Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.4 Parte B

Evaluar de cada una de las siguientes integrales (1-46):

Pregunta 1. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+tanx}dx$

Solución:

Tenemos,

$\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+tanx}dx = \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cosx}{cosx+sinx}dx$

$\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+tanx}dx =\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cosx}{cosx+sinx}dx$

Dejar

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cosx}{cosx+sinx}dx$ —— 1

Entonces, $I= \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cos(\frac{π}{2}-x)} {cos(\frac{π}{2}-x)+sin(\frac{π}{2}-x)}dx$ , $[\because \int\limits_0^af(x)= \int\limits_0^af(a-x)dx]$

$\int\limits_0^{π/2}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$ ———— 2

Por lo tanto, al sumar 1 y 2 ..

$2I=\int\limits_0^{π/2} \frac{cosx}{cosx+sinx}dx+ \int\limits_0^{π/2} \frac{sinx}{cosx+sinx}dx$

$2I=\int\limits_0^{π/2} \frac{cosx+sinx}{cosx+sinx}dx$

$2I=\int\limits_0^{π/2}dx$

$2I=\frac{π}{2}$

$I=\frac{π}{4}$

Pregunta 2. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+cotx}dx$ ,

Solución:

Tenemos,

$\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+cotx}dx =\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sinx}{sinx+cosx}dx$

Sea, I= $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sinx}{sinx+cosx}dx$ —– 1

Entonces, $I= \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin(\frac{π}{2}-x)}{sin(\frac{π}{2}-x)+ cos(\frac{π}{2}-x)}dx$ —— 2

Sumando 1 y 2 ——-

$2I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sinx}{sinx+cosx}dx +\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cosx}{sinx+cosx}dx$

$2I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sinx+cosx}{sinx+cosx}dx$

$2I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} dx$

$2I=\frac{π}{2}$

$I=\frac{π}{4}$

Pregunta 3. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{cotx}}{\sqrt{cotx}+\sqrt{tanx}}dx$ ,

Solución:

Tenemos , $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{cotx}}{\sqrt{cotx}+\sqrt{tanx}}dx = \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{\frac{cosx}{sinx}}} {\sqrt{\frac{cosx}{sinx}}+\sqrt{\frac{sinx}{cosx}}}dx = \frac{cosx}{cosx+sinx}$

$\therefore \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{cotx}}{\sqrt{cotx}+\sqrt{tanx}}dx = \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cosx}{cosx+sinx}dx$

Dejar, $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cosx}{cosx+sinx}dx$

Asi que,

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cos(\frac{π}{2}-x)}{sin(\frac{π}{2}-x)+cos(\frac{π}{2}-x)}dx$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sinx}{sinx+cosx}dx$ ————— 2

Sumando 1 y 2 ——–

$2I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sinx+cosx}{sinx+cosx}dx$

$2I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} dx$

$I=\frac{π}{4}$

Pregunta 4. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin^{3/2}x}{sin^{3/2}x+cos^{3/2}x}dx$

Solución:

Sea, $I= \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin^{3/2}x}{sin^{3/2}x+cos^{3/2}x}dx$ —— 1

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin^{3/2}(\frac{π}{2}-x)} {sin^{3/2}(\frac{π}{2}-x)+cos^{3/2}(\frac{π}{2}-x)}dx$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cos^{3/2}x}{sin^{3/2}x+cos^{3/2}x}dx$ ———- 2

Sumando 1 y 2 —–

$2I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin^{3/2}x+cos^{3/2}x}{sin^{3/2}x+cos^{3/2}x}dx$

$2I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} dx$

$I=\frac{π}{4}$

Pregunta 5. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin^nx}{sin^nx+cos^nx}dx$

Solución:

Sea, $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin^nx}{sin^nx+cos^nx}dx$ ———– (1)

Asi que,

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin^n(\frac{π}{2}-x)}{sin^n(\frac{π}{2}-x)+cos^n(\frac{π}{2}-x)}dx$

$I= \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{cos^nx}{sin^nx+cos^nx}dx$

$I=\frac{π}{4}$

Pregunta 6. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{tanx}}dx$

Solución:

$\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{tanx}}dx = \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}}dx$

$I= \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}}dx$ ———- 1

$\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{cos(\frac{π}{2}-x)}} {\sqrt{cos(\frac{π}{2}-x)}+\sqrt{sin(\frac{π}{2}-x)}}dx$

$I= \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}}dx$ —– 2

Sumando 1 y 2 ——-

$2I= \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}}dx + \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}}dx$

$2I= \int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}}dx$

$2I= \int\limits_0^{\frac{π}{2}} dx$

$2I=\frac{π}{2}$

$I=\frac{π}{4}$

Pregunta 7. $\int\limits_0^{a} \frac{1}{x+\sqrt{a^2-x^2}}dx$

Solución:

Dejar, $I=\int\limits_0^{a} \frac{1}{x+\sqrt{a^2-x^2}}dx$

dejar $x = sin\theta$ , $dx=acos\theta d\theta$

Ahora, x=0 , $\theta = 0$ , entonces $x=a , \theta = π/2$

$\int\limits_0^{π/2} \frac{acos\theta }{asin\theta+acos\theta}d\theta$

$I=\int\limits_0^{π/2} \frac{cos\theta }{sin\theta+cos\theta}d\theta$ ——————– 1

Asi que,

$I=\int\limits_0^{π/2} \frac{cos(\frac{π}{2}-\theta )} {sin(\frac{π}{2}-\theta )+cos(\frac{π}{2}-\theta )}d\theta$

$I=\int\limits_0^{π/2} \frac{sin\theta }{sin\theta+cos\theta}d\theta$ ————- 2

Sumando (1) y (2) —————-

$2I=\int\limits_0^{π/2} \frac{cos\theta +sin\theta}{sin\theta+cos\theta}d\theta$

$2I=\int\limits_0^{π/2} d\theta$

$I=\frac{π}{4}$

pregunta 8 $\int\limits_0^{\infty} \frac{logx}{1+x^2}dx$

Solución:

