Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.4 Parte A

Evaluar de cada una de las siguientes integrales (1-16):

Pregunta 1. $\int\limits_0^{2π}\frac{e^{sinx}}{e^{sinx}+e^{-sinx}}dx$

Solución:

Lo sabemos $\int\limits_0^{2π }f(x)dx=\int\limits_0^{2π }f(2π -x)dx$

asi que,

$\int\limits_0^{2π}\frac{e^{sinx}}{e^{sinx}+e^{-sinx}}dx =\int\limits_0^{2π}\frac{e^{sin(2π-x)}}{e^{sin(2π-x)}+e^{-sin(2π-x)}}dx$

sabemos, $sin(2π -x)=-sinx$

$\int\limits_0^{2π}\frac{e^{sinx}}{e^{sinx}+e^{-sinx}}dx =\int\limits_0^{2π}\frac{e^{-sinx}}{e^{-sinx}+e^{sinx}}dx$

si

yo = $\int\limits_0^{2π}\frac{e^{-sinx}}{e^{-sinx}+e^{sinx}}dx$

después

yo = $\int\limits_0^{2π}\frac{e^{sinx}}{e^{sinx}+e^{-sinx}}dx$

2I = $\int\limits_0^{2π}\frac{e^{sinx}}{e^{sinx}+e^{-sinx}}dx +\int\limits_0^{2π}\frac{e^{-sinx}}{e^{-sinx}+e^{sinx}}dx$

$2I=\int\limits_0^{2π}(\frac{e^{sinx}}{e^{sinx}+e^{-sinx}} +\frac{e^{-sinx}}{e^{-sinx}+e^{sinx}})dx$

$2I=\int\limits_0^{2π}(\frac{e^{sinx}+e^{-sinx}}{e^{sinx}+e^{-sinx}} )dx$

$2I=\int\limits_0^{2π}dx$

$2I=2π$

l=π

Pregunta 2. $\int\limits_0^{2π} log (secx+tanx)dx$

Solución:

Lo sabemos $\int\limits_0^{2π }f(x)dx=\int\limits_0^{2π }f(2π -x)dx$

Asi que,

$\int\limits_0^{2π} log (secx+tanx)dx= \int\limits_0^{2π} log (sec(2π-x)+tan(2π-x)dx$

$\int\limits_0^{2π} log (secx+tanx)dx= \int\limits_0^{2π} log (secx-tanx)dx$

si

yo = $\int\limits_0^{2π} log (secx-tanx)dx$

después

yo = $\int\limits_0^{2π} log (secx+tanx)dx$

2I = $\int\limits_0^{2π} log (secx+tanx)dx+ \int\limits_0^{2π} log (secx-tanx)dx$

2I= $\int\limits_0^{2π} log (sec^2x-tan^2x)dx$

2I = $\int\limits_0^{2π} log (1)dx$

2I=0

yo=0

Pregunta 3. $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{tanx}}{\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx}}dx$

Solución:

Sabemos $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^bf(a+b-x)dx$

Asi que,

$\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{tanx}}{\sqrt{tanx }+\sqrt{cotx}}dx = \int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{tan(π/2-x)}}{\sqrt{tan(π/2-x)}+\sqrt{cot(π/2-x)}}dx$

$\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{tanx}}{\sqrt{tanx }+\sqrt{cotx}}dx = \int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{cotx}}{\sqrt{cotx}+\sqrt{tanx}}dx$

si

yo= $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{tanx}}{\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx}}dx$

después

yo= $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{cotx}}{\sqrt{cotx}+\sqrt{tanx}}dx$

Asi que

2I= $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{tanx}}{\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx}}dx +\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{cotx}}{\sqrt{cotx}+\sqrt{tanx}}dx$

2I = $\int\limits_{π/6}^{π/3}(\frac{\sqrt{tanx}}{\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx}} +\frac{\sqrt{tanx}}{\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx}})dx$

2I= $\int\limits_{π/6}^{π/3}dx$

2I=π/6

yo=π/12

Pregunta 4. $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}} dx$

Solución:

Sabemos $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^bf(a+b-x)dx$

Asi que,

$\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}} dx = \int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{\sqrt{sin(π/2-x)}}{\sqrt{sin(π/2-x)}+\sqrt{cos(π/2-x)}} dx$

$\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}} dx = \int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}} dx$

si

yo = $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}} dx$

después,

yo = $\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}} dx$

2I = $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}} dx +\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}} dx$

