Sabemos,

\left| x + 1 \right| = \begin{cases}x + 1, & \text{if }x + 1 \geq 0 \\ - \left( x + 1 \right), & \text{if }x + 1 < 0\end{cases}

Cuando –1 < x < 0,

|x + 1| + |x| + |x – 1| = x + 1 + (- x) + [-(x – 1)]

= 2 – x

Y cuando 0 < x < 1,

|x + 1| + |x| + |x – 1| = x + 1 + x + [-(x – 1)]

= xo + 2

Y cuando 1 ≤ x ≤ 2,

|x + 1| + |x| + |x – 1| = x + 1 + x + x – 1

= 3x

Entonces obtenemos,

yo = \int_{- 1}^2 \left( \left| x + 1 \right| + \left| x \right| + \left| x - 1 \right| \right)dx

yo = \int_{- 1}^0 \left( 2 - x \right)dx + \int_0^1 \left( x + 2 \right)dx + \int_1^2 3xdx

yo = \left.\frac{\left( 2 - x \right)^2}{2 \times \left( - 1 \right)}\right|_{- 1}^0 + \left.\frac{\left( x + 2 \right)^2}{2}\right|_0^1 + \left.3 \times \frac{x^2}{2}\right|_1^2

yo = – 1/2(4 – 9) + 1/2( 9 – 4) + 3/2(4 – 1)

yo = 5/2 + 5/2 + 9/2

yo = 19/2

Pregunta 21. \int_{- 2}^2 x e^{\left| x \right|} dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{- 2}^2 x e^{\left| x \right|} dx

En ningún lugar,

f(- x) = (- x)e |- x|

= – xe |x|

= – f(x)

Entonces, f(x) es una función impar.

Por lo tanto obtenemos,

yo = \int_{- 2}^2 x e^{\left| x \right|} dx

yo = 0

Pregunta 22. \int_{- \frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{2} \sin x\left| \sin x \right|dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{- \frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{2} \sin x\left| \sin x \right|dx

yo = \int_{- \frac{\pi}{4}}^0 \sin x\left| \sin x \right|dx + \int_0^\frac{\pi}{2} \sin x\left| \sin x \right|dx

Como la conocemos, \left| \sin x \right| = \begin{cases}\sin x, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ - \sin x, & - \frac{\pi}{4} \leq x \leq 0\end{cases}

yo = \int_{- \frac{\pi}{4}}^0 \sin x\left( - \sin x \right)dx + \int_0^\frac{\pi}{2} \sin x\sin xdx

yo = - \int_{- \frac{\pi}{4}}^0 \sin^2 xdx + \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2 xdx

yo = - \int_{- \frac{\pi}{4}}^0 \frac{1 - \cos2x}{2}dx + \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1 - \cos2x}{2}dx

yo = - \frac{1}{2} \int_{- \frac{\pi}{4}}^0 dx + \frac{1}{2} \int_{- \frac{\pi}{4}}^0 \cos2xdx + \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} dx - \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} \cos2xdx

yo = \left.- \frac{1}{2} \times x\right|_{- \frac{\pi}{4}}^0 +\left. \frac{1}{2} \times \frac{\sin2x}{2}\right|_{- \frac{\pi}{4}}^0 + \left.\frac{1}{2} \times x\right|_0^\frac{\pi}{2} - \left.\frac{1}{2} \times \frac{\sin2x}{2}\right|_0^\frac{\pi}{2}

I = -1/2(0 + π/4) + 1/4(0 + sen π/2) + 1/2 ( π/2 – 0) – 1/4(sen π – 0)

yo = – π/8 + 1/4 (0 + 1) + π/8 – 1/4 (0 – 0)

yo = π/8 + 1/4

Pregunta 23. \int_0^\pi \cos x\left| \cos x \right|dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_0^\pi \cos x\left| \cos x \right|dx

En ningún lugar,

f(– x) = cos(– x)|cos(– x)|

= -cos x|-cos x| 

= – cos x|cos x| 

= – f(x)

Entonces, f(x) es una función impar.

Por lo tanto obtenemos,

yo = \int_0^\pi \cos x\left| \cos x \right|dx

yo = 0

Pregunta 24. \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \left( 2\sin\left| x \right| + \cos\left| x \right| \right)dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \left( 2\sin\left| x \right| + \cos\left| x \right| \right)dx

En ningún lugar,

f(- x) = 2sen|- x| + porque|- x|

= 2sen|x| + porque|x| 

= f(x)

Entonces, f(x) es una función impar.

Por lo tanto obtenemos,

yo = \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \left( 2\sin\left| x \right| + \cos\left| x \right| \right)dx

yo = 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \left( 2\sin\left| x \right| + \cos\left| x \right| \right)dx

Como la conocemos, \left| x \right| = \begin{cases}x, & \text{if }x \geq 0 \\ - x, & \text{if }x < 0\end{cases}

yo = 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \left( 2\sin x + \cos x \right)dx

yo = 4 \int_0^\frac{\pi}{2} \sin x\ dx + 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \cos x\ dx

yo = \left.4 \times \left( - \cos x \right)\right|_0^\frac{\pi}{2} + \left.2 \times \sin x\right|_0^\frac{\pi}{2}

I = – 4(cos π/2 – cos 0) + 2(sen π/2 – sen 0)