Dejar, $x= tan \theta, dx=sec^2\theta d\theta$

después $x=0, \theta=0 ; x=\infty , \theta=\frac{π}{2}$

$\therefore I=\int\limits_0^{\infty} \frac{logx}{1+x^2}dx$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{logtan\theta sec^2\theta d\theta}{1+tan^2\theta}dx$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} {logtan\theta d\theta}$ ———— (1)

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} {logtan(\frac{π}{2}-\theta) d\theta}$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} {logcot\theta d\theta}$ ——————- (2)

Sumar (1) y (2) ————

$2I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} {(logtan\theta +logcot\theta )d\theta}$

$2I=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} log1x dx=\int\limits_0^{\frac{π}{2}} 0x dx=0$

Pregunta 9. $\int\limits_0^{1} \frac{log(1+x)}{1+x^2}dx$

Solución:

Dejar, $x= tan \theta, dx=sec^2\theta d\theta$

$x=0, \theta=0 ; x=1 , \theta=\frac{π}{4}$

$\therefore \int\limits_0^{1} \frac{log(1+x)}{1+x^2}dx$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{4}} log(1+tan\theta) d \theta$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{4}} log(1+tan(\frac{π}{4}-\theta)) d \theta$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{4}} log(1+\frac{1-tan\theta}{1+tan\theta}) d \theta$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{4}} log(\frac{2}{1+tan\theta}) d \theta$

$I=\int\limits_0^{\frac{π}{4}} \{ log2-log(1+tan\theta)\} d \theta$

$I=\frac{π}{8}log2$

Pregunta 10. $\int\limits_0^{\infty} \frac{x}{(1+x)(1+x^2)}dx$

Solución:

$I=\int\limits_0^{\infty} \frac{x}{(1+x)(1+x^2)}dx$

Dejar,

$\frac{x}{(1+x)(1+x^2)} = \frac{A}{1+x}+\frac{Bx+C}{1+x}$

$x=A(1+x^2)+(Bx+C)(1+x)$

Igualando los coeficientes, obtenemos

$A+B=0; A=-B$

$B+C=1;-2A=1$

$A+C=0;A=-C$

$\therefore A=-\frac{1}{2},B=\frac{1}{2},C=\frac{1}{2}$

Asi que,

$I=\int\limits_0^{\infty} \frac{-\frac{1}{2}}{(1+x)}+\frac{1}{2}\frac{1+x}{(1+x^2)}dx$

$I=\int\limits_0^{\infty} -\frac{1}{2(1+x)}dx +\frac{1}{2} \int\limits_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)}dx +\frac{1}{2} \int\limits_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)}dx$

$=0+0+\frac{π}{4}+0-0-0$

$I=\frac{π}{4}$

Pregunta 11. $\int\limits_0^{π} \frac{xtanx}{secx cosecx}dx$

Solución:

$I=\int\limits_0^{π} \frac{xtanx}{secx cosecx}dx$

$I=\int\limits_0^{π} \frac{x\frac{sinx}{cosx}}{\frac{1}{cosx} \frac{1}{sinx}}dx$

$I=\int\limits_0^{π} xsin^2xdx$ ————- (1)

$I=\int\limits_0^{π} (π-x)sin^2(π-x)dx$

$I=\int\limits_0^{π} (π-x)sin^2xdx$ —————— (2)

Sumar (1) y (2) —————-

$2I=\int\limits_0^{π} (π-x)sin^2xdx =π\int\limits_0^{π} \frac{1-cos2x}{2}dx =\frac{π}{2}[π-0-0+0]=\frac{π^2}{2}$

$\therefore \int\limits_0^{π} \frac{xtanx}{secx cosecx}dx= \frac{π^2}{4}$

Pregunta 12. $\int\limits_0^{π}{xsinxcos^4x}dx$

Solución:

Sea , $I=\int\limits_0^{π}{xsinxcos^4x}dx$ ————– 1

Asi que,

$I=\int\limits_0^{π}{(π-x)sin(π-x)cos^4(π-x)}dx$

$I=\int\limits_0^{π}{(π-x) sinx.cos^4x}dx -1$

$2I=π\int\limits_0^{π}{sin(x)cos^4(x)}dx$

Dejar, $t=cos(x)dx; dt=-sinxdx$

Como, x=0, t=1; x=π, t=-1

Por eso,

$2I=π\int\limits_{-1}^{+1}t^4dt = π[\frac{1}{5}+\frac{1}{5}]$

$I=\frac{π}{5}$

Pregunta 13. $\int\limits_0^{π}{xsin^3xdx}$

Solución:

Dejar, $I=\int\limits_0^{π} {(π-x)sin^3(π-x)dx}$

$=\int\limits_0^{π}πsin^3dx -\int\limits_0^{π}xsin^3dx$

$\therefore I=\int\limits_0^ππsin^3dx - I$

$2I=π\int\limits_0^π\frac{3sinx-sin3x}{4}dx$

$2I=\frac{π}{4}\int\limits_0^π(3sinx-sin3x)dx$

$I=2π/3$

Pregunta 14. $\int\limits_0^{π} {xlogsinx}dx$

Solución:

tenemos, $\int\limits_0^{π} {xlogsinx}dx$

= $\int\limits_0^{π} {(π-x)logsin(π-x)}dx$

$I=π\int\limits_0^π logsin(x)dx-\int\limits_0^π xlogsinxdx$

$2I=π\int\limits_0^π log sinx dx$

Como f(x) = f(-x), f(x) es una función par.