2I = $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}} dx$

2I = $\int\limits_{π/6}^{π/3}dx$

2I=π/6

yo=π/12

Pregunta 5. $\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^x}dx$

Solución:

Sabemos $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^bf(a+b-x)dx$

asi que,

$\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^x}dx =\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2{-x}}{1+e^{-x}}dx$

$\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^x}dx=\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^{-x}}dx$

si

$I=\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^x}dx$

después,

$I=\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^{-x}}dx$

$2I=\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^x}dx +\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^{-x}}dx$

$2I=\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^x}dx +\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{e^xtan^2x}{1+e^x}dx$

$2I=\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x+e^xtan^2x}{1+e^x}dx$

$2I=\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{(e^x+1)tan^2x}{1+e^x}dx$

$2I=\int\limits_{-π/4}^{π/4} tan^2xdx$

$I=\frac{\int\limits_{-π/4}^{π/4} tan^2x}{2}dx$

sabemos si

f(x) es par $\int\limits_{-a}^af(x)dx=2\int\limits_{0}^af(x)dx$

f(x) es impar $\int\limits_{-a}^af(x)dx=0$

Aquí, f(x) = tan ² x que es par

por eso,

$I=\int\limits_{0}^{π/4}tan^2xdx$

$I=\int\limits_{0}^{π/4}(sec^2x-1)dx$

$I=\left.({tanx-x})\right|_0^{π/4}$

yo = $I=π/4$

Pregunta 6. $\int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^x}dx,a>0$

Solución:

Sabemos $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^bf(a+b-x)dx$

Asi que,

$\int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^x}dx = \int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^{-x}}dx$

si, $I = \int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^x}dx$ entonces $I=\int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^{-x}}dx$

Asi que,

$2I=\int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^x}dx+ \int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^{-x}}dx$

$2I=\int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^x}+ \frac{1}{1+a^{-x}}dx$

$2I= \int\limits_{-a}^a \frac{1+a^x}{1+a^x}dx$

$2I= \int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^x}+ \frac{a^x}{1+a^x}dx$

$2I= \int\limits_{-a}^a dx$

$2I=2a$

$I=a$

Pregunta 7. $\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{tanx}} dx$

Solución:

Sabemos $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^bf(a+b-x)dx$

Por eso,

$\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{tanx}} dx =\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{-tanx}} dx$

si, $I=\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{tanx}} dx$

después $I=\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{-tanx}} dx$

asi que,

$2I=\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{tanx}} dx+\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{-tanx}} dx$

$2I=\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{tanx}} + \frac{1}{1+e^{-tanx}} dx$

$2I=\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{tanx}} + \frac{e^{tanx}}{1+e^{tanx}} dx$

$2I=\int\limits_{-π/3}^{π/3} dx$

$2I=2π/3$

$I=π/3$

pregunta 8 $\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^x}dx$

Solución:

Sabemos $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^bf(a+b-x)dx$

por eso, $\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^x}dx =\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2(-x)}{1+e^{-x}}dx$

$\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^x}dx = \int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^{-x}}dx$

si $I=\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^x}dx$

Después, $I=\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^{-x}}dx$

Asi que, $2I=\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^x}dx +\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^{-x}}dx$

$2I= \int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^x}+ \frac{e^xcos^2x}{1+e^x}dx$

$2I=\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x+e^xcos^2x}{1+e^x}dx$

$2I=\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{(1+e^x)cos^2x}{1+e^x}dx$

$2I=\int\limits_{-π/2}^{π/2} cos^2x dx$

$2I=\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{1+cos2x}{2}dx$

$I= \left.\frac{1}{4}(x+\frac{sin2x}2)\right|_{-π/2}^{π/2}$

$I=\frac{1}{4}[\frac{π}2-(-\frac{π}2)]$

$I=\frac{π}4$

Pregunta 9. $\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{x^{11}-3x^9+5x^7-x^5+1}{cos^2x} dx$

Solución:

$\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{x^{11}-3x^9+5x^7-x^5+1}{cos^2x} dx$

$\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{x^{11}-3x^9+5x^7-x^5}{cos^2x}+\frac{1}{cos^2x} dx$