Yo = –4 (0 – 1) + 2 (1 – 0)

yo = 4 + 2

yo = 6

Pregunta 25. \int_{- \frac{\pi}{2}}^\pi \sin^{- 1} \left( \sin x \right)dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{- \frac{\pi}{2}}^\pi \sin^{- 1} \left( \sin x \right)dx

yo = \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \sin^{- 1} \left( \sin x \right)dx + \int_\frac{\pi}{2}^\pi \sin^{- 1} \left( \sin x \right)dx

yo = \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} xdx + \int_\frac{\pi}{2}^\pi \left( \pi - x \right)dx

Como π/2 ≤ x ≤ π, obtenemos

=> –π ≤ –x ≤ –π/2

=> 0 ≤ π – x ≤ π/2

Entonces, obtenemos

yo = \left.\frac{x^2}{2}\right|_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} + \left.\frac{\left( \pi - x \right)^2}{2 \times \left( - 1 \right)}\right|_\frac{\pi}{2}^\pi

yo = 1/2 (π 2/4 – π 2/4 ) – 1/2( 0 – π 2/4 )

yo = 0 + π 2 /8

yo = π 2/8

Pregunta 26. \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{- \frac{\pi}{2}}{\sqrt{\cos x \sin^2 x}}dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{- \frac{\pi}{2}}{\sqrt{\cos x \sin^2 x}}dx

yo = - \frac{\pi}{2} \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{\cos x \sin^2 x}}dx

yo = - \frac{\pi}{2} \int_{- \frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{\cos x}\left| \sin x \right|}dx

Como la conocemos, f\left( - x \right) = \sqrt{\cos\left( - x \right)}\left| \sin\left( - x \right) \right|

= √cos x|-sen x|

= √cos x|sen x|

= f(x)

Entonces, f(x) es una función impar.

Por lo tanto obtenemos,

yo = - \frac{\pi}{2} \times 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{\cos x}\left| \sin x \right|}dx

yo = -\pi\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{\cos x}\left| \sin x \right|}dx

Como sabemos  \left| \sin x \right| = \sin x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} ,

yo = - \pi \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{\cos x}\sin x}dx

yo = - \pi \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}\left( 1 - \cos^2 x \right)}dx

Sea cos x = z 2 . Entonces tenemos

=> – sen x dx = 2z dz

Ahora, el límite inferior es, x = 0

=> z 2 = cos x

=> z 2 = cos 0

=> z 2 = 1

=> z = 1

Además, el límite superior es, x = π/2

=> z 2 = cos x

=> z 2 = cos π/2

=> z 2 = 0

=> z = 0

Entonces, la ecuación se convierte en,

yo = 2\pi \int_1^0 \frac{zdz}{z\left( 1 - z^4 \right)}

yo = 2\pi \int_1^0 \frac{dz}{1 - z^4}

yo = 2\pi \int_1^0 \frac{dz}{\left( 1 - z \right)\left( 1 + z \right)\left( 1 + z^2 \right)}

yo = 2\pi \int_1^0 \frac{\frac{1}{4}}{1 - z}dz + 2\pi \int_1^0 \frac{\frac{1}{4}}{1 + z}dz + 2\pi \int_1^0 \frac{\frac{1}{2}}{1 + z^2}dz

yo = \left.\frac{2\pi}{4} \times \frac{\log\left( 1 - z \right)}{- 1}\right|_1^0 + \left.\frac{2\pi}{4} \times \log\left( 1 + z \right)\right|_1^0 + \left.\frac{2\pi}{2} \times \tan^{- 1} z\right|_1^0

I = – π/2(log1 – log0) + π/2(log1 – log2) + π(tan -1 0 – tan -1 1)

yo = – π/2[0 – ∞] + π/2(0 – log2) + π(0 – π/4)

yo = -∞ – π/2 log2 – π 2 /4

yo = –∞

Pregunta 27. \int_0^2 2x\left[ x \right]dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_0^2 2x\left[ x \right]dx

yo = \int_0^1 2x\left[ x \right]dx + \int_1^2 2x\left[ x \right]dx

Como la conocemos, \left[ x \right] = \begin{cases}0, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & 1 \leq x < 2\end{cases}

yo = \int_0^1 2x \times 0dx + \int_1^2 2x \times 1dx

yo = 0 + 2 \int_1^2 xdx

yo = \left.2 \times \frac{x^2}{2}\right|_1^2

yo = 4 – 1

yo = 3

Pregunta 28. \int_0^{2\pi} \cos^{- 1} \left( \cos x \right)dx

Solución:

Tenemos,

yo = \int_0^{2\pi} \cos^{- 1} \left( \cos x \right)dx

yo = \int_0^\pi \cos^{- 1} \left( \cos x \right)dx +\int_\pi^{2\pi} \cos^{- 1} \left( \cos x \right)dx

Como sabemos, π ≤ x ≤ 2π

=> –2π ≤ –x ≤ –π

=> 0 ≤ 2π – x ≤ π

Por lo tanto, obtenemos

yo = \int_0^\pi xdx + \int_\pi^{2\pi} \left( 2\pi - x \right)dx

yo = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^\pi + \left.\frac{\left( 2\pi - x \right)^2}{2 \times \left( - 1 \right)}\right|_\pi^{2\pi}

yo = 1/2( π – 0) – 1/2(0 – π)

yo = π 2 /2 + π 2 /2

yo = π 2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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