$\therefore 2I=2π\int\limits_0^\frac{π}{2} log sinx dx$

$I=π\int\limits_0^\frac{π}{2} log sinx dx$ ————– 1

$I=π\int\limits_0^\frac{π}{2} log sin(\frac{π}{2}-x) dx =π\int\limits_0^\frac{π}{2} log cosx dx$

$I=π\int\limits_0^\frac{π}{2} log cosx dx$ —————- 2

Sumando 1 y 2 —————-

$2I=π\int\limits_0^\frac{π}{2} log sinx dx +π\int\limits_0^\frac{π}{2} log cosxdx$

$2I=π\int\limits_0^\frac{π}{2} log sinx dx +π\int\limits_0^\frac{π}{2} log cosxdx$

$2I=π\int\limits_0^\frac{π}{2} log (sinx +cosx) dx = π\int\limits_0^\frac{π}{2} log sinx cosx dx$

$2I=π\int\limits_0^\frac{π}{2} log \frac{2sinxcosx}{2} dx =π\int\limits_0^\frac{π}{2} log \frac{sin2x}{2} dx =π\int\limits_0^\frac{π}{2} log sin2x dx +π\int\limits_0^\frac{π}{2} log 2dx$

Ahora deja $I=\int\limits_0^\frac{π}{2} log sin2x dx$

Poniendo 2x=t, obtenemos

$2I=I-π\frac{π}{2}log2$

$I=- \frac{π^2}{2}log2$

Pregunta 15. $\int\limits_0^{π} \frac{xsinx}{1+sinx}dx$

Solución:

Dejar, $I=\int\limits_0^{π} \frac{xsinx}{1+sinx}dx$

$=\int\limits_0^{π} \frac{(π-x)sin(π-x)}{1+sin(π-x)}dx$

$I=\int\limits_0^π \frac{πsinx}{1+sinx}dx -\int\limits_0^π \frac{xsinx}{1+sinx}dx$

$I=\int\limits_0^π \frac{πsinx}{1+sinx}dx -I$

$2I=\int\limits_0^π \frac{πsinx}{1+sinx}dx$

$2I=π\int\limits_0^π \frac{sinx}{1+sinx}\frac{(1-sinx)}{(1-sinx)}dx$

$2I=π\int\limits_0^π \frac{sinx-sin^2x}{1+sin^2x}dx$

$2I=π\int\limits_0^π \frac{sinx-sin^2x}{cos^2x}dx$

$2I=π\int\limits_0^π {tanxsecx}{-tan^2x}dx$

$2I=π\int\limits_0^π [{tanxsecx}{-(sec^2x-1)}]dx$

$2I=π\int\limits_0^π [{tanxsecx}{-sec^2x+1)}]dx$

$I=\frac{π}{2}(π-2)$

Pregunta 16. $\int\limits_0^{π} \frac{x}{1+cos\alpha sinx}dx, 0<\alpha <π$

Solución:

Tenemos , I=\int\limits_0^{π} \frac{x}{1+cos\alpha sinx}dx ———- 1

$I=\int\limits_0^{π} \frac{(π-x)}{1+cos\alpha sin(π-x)}dx$ [Tex]=\int\limits_0^{π} \frac{(π-x)}{1+cos\alpha sinx}dx [/Tex]——- 2

Sumando 1 y 2 —-

$2I=\int\limits_0^{π} \frac{(π)}{1+cos\alpha sin(π-x)}dx$

sustituyendo s $sinx= \frac{2tan\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}$

$2I = π\int\limits_0^π \frac{sec^2xdx}{1+tan^2\frac{x}{2} 2cos\alpha tan\frac{x}{2}}$

$2I = π\int\limits_0^π \frac{sec^2xdx} {1-cos^2\alpha+ (cos\alpha tan\frac{x}{2})^2}$

$tan\frac{x}{2} = t; \frac{1}{2} sec^2 \frac{x}{2}dx=dt$

cuando x=0, t=0; x=π, $t=\alpha$

$2I = \int\limits_0^\alpha \frac{dt.dx} {(1+cos^2\alpha)+ (cos\alpha+t )^2}$

$I =\frac{\alphaπ}{sin\alpha}$

Pregunta 17. $\int\limits_0^{π} xcos^2xdx$

Solución:

Dejar, $I=\int\limits_0^{π} xcos^2xdx$

$I=\int\limits_0^{π}(π-x)cos^2(π-x)dx$

$I=\int\limits_0^{π} cos^2(x)dx - \int\limits_0^{π}x cos^2(x)dx$

$2I=π \int\limits_0^{π} cos^2(x)dx$

$=π\int\limits_0^π(\frac{1+cos2x}{2})dx$

$=\frac{π}2\int\limits_0^π(1+cos2x)dx$

$I=\frac{π^2}{4}$

Pregunta 18. $\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{1}{1+cot^{3/2}x}dx$

Solución:

$I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{1}{1+cot^{3/2}x}dx$

$I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{sin^{3/2}(\frac{π}{2}-x)} {sin^{3/2}(\frac{π}{2}-x)+cos^{3/2}(\frac{π}{2}-x)}dx$

$I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{cos^{3/2}x} {cos^{3/2}x+sin^{3/2}x}dx$

$2I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{sin^{3/2}x} {sin^{3/2}x+cos^{3/2}x}dx+\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{cos^{3/2}x} {cos^{3/2}x+sin^{3/2}x}dx$

$2I=\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{cos^{3/2}x+sin^{3/2}x} {cos^{3/2}x+sin^{3/2}x}dx$

$I=\frac{π}{12}$

Pregunta 19. $\int\limits_{0}^{π/2} \frac{tan^7x}{tan^7x+cot^7x}dx$

Solución:

$I=\int\limits_{0}^{π/2} \frac{tan^7x}{tan^7x+cot^7x}dx$

$I=\int\limits_{0}^{π/2} \frac{tan^7(\frac{π}{2}-x)}{tan^7(\frac{π}{2}-x)+cot^7(\frac{π}{2}-x)}dx$