$\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{x^{11}-3x^9+5x^7-x^5}{cos^2x}+\int\limits_{-π/4}^{π/4}sec^2x dx$

si f(x) es par

$\int\limits_{-a}^af(x)dx=2\int\limits_{0}^af(x)dx$

si f(x) es impar

$\int\limits_{-a}^af(x)dx=0$

aquí, $\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{x^{11}-3x^9+5x^7-x^5}{cos^2x}dx$ es extraño y $\int\limits_{-π/4}^{π/4}sec^2x dx$

incluso

Por eso,

$0+2\int\limits_0^{π/4}sec^2x dx$

$\left.2tanx\right|_0^{\frac{π}{4}}$

2

Pregunta 10. $\int\limits_{a}^{b} \frac{x^{1/n}}{x^{1/n}+(a+b-x)^{1/n}} dx,n\in N,n\geq 2$

Solución:

si

$I=\int\limits_{a}^{b} \frac{x^{1/n}}{x^{1/n}+(a+b-x)^{1/n}} dx$

después,

$I=\int\limits_{a}^{b} \frac{{(a+b-x)}^{1/n}}{x^{1/n}+(a+b-x)^{1/n}} dx$

$2I=\int\limits_{a}^{b} \frac{x^{1/n}}{x^{1/n}+(a+b-x)^{1/n}} dx +\int\limits_{a}^{b} \frac{(a+b-x)^{1/n}}{x^{1/n}+(a+b-x)^{1/n}} dx$

$2I=\int\limits_{a}^{b} \frac{x^{1/n}+(a+b-x)^{1/n}}{x^{1/n}+(a+b-x)^{1/n}} dx$

$2I=\int\limits_{a}^{b} dx$

$I=\frac{b-a}{2}$

Pregunta 11. $\int\limits_0^{π/2} (2logcosx-logsinx2x)dx$

Solución:

dejar, $I=\int\limits_0^{π/2} (2logcosx-logsinx2x)dx$

$I=\int\limits_0^{π/2} (log\frac{cos^2x}{sinx2x})dx$

$I=\int\limits_0^{π/2} (log\frac{cos^2x}{2sinxcosx})dx$

$I=\int\limits_0^{π/2} (log\frac{cosx}{2sinx})dx$

$I=\int\limits_0^{π/2} logcosxdx-\int\limits_0^{π/2} logsinxdx-\int\limits_0^{π/2}log2dx$

lo sabemos, $\int\limits_0^{π/2}logcosxdx=\int\limits_0^{π/2}logsinxdx$

por eso,

$I=-\int\limits_0^{π/2}log2dx =\frac{-π}{2}log2$

Pregunta 12. $\int\limits_0^a \frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt {a-x}} dx$

Solución:

Dejar, $I=\int\limits_0^a \frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt {a-x}} dx$

lo sabemos , $\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_0^af(a-x)dx$

asi que, $I=\int\limits_0^a \frac{\sqrt {a-x}}{\sqrt{a-x}+\sqrt {x}} dx$

después,

$2I= \int\limits_0^a \frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt {a-x}} dx + \int\limits_0^a \frac{\sqrt{ a-x}}{\sqrt {a-x}+\sqrt x} dx$

$2I= \int\limits_0^a \frac{\sqrt x+\sqrt{a-x}}{\sqrt x+\sqrt {a-x}} dx$

$2I= \int\limits_0^a dx$

$2I=a$

$I=\frac{a}{2}$

Pregunta 13. $\int\limits_0^5 \frac{\sqrt[4]{x+4} }{\sqrt[4]{x+4} +\sqrt[4]{9-x} }dx$

Solución:

Lo sabemos, $\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_0^af(a-x)dx$

Asi que,

$I=\int\limits_0^5 \frac {\sqrt[4]{(5-x)+4} }{\sqrt[4]{(5-x)+4} +\sqrt[4]{9-(5-x)} }dx$

$I=\int\limits_0^5 \frac{\sqrt[4]{9-x} }{\sqrt[4]{9-x} +\sqrt[4]{4+x} }dx$

después,

$2I=\int\limits_0^5 \frac{\sqrt[4]{x+4} }{\sqrt[4]{x+4} +\sqrt[4]{9-x} }dx +\int\limits_0^5 \frac{\sqrt[4]{9-x} }{\sqrt[4]{9-x} +\sqrt[4]{4+x} }dx$

$2I= \int\limits_0^5 \frac{\sqrt[4]{x+4}\sqrt[4]{9-x} }{\sqrt[4]{x+4} +\sqrt[4]{9-x} }dx$

$2I= \int\limits_0^5 dx$

yo $I=\frac{5}{2}$

Pregunta 14. $\int\limits_0^7 \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{7-x}}dx$

Solución:

Lo sabemos, $\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_0^af(a-x)dx$

asi que,

$I=\int\limits_0^7 \frac{\sqrt[3]{7-x}}{\sqrt[3]{7-x}+\sqrt[3]{x}}dx$

después,

$2I=\int\limits_0^7 \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{7-x}}dx+ \int\limits_0^7 \frac{\sqrt[3]{7-x}}{\sqrt[3]{7-x}+\sqrt[3]{x}}dx$

$2I=\int\limits_0^7 dx$

$I=\frac{7}{2}$

Pregunta 15. $\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{1}{1+\sqrt {tanx}}dx$

Solución:

Lo sabemos, $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^bf(a+b-x)dx$

Dejar, $I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{1}{1+\sqrt {tanx}}dx$

$I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt {sinx}}dx$

por eso,

$I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{\sqrt{cos(\frac{π}{2}- x)}}{\sqrt{cos(\frac{π}{2}-x)} +\sqrt {sin(\frac{π}{2}-x)}}dx$

$I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt {sinx}}dx$

$2I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt {sinx}}dx + \int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt {sinx}}dx$

$2I= \int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt {sinx}}dx$

$2I= \int\limits_{π/6}^{π/3} dx$

$I=\frac{π}{12}$

Pregunta 16. Si f(a+bx)=f(x), entonces prueba que $\int\limits_a^b xf(x)dx=\frac{a+b}{2} \int\limits_a^bf(x)dx$

Solución:

$I=\int\limits_a^bf(x)dx$

$I=\int\limits_a^b(a+b-x)f(a+b-x)dx$

$I=\int\limits_a^b(a+b-x)f(x)dx........... [\because f(a+b-x)=f(x)]$

$I=\int\limits_a^b(a+b)f(x)dx-\int\limits_a^bf(x)dx$

$I=(a+b)\int\limits_a^bf(x)dx-I$

$2I=(a+b)\int\limits_a^bf(x)dx$

$I=\frac{(a+b)}{2}\int\limits_a^bf(x)dx$

$\therefore \int\limits_a^bxf(x)dx=\frac{(a+b)}{2}\int\limits_a^bf(x)dx$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ranshu1601 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Evaluar de cada una de las siguientes integrales (1-16):

Pregunta 1.

Pregunta 2.

Pregunta 3.

Pregunta 4.

Pregunta 5.

Pregunta 6.

Pregunta 7.

pregunta 8

Pregunta 9.

Pregunta 10.

Pregunta 11.

Pregunta 12.

Pregunta 13.

Pregunta 14.

Pregunta 15.

Pregunta 16. Si f(a+bx)=f(x), entonces prueba que

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Pregunta 1. $\int\limits_0^{2π}\frac{e^{sinx}}{e^{sinx}+e^{-sinx}}dx$

Pregunta 2. $\int\limits_0^{2π} log (secx+tanx)dx$

Pregunta 3. $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{tanx}}{\sqrt{tanx}+\sqrt{cotx}}dx$

Pregunta 4. $\int\limits_{π/6}^{π/3}\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}} dx$

Pregunta 5. $\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{tan^2x}{1+e^x}dx$

Pregunta 6. $\int\limits_{-a}^a \frac{1}{1+a^x}dx,a>0$

Pregunta 7. $\int\limits_{-π/3}^{π/3} \frac{1}{1+e^{tanx}} dx$

pregunta 8 $\int\limits_{-π/2}^{π/2} \frac{cos^2x}{1+e^x}dx$

Pregunta 9. $\int\limits_{-π/4}^{π/4} \frac{x^{11}-3x^9+5x^7-x^5+1}{cos^2x} dx$

Pregunta 10. $\int\limits_{a}^{b} \frac{x^{1/n}}{x^{1/n}+(a+b-x)^{1/n}} dx,n\in N,n\geq 2$

Pregunta 11. $\int\limits_0^{π/2} (2logcosx-logsinx2x)dx$

Pregunta 12. $\int\limits_0^a \frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt {a-x}} dx$

Pregunta 13. $\int\limits_0^5 \frac{\sqrt[4]{x+4} }{\sqrt[4]{x+4} +\sqrt[4]{9-x} }dx$

Pregunta 14. $\int\limits_0^7 \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{7-x}}dx$

Pregunta 15. $\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{1}{1+\sqrt {tanx}}dx$

Pregunta 16. Si f(a+bx)=f(x), entonces prueba que $\int\limits_a^b xf(x)dx=\frac{a+b}{2} \int\limits_a^bf(x)dx$