$I=\int\limits_{0}^{π/2} \frac{cot^7x}{tan^7x+cot^7x}dx$

$2I=\int\limits_{0}^{π/2} \frac{cot^7x}{tan^7x+cot^7x}dx+\int\limits_{0}^{π/2} \frac{tan^7x}{tan^7x+cot^7x}dx$

$2I=\int\limits_{0}^{π/2} dx$

$2I=\frac{π}{2}$

$I=\frac{π}{4}$

Pregunta 20. $\int\limits_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x} +\sqrt{10-x}}dx$

Solución:

$I=\int\limits_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x} +\sqrt{10-x}}dx$

$I=\int\limits_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-(8+2-x)}} {\sqrt{(8+2-x)} +\sqrt{10-(8+2-x)}}dx$

$I=\int\limits_{2}^{8} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} +\sqrt{10-x}}dx$

$2I=\int\limits_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x} +\sqrt{10-x}}dx+ \int\limits_{2}^{8} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} +\sqrt{10-x}}dx$

$2I=\int\limits_{2}^{8} dx$

$2I=6$

$I=3$

Pregunta 21. $\int\limits_{0}^{π} {xsinxcos^2x}dx$

Solución:

$\int\limits_{0}^{π} {xsinxcos^2x}dx =\int\limits_{0}^{π} {(π-x)sin(π-x)cos^2(π-x)}dx$

$=\int\limits_{0}^{π} {(π-x)sinxcos^2x}dx$

$2\int\limits_{0}^{π} {xsinxcos^2x}dx= \int\limits_{0}^{π} {πsinxcos^2x}dx$

$2\int\limits_{0}^{π} {xsinxcos^2x}dx= \int\limits_{0}^{π} {πsinxcos^2x}dx$

$\int\limits_{0}^{π} {xsinxcos^2x}dx =\frac{π}{2} \int\limits_{0}^{π}sinxcos^2xdx$

Ahora,

$\int\limits_{0}^{π} sinxcos^2xdx$

Sea cosx=t

senx dx=-dt

$-\int\limits_{1}^{-1} t^2dt$

$\int\limits_{1}^{-1} t^2dt$

$\int\limits_{0}^{π} {xsinxcos^2x}dx =\frac{π}{3}$ [Tex]I= \frac{π }{8}[\fracπ 4+\fracπ 4] dt[/Tex]

Pregunta 22. $\int\limits_{0}^{π/2} \frac{xsinxcosx}{sin^4x+cos^4x}dx$

Solución:

$I=\int\limits_{0}^{π/2} \frac{xsinxcosx}{sin^4x+cos^4x}dx$ —————— 1

$\int\limits_{0}^{π/2} \frac{(\frac{π}{2}-x)sinxcosx}{sin^4x+cos^4x}dx$ ———— 2

Sumando 1 y 2 ————-

$2I= \frac{π }{2} \int\limits_0^{π/2} \frac{sinxcosx}{cos^4x+sin^4x}dx$

$2I= \frac{π }{4} \int\limits_0^{π/2} \frac{2sinxcosx}{cos^4x+sin^4x}dx$

Dejar , $t=sin^2x$

$2I= \frac{π }{4} \int\limits_0^1 \frac{1}{(1-t^2)+t^2}dt$

$2I= \frac{π }{8} \int\limits_0^1 \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^2+\frac12^2}dt$

$I=\frac{π^2}{16}$

Pregunta 23. $\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^3xdx$

Solución:

Dejar, $I=\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^3xdx$

$f(-x)=\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^3(-x)dx$

$=\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^3xdx$

Aquí, f(x)=-f(x)

Por lo tanto, f(x) es una función impar

Pregunta 24. $\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^4xdx$

Solución:

Tenemos, $I=\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^4xdx = 2\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^4xdx \because sin^4x$ es una función par.

$=2 \int\limits_{0}^{π/2} (sin^2x)^2dx$

$=2\int\limits_{0}^{π/2}( \frac{1-cos2x}{2})^2 dx$

$=\frac12 \int\limits_{0}^{π/2} ({1-cos2x})^2 dx$

$=\frac12[ \int\limits_{0}^{π/2}( {1+cos^22x}-2cos2x) ]dx$

$=\frac12[ \int\limits_{0}^{π/2} ( {1-2cos2x}+\frac{1+cos4x}{2}) ]dx$

$=\frac14[ \int\limits_{0}^{π/2}( {3-4cos2x}+cos4x) ]dx$

$\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^4xdx=\frac{3π }{8}$

Pregunta 25. $\int\limits_{-1}^{1} log(\frac{2-x}{2+x})dx$

Solución:

tenemos, $I=\int\limits_{-1}^{1} log(\frac{2-x}{2+x})dx$

Ya que, $\int\limits_{-1}^{1} log(\frac{2-(-x)}{2+(-x)})dx= \int\limits_{-1}^{1} log(\frac{2-x}{2+x})dx$

$\therefore$ esta es una funcion impar

$I=0$

Pregunta 26. $\int\limits_{-π/4}^{π/4} sin^2xdx$

Solución:

tenemos, $I=\int\limits_{-π/4}^{π/4} sin^2xdx$

sen ² x es función par

Por eso,

$I=2\int\limits_{0}^{π/4} sin^2xdx =2\int\limits_{0}^{π/4} \frac{1-cos2x}{2}dx$

$\therefore \int\limits_{-π/4}^{π/4} sin^2xdx =\fracπ 4-\frac12$

Pregunta 27. $\int\limits_{0}^{π} log(1-cosx)dx$

Solución:

$I=\int\limits_{0}^{π} log(1-cosx)dx$

$=\int\limits_{0}^{π} log(2sin^2\frac x 2)dx$

$=\int\limits_{0}^{π} log(2)dx +\int\limits_{0}^{π} log(sin^2\frac x 2)dx$

$=\int\limits_{0}^{π} log(2)dx +2\int\limits_{0}^{π} log(sin\frac x 2)dx$

$I=πlog2+4I1$

Pregunta 28. $\int\limits_{-π/4}^{π/4} log(\frac {2-sinx}{2+sinx})dx$

Solución:

tenemos , $I=\int\limits_{-π/4}^{π/4} log(\frac {2-sinx}{2+sinx})dx$

Dejar, $f(x)=log(\frac{2-sinx}{2+sinx})dx$

Después,

$f(-x)=log (\frac{2-sin(-x)}{2+sin(-x)})= -log(\frac{2-sinx}{2+sinx})=-f(x)$

$\therefore \int\limits_{-π /4}^{π /4} log(\frac{2-sinx}{2+sinx})dx=0$

Pregunta 29. $\int\limits_{-π}^{π} \frac{2x(1+sinx)}{1+cos^2x}dx$

Solución:

$I=\int\limits_{-π}^{π} \frac{2x(1+sinx)}{1+cos^2x}dx$

$I=\int\limits_{-π}^{π} \frac{2x}{1+cos^2x}dx +\int\limits_{-π}^{π} \frac{2xsinx}{1+cos^2x}dx$

$I=0+\int\limits_{-π}^{π} \frac{2xsinx}{1+cos^2x}dx$

$I=2\int\limits_0^π\frac{2xsinx}{1+cos^2x}dx$

$I=4\int\limits_0^π \frac{xsinx}{1+cos^2}dx$

$I=2π\int\limits_0^π \frac{sinx}{1+cos^2x}$

Poner cosx = t entonces -senx dx = dt

$I=-2π\int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{1+t^2}dt$

$I=π^2$

Pregunta 30. $\int\limits_{-a}^{a} log(\frac{a-sin\theta}{a+sin\theta})d\theta ,a>0$

Solución:

$I=\int\limits_{-a}^{a} log(\frac{a-sin\theta}{a+sin\theta})d\theta$

Dejar $f(\theta)= log(\frac{a-sin\theta}{a+sin\theta})$

$f(-\theta)= log(\frac{a-sin(-\theta)}{a+sin(-\theta)}) =-log(\frac{a-sin\theta}{a+sin\theta})=-f(\theta)$

$\therefore f(\theta)= log(\frac{a-sin\theta}{a+sin\theta})$ es una función impar

$\therefore \int\limits_{-a}^a log (\frac{a-sin\theta}{a+sin\theta}) d\theta =0$

Pregunta 31. $\int\limits_{-2}^{2} \frac{3x^3+2| x |+1}{x^2+| x |+1}dx$

Solución:

$I=\int\limits_{-2}^{2} \frac{3x^3+2| x |+1}{x^2+| x |+1}dx$

$I=\int\limits_{-2}^{2} \frac{3x^3}{x^2+| x |+1}dx +\int\limits_{-2}^{2} \frac{2| x |+1}{x^2+| x |+1}dx$

$I=0 +\int\limits_{-2}^{2} \frac{2| x |+1}{x^2+| x |+1}dx$

$I=2\int\limits_{-2}^{2} \frac{2| x |+1}{x^2+| x |+1}dx$

$I=2[log(4+2+1)-log(1)]$

$I=2log(7)$

Pregunta 32. $\int\limits_{-3π/2}^{-π/2} sin^2(3π+x)+(π+x)^3)dx$

Solución:

$I=\int\limits_{-3π/2}^{-π/2} sin^2(3π+x)+(π+x)^3)dx$

Sustituye π+x=u luego dx=du

$I=\int\limits_{-3π/2}^{-π/2} sin^2(2π+u)+(u)^3)du$

$I=\int\limits_{-3π/2}^{-π/2} sin^2(u)+(u)^3)dx$

$I=\frac{π}{2}$

Pregunta 33. $\int\limits_{0}^{2} x\sqrt{2-x} dx$

Solución:

Dejar, $I=\int\limits_{0}^{2} x\sqrt{2-x} dx$

$I=\int\limits_{0}^{2} ({2-x})\sqrt x dx$

$=\frac43 (2)^{\frac32} - \frac25x^{\frac52}$

$= \frac{4*2\sqrt 2}{3} - \frac{2}{5}*4\sqrt 2$

$=\frac{8 \sqrt 2}{3} - \frac{8\sqrt 2}{5}$

$=\frac{40\sqrt 2 - 24\sqrt 2} {15}$

$=\frac{16\sqrt 2}{15}$

Pregunta 34. $\int\limits_{0}^{1} log(\frac{1}{x}-1)dx$

Solución:

$I=\int\limits_{0}^{1} log(\frac{1}{x}-1)dx$

$=\int\limits_{0}^{1} log(\frac{1-x}{x})dx$

$=\int\limits_{0}^{1} log(1-x)dx - \int\limits_{0}^{1} log(x)dx$

Aplicando la propiedad, $\int\limits_0^a f(x)dx=\int\limits_0^a f(a-x)dx$

De este modo, $I=\int\limits_0^1 log(1-(1-x))dx-\int\limits_0^1 log(x)dx$

$=\int\limits_0^1 log(1-1+x)dx -\int\limits_0^1log(x)dx$ –

$=0$

Pregunta 35. $\int\limits_{-1}^{1} | xcosπx |dx$

Solución:

$I= \int\limits_{-1}^{1} | xcosπx |dx$

Dejar, $f(x)=| xcosπx |dx$

$f(-x)=|- xcos(-πx) |=|- xcos(πx) |=| xcosπx |=f(x)$

$\therefore \int\limits_{-1}^{1} | xcosπx |dx=2\int\limits_{-1}^{1}| xcosπx |dx$

$f(x) = | xcosπx |dx= \{xcosπx, if 0\leq x\leq \frac12 ;-xcosπx, if \frac12< x< 1$

$\therefore I=2\int\limits_0^1 | xcosπx |dx$

$I= \frac{2}{π}$

Pregunta 36. $\int\limits_{0}^{π} (\frac{x}{1+sin^2x}+cos^7x) dx$

Solución:

$I=\int\limits_{0}^{π} (\frac{π-x}{1+sin^2(π-x)}+cos^7(π-x) dx$

$I=\int\limits_{0}^{π} (\frac{π-x}{1+sin^2x}-cos^7x) dx$

$2I=\int\limits_{0}^{π} (\frac{π}{1+sin^2x}) dx$

$2I=π\int\limits_{0}^{π} (\frac{1}{1+sin^2x}) dx$

$2I=π\int\limits_{0}^{π} (\frac{1}{1+tan^2x})sec^2x dx$

$I=π\int\limits_{0}^{π/2} (\frac{1}{1+2tan^2x})sec^2x dx$ [Tex][\porque \int\limits_0^{2a} f(x)dx= 2\int\limits_0^{a} f(x)dx, f(2a-x)=f(x)][/Tex ]

sea tanx = v

dv = seg ² xdx

$I=π\int\limits_0^\infty \frac{1}{1+2v^2} dv$

$I=\frac{π^2}{2\sqrt2}$

Pregunta 37. $\int\limits_{0}^{π} (\frac{x}{1+cos\alpha sinx}) dx$

Solución:

$I=\int\limits_{0}^{π} (\frac{x}{1+cos\alpha sinx}) dx$

$I=\int\limits_{0}^{π} (\frac{(π-x)}{1+cos\alpha sin(π-x)}) dx$

$I=\int\limits_{0}^{π} (\frac{π-x}{1+cos\alpha sinx}) dx$

$2I=π\int\limits_{0}^{π} (\frac{1}{1+cos\alpha sinx}) dx$

$2I=π\int\limits_{0}^{π} (\frac{1+tan^2(\frac{x}2)} {( 1+tan^2(\frac{x}2))+2cos\alpha tan\frac{x}{2}}) dx$

$2I=π\int\limits_{0}^{π} (\frac{sec^2(\frac{x}2)} {( tan^2(\frac{x}2))+2cos\alpha tan\frac{x}{2}+1}) dx$

$I=\frac{π}2\int\limits_{0}^{π} (\frac{sec^2(\frac{x}2)} {( tan^2(\frac{x}2))+2cos\alpha tan\frac{x}{2}+1}) dx$

Pon $tan(\frac{x}2)=t$ entonces $sec^2(\frac{x}2)dx=2dt$

x=0 ⇒ t=0 y x=π ⇒ $t=\infty$

$I=\frac{π}{2} \int\limits_0^\infty \frac{2}{t^2+2tcos\alpha +1} dt$

$I={π} \int\limits_0^\infty \frac{1}{(t+cos\alpha)^2+(1-cos^2\alpha)} dt$

$I={π} \int\limits_0^\infty \frac{1}{(t+cos\alpha)^2+(sin^2\alpha)} dt$

$I=\frac{π\alpha}{sin\alpha}$

Pregunta 38. $\int\limits_{0}^{2π} (sin^{100}xcos^{101}x) dx$

Solución:

sabemos, $\int\limits_{0}^{2a} f(x)= \int\limits_{0}^{a}f(x)+\int\limits_{0}^{a}f(2a-x)dx$

También aquí,

f(x) = f(2π -x)

Asi que, $I=\int\limits_{0}^{2π} (sin^{100}xcos^{101}x) dx =2\int\limits_{0}^{2π} (sin^{100}xcos^{101}x) dx$

$I=2\int\limits_{0}^{2π} (sin^{100}(π -x)cos^{101}(π -x)) dx$

$I=-2\int\limits_0^π sin^{100}x cos^{101}xdx$

$2I=0$

$I=0$

Pregunta 39. $\int\limits_{0}^{π/2} \frac{(asinx+bcosx)}{sinx+cosx} dx$

Solución:

$I=\int\limits_{0}^{π/2} \frac{(asinx+bcosx)}{sinx+cosx} dx$

después,

$\int\limits_{0}^{π/2} \frac{(asin(\frac{π}2-x)+bcos(\frac{π}2-x))} {sin(\frac{π}2-x)+cos(\frac{π}2-x)} dx$

$I=\int\limits_{0}^{π/2} \frac{(acosx+bsinx)}{sinx+cosx} dx$

$2I=\int\limits_{0}^{π/2} \frac{(asinx+bcosx)}{sinx+cosx} dx+\int\limits_{0}^{π/2} \frac{(acosx+bsinx)}{sinx+cosx} dx$

$2I=(a+b)\int\limits_{0}^{π/2} \frac{(sinx+cosx)}{sinx+cosx} dx$

$I=\frac{(a+b)}{2}\int\limits_{0}^{π/2} 1 dx$

$I=\frac{(a+b)π}{4}$

Pregunta 40. Si f es una función integrable tal que f(2a-x)=f(x), entonces prueba que $\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx= 2\int\limits_{0}^{a} f(x)dx$

Solución:

Tenemos , $I=\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx$

Después,

$I=\int\limits_{0}^{a} f(x)dx +I(1)$

Sea , 2a-t =x entonces dx=-dt

si t=a ⇒x=a

si t=2a ⇒ x=0

$I(1)=\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx= \int\limits_{a}^{0} f(2a-t)(-dt) =-\int\limits_{a}^{0} f(2a-t)dt$

$I(1)=\int\limits_{0}^{a}f(2a-t)dt= \int\limits_{0}^{a}f(2a-x)dx$

$\therefore I=\int\limits_{0}^{a}f(x)dx +\int\limits_{0}^{a}f(2a-x)dx$

$I=\int\limits_{0}^{a}f(x)dx +\int\limits_{0}^{a}f(x)dx$ [Tex]=2\int\limits_{0}^{a}f(x)dx[/Tex]

Por lo tanto Probado.

Pregunta 41. Si $f(2a-x)=-f(x)$ , prueba que $\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx =0$

Solución:

Tenemos, $I=\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx = \int\limits_{0}^{2a} f(x)dx+\int\limits_{a}^{2a} f(x)dx$

$I=\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx+I(1)$

Sea 2a-t=x entonces dx=-dt

t=a, x=a; t=2a, x=0

$I(1) = \int\limits_0^{2a}f(x)dx=\int\limits_a^0f(2a-t)(-dt)$

$= \int\limits_a^0 f(2a-t)dt$

$I(1)=\int\limits_0^{2a}f(2a-t)dt=\int\limits_0^{2a}f(2a-x)dx$

$I=\int\limits_0^a f(x)dx + \int\limits_0^a f(2a-x)dx$

$I=\int\limits_0^a f(x)dx - \int\limits_0^a f(x)$

$I=0$

Pregunta 42. Si f es una función integrable, demuestre que

(i) $\int\limits_{-a}^{a} f(x^2)dx= 2\int\limits_{0}^{a} f(x^2)dx$

Solución:

tenemos , $I=\int\limits_{-a}^{a} f(x^2)dx$

claramente f(x ² ) es una función par.

Asi que, $\int\limits_{-a}^{a} f(t)= 2\int\limits_{0}^{a} f(t)dx$

$I=2\int\limits_{0}^{a} f(x^2)dx$

(ii) $\int\limits_{-a}^{a}x f(x^2)dx=0$

Solución:

$I=\int\limits_{-a}^{a}x f(x^2)dx$

claramente, xf(x ² ) es una función impar.

Asi que, $I=0$

$\therefore \int\limits_{-a}^{a}x f(x^2)dx=0$

Pregunta 43. Si f(x) es una función continua definida en [0,2a] . Entonces, prueba que

$\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx =\int\limits_{0}^{a} {f(x)+f(2a-x)}dx$

Solución:

Tenemos de LHS,

$I=\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx =\int\limits_{0}^{a} f(x)dx+ \int\limits_{a}^{2a}f(x)dx$

$\therefore \int\limits_0^{2a}f(x)dx= - \int\limits_a^{0}f(2a-t)dt$

$\int\limits_0^{2a}f(x)dx= \int\limits_0^{a}f(2a-x)dx$

$\int\limits_0^{2a}f(x)dx= \int\limits_0^{a}f(2a-x)dx$

sustituyendo $\int\limits_0^{2a}f(x)dx= \int\limits_0^{a}f(2a-x)dx$

obtenemos,

$\int\limits_0^{2a}f(x)dx= \int\limits_0^{a}f(x)dx+ \int\limits_0^{a}f(2a-x)dx$

$\int\limits_0^{2a}f(x)dx= \int\limits_0^{a}\{f(x)+f(2a-x)\}dx$

Pregunta 44. Si f(a+bx) = f(x), entonces prueba que

$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx= (\frac{a+b}{2})\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$

Solución:

$I=\int\limits_{a}^b xf(x)dx$

$I=\int\limits_{a}^{b}(a+b-x) f(a+b-x)dx$

$I=\int\limits_a^bf(x)dx$ ——————[ Dado que f(a+bx) = f(x) ]

$I=\int\limits_a^b (a+b) f(x)dx-\int\limits_a^b xf(x)dx$

$I=\int\limits_a^b (a+b)f(x)dx - I$

$2I=\int\limits_a^b (a+b)f(x)dx$

$I=\frac{a+b}{2}\int\limits_a^bf(x)dx$

Pregunta 45. Si f(x) es una función continua definida en [-a,a], entonces demuestre que

$\int\limits_{-a}^{a} f(x)dx = \int\limits_{0}^{a} f(x)+f(-x)dx$

Solución:

tenemos , $I=\int\limits_{-a}^{a} f(x)dx = \int\limits_{-a}^{0} f(x)+ \int\limits_{0}^{a}f(-x)dx$

Sea, x=-t, luego dx=-dt

x=-a ⇒ t=a

x=0 ⇒ t=0

$\therefore \int\limits_{-a}^a f(x)dx= \int\limits_{-a}^0f(-t)(-dt) =\int\limits_{-a}^0-f(-t)dt$

$\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{0}^a f(-t)(dt)$

$\int\limits_{-a}^0 f(x)dx=\int\limits_{0}^a f(-x)dx$

$\therefore \int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{0}^a f(-x)dx +\int\limits_{0}^a f(x)dx$

$\int\limits_{-a}^a f(x)dx = \int\limits_{0}^a \{f(-x)+f(x)\}dx$

Por lo tanto, Probado.

Pregunta 46. Demuestre que: $\int\limits_{0}^{π} xf(sinx)dx = \frac{π}{2} \int\limits_{0}^{π}f(sinx)dx$

Solución:

$I= \int\limits_{0}^{π} xf(sinx)dx$

$I=\int\limits_{0}^{π}(π- x)f(sin(π-x))dx$

$I=\int\limits_0^π (π -x) f(sinx)dx$

$2I=\int\limits_0^π π f(sinx)dx$

$I=\fracπ2 \int\limits_0^π f(sinx)dx$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ranshu1601 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Evaluar de cada una de las siguientes integrales (1-46):

Pregunta 1.

Pregunta 2. ,

Pregunta 3. ,

Pregunta 4.

Pregunta 5.

Pregunta 6.

Pregunta 7.

pregunta 8

Pregunta 9.

Pregunta 10.

Pregunta 11.

Pregunta 12.

Pregunta 13.

Pregunta 14.

Pregunta 15.

Pregunta 16.

Pregunta 17.

Pregunta 18.

Pregunta 19.

Pregunta 20.

Pregunta 21.

Pregunta 22.

Pregunta 23.

Pregunta 24.

Pregunta 25.

Pregunta 26.

Pregunta 27.

Pregunta 28.

Pregunta 29.

Pregunta 30.

Pregunta 31.

Pregunta 32.

Pregunta 33.

Pregunta 34.

Pregunta 35.

Pregunta 36.

Pregunta 37.

Pregunta 38.

Pregunta 39.

Pregunta 40. Si f es una función integrable tal que f(2a-x)=f(x), entonces prueba que

Pregunta 41. Si , prueba que

Pregunta 42. Si f es una función integrable, demuestre que

(i)

(ii)

Pregunta 43. Si f(x) es una función continua definida en [0,2a] . Entonces, prueba que

Pregunta 44. Si f(a+bx) = f(x), entonces prueba que

Pregunta 45. Si f(x) es una función continua definida en [-a,a], entonces demuestre que

Pregunta 46. Demuestre que:

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Pregunta 1. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+tanx}dx$

Pregunta 2. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+cotx}dx$ ,

Pregunta 3. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt{cotx}}{\sqrt{cotx}+\sqrt{tanx}}dx$ ,

Pregunta 4. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin^{3/2}x}{sin^{3/2}x+cos^{3/2}x}dx$

Pregunta 5. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{sin^nx}{sin^nx+cos^nx}dx$

Pregunta 6. $\int\limits_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{tanx}}dx$

Pregunta 7. $\int\limits_0^{a} \frac{1}{x+\sqrt{a^2-x^2}}dx$

pregunta 8 $\int\limits_0^{\infty} \frac{logx}{1+x^2}dx$

Pregunta 9. $\int\limits_0^{1} \frac{log(1+x)}{1+x^2}dx$

Pregunta 10. $\int\limits_0^{\infty} \frac{x}{(1+x)(1+x^2)}dx$

Pregunta 11. $\int\limits_0^{π} \frac{xtanx}{secx cosecx}dx$

Pregunta 12. $\int\limits_0^{π}{xsinxcos^4x}dx$

Pregunta 13. $\int\limits_0^{π}{xsin^3xdx}$

Pregunta 14. $\int\limits_0^{π} {xlogsinx}dx$

Pregunta 15. $\int\limits_0^{π} \frac{xsinx}{1+sinx}dx$

Pregunta 16. $\int\limits_0^{π} \frac{x}{1+cos\alpha sinx}dx, 0<\alpha <π$

Pregunta 17. $\int\limits_0^{π} xcos^2xdx$

Pregunta 18. $\int\limits_{π/6}^{π/3} \frac{1}{1+cot^{3/2}x}dx$

Pregunta 19. $\int\limits_{0}^{π/2} \frac{tan^7x}{tan^7x+cot^7x}dx$

Pregunta 20. $\int\limits_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x} +\sqrt{10-x}}dx$

Pregunta 21. $\int\limits_{0}^{π} {xsinxcos^2x}dx$

Pregunta 22. $\int\limits_{0}^{π/2} \frac{xsinxcosx}{sin^4x+cos^4x}dx$

Pregunta 23. $\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^3xdx$

Pregunta 24. $\int\limits_{-π/2}^{π/2} sin^4xdx$

Pregunta 25. $\int\limits_{-1}^{1} log(\frac{2-x}{2+x})dx$

Pregunta 26. $\int\limits_{-π/4}^{π/4} sin^2xdx$

Pregunta 27. $\int\limits_{0}^{π} log(1-cosx)dx$

Pregunta 28. $\int\limits_{-π/4}^{π/4} log(\frac {2-sinx}{2+sinx})dx$

Pregunta 29. $\int\limits_{-π}^{π} \frac{2x(1+sinx)}{1+cos^2x}dx$

Pregunta 30. $\int\limits_{-a}^{a} log(\frac{a-sin\theta}{a+sin\theta})d\theta ,a>0$

Pregunta 31. $\int\limits_{-2}^{2} \frac{3x^3+2| x |+1}{x^2+| x |+1}dx$

Pregunta 32. $\int\limits_{-3π/2}^{-π/2} sin^2(3π+x)+(π+x)^3)dx$

Pregunta 33. $\int\limits_{0}^{2} x\sqrt{2-x} dx$

Pregunta 34. $\int\limits_{0}^{1} log(\frac{1}{x}-1)dx$

Pregunta 35. $\int\limits_{-1}^{1} | xcosπx |dx$

Pregunta 36. $\int\limits_{0}^{π} (\frac{x}{1+sin^2x}+cos^7x) dx$

Pregunta 37. $\int\limits_{0}^{π} (\frac{x}{1+cos\alpha sinx}) dx$

Pregunta 38. $\int\limits_{0}^{2π} (sin^{100}xcos^{101}x) dx$

Pregunta 39. $\int\limits_{0}^{π/2} \frac{(asinx+bcosx)}{sinx+cosx} dx$

Pregunta 40. Si f es una función integrable tal que f(2a-x)=f(x), entonces prueba que $\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx= 2\int\limits_{0}^{a} f(x)dx$

Pregunta 41. Si $f(2a-x)=-f(x)$ , prueba que $\int\limits_{0}^{2a} f(x)dx =0$

(i) $\int\limits_{-a}^{a} f(x^2)dx= 2\int\limits_{0}^{a} f(x^2)dx$

(ii) $\int\limits_{-a}^{a}x f(x^2)dx=0$

Pregunta 46. Demuestre que: $\int\limits_{0}^{π} xf(sinx)dx = \frac{π}{2} \int\limits_{0}^{π}f(sinx)dx$