Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Integrales definidas – Ejercicio 20.5

Evalúe las siguientes integrales definidas como límites de sumas:

Pregunta 12. $\int_{0}^{2}(x^2+4)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{2}(x^2+4)dx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a = 0, b = 2 y f(x) = x ² + 4.

=> h = 2/n

=> nh = 2

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(0)+f(h)+f(2h)+...+f((n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[4+(h^2+4)+((2h)^2+4)+...+(((n-1)h)^2+4)]$

= $\lim_{h\to0}h[4n+h^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)]$

= $\lim_{h\to0}h[4n+h^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)]$

= $\lim_{h\to0}h[4n+h^2(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

Ahora bien, si h −> 0, entonces n −> ∞. Entonces tenemos,

= $\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}[4n+\frac{4}{n^2}(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

= $\lim_{n\to\infty}[8+\frac{4n^3}{3n^3}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})]$

= 8 + $\frac{4(2)}{3}$

= 8 + $\frac{8}{3}$

= $\frac{32}{3}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{2}(x^2+4)dx$ como límite de la suma es $\frac{32}{3}$ .

Pregunta 13. $\int_{1}^{4}(x^2-x)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{1}^{4}(x^2-x)dx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a = 1, b = 4 y f(x) = x ² − x.

=> h = 3/n

=> nh = 3

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(1)+f(1+h)+f(1+2h)+...+f(1+(n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[(1^2-1)+[(1+h)^2-(1+h)]+[(1+2h)^2-(1+2h)]+...+[(1+(n-1)h)^2-(1+(n-1)h)]]$

= $\lim_{h\to0}h[0+[h+h^2]+[2h+(2h)^2]+...+[(n-1)h+((n-1)h)^2]]$

= $\lim_{h\to0}h[h(1+2+3+...+(n-1))+h^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)]$

= $\lim_{h\to0}h[h(\frac{n(n-1)}{2})+h^2(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

Ahora bien, si h −> 0, entonces n −> ∞. Entonces tenemos,

= $\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}[\frac{3}{n}(\frac{n(n-1)}{2})+\frac{9}{n^2}(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

= $\lim_{n\to\infty}[\frac{9n^2}{2n^2}(1-\frac{1}{n})+\frac{3n^3}{2n^3}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})]$

= $\frac{9}{2}+3$

= $\frac{15}{2}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{1}^{4}(x^2-x)dx$ como límite de la suma es $\frac{15}{2}$ .

Pregunta 14. $\int_{0}^{1}(3x^2+5x)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{1}(3x^2+5x)dx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a = 0, b = 1 y f(x) = 3x ² + 5x.

=> h = 1/n

=> nh = 1

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(0)+f(h)+f(2h)+...+f((n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[0+[3h^2+5h]+[3(2h)^2+5(2h)]+...+[3((n-1)h)^2+5((n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[3h^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)+5h(1+2+3+...+(n-1))]$

= $\lim_{h\to0}h[3h^2(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})+5h(\frac{n(n-1)}{2})]$

Ahora bien, si h −> 0, entonces n −> ∞. Entonces tenemos,

= $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}[\frac{3}{n^2}(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})+\frac{5}{n}(\frac{n(n-1)}{2})]$

= $\lim_{n\to\infty}[\frac{n^3}{2n^3}(1-\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n})+\frac{5n^2}{2n^2}(1-\frac{1}{n})]$

= 1 + $\frac{5}{2}$

= $\frac{7}{2}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{1}(3x^2+5x)dx$ como límite de la suma es $\frac{7}{2}$ .

Pregunta 15. $\int_{0}^{2}e^xdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{2}e^xdx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a = 0, b = 2 y f(x) = e ^x .

=> h = 2/n

=> nh = 2

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(0)+f(h)+f(2h)+...+f((n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[1+e^h+e^{2h}+...+e^{(n-1)h}]$

= $\lim_{h\to0}h[\frac{(e^h)^n-1}{e^h-1}]$

= $\lim_{h\to0}h[\frac{e^{nh}-1}{e^h-1}]$

= $\lim_{h\to0}h[\frac{e^{2}-1}{e^h-1}]$

= $\lim_{h\to0}\left(\frac{e^{2}-1}{\frac{e^h-1}{h}}\right)$

= mi ² − 1

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{2}e^xdx$ como límite de la suma es e ² − 1.

Pregunta 16. $\int_{a}^{b}e^xdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{a}^{b}e^xdx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a = a, b = b y f(x) = e ^x .

=> h = $\frac{b-a}{n}$

=> nh = segundo − un

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[e^a+e^{a+h}+e^{a+2h}+...+e^{a+(n-1)h}]$

= $\lim_{h\to0}he^a[1+e^{h}+e^{2h}+...+e^{(n-1)h}]$

= $\lim_{h\to0}he^a[\frac{(e^h)^n-1}{e^h-1}]$

= $\lim_{h\to0}he^a[\frac{e^{nh}-1}{e^h-1}]$

= $\lim_{h\to0}he^a[\frac{e^{b-a}-1}{e^h-1}]$

= $\lim_{h\to0}e^a\left(\frac{e^{b-a}-1}{\frac{e^h-1}{h}}\right)$

= e ^a (e ^b-a −1)

= mi ^segundo – mi ^un

Por lo tanto, el valor de $\int_{a}^{b}e^xdx$ como límite de la suma es e ^b − e ^a .

Pregunta 17. $\int_{a}^{b}cosxdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{a}^{b}cosxdx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a = a, b = b y f(x) = cos x.

=> h = $\frac{b-a}{n}$

=> nh = segundo − un

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[cosa+cos(a+h)+cos(a+2h)+...+cos(a+(n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h\left[\frac{cos(a+(n-1)\frac{h}{2})sin\frac{nh}{2}}{sin\frac{h}{2}}\right]$

= $\lim_{h\to0}h\left[\frac{cos(a+\frac{nh}{2}-\frac{h}{2})sin\frac{nh}{2}}{sin\frac{h}{2}}\right]$

= $\lim_{h\to0}h\left[\frac{cos(a+\frac{b-a}{2}-\frac{h}{2})sin\frac{b-a}{2}}{sin\frac{h}{2}}\right]$

= $\lim_{h\to0}\left[\frac{\frac{h}{2}}{sin\frac{h}{2}}×2cos(a+\frac{b-a}{2}-\frac{h}{2})(sin\frac{b-a}{2})\right]$

= $\lim_{h\to0}\left[2cos(a+\frac{b-a}{2})sin(\frac{b-a}{2})\right]$

= $2cos(\frac{a+b}{2})sin(\frac{b-a}{2})$

= sen b − sen a

Por tanto, el valor de $\int_{a}^{b}cosxdx$ como límite de la suma es sen b − sen a.

Pregunta 18. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinxdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinxdx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a = 0, b = $\frac{\pi}{2}$ y f(x) = sen x.

=> h = $\frac{\pi}{2n}$

=> no = $\frac{2}{\pi}$

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(0)+f(h)+f(2h)+...+f((n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[sin0+sinh+sin2h+...+sin(n-1)h]$

= $\lim_{h\to0}h\frac{sin(\frac{(n-1)h}{2})sin(\frac{nh}{2})}{sin\frac{h}{2}}$

= $\lim_{h\to0}h\frac{sin(\frac{nh}{2}-\frac{h}{2})sin(\frac{nh}{2})}{sin\frac{h}{2}}$

= $\lim_{h\to0}h\frac{sin(\frac{\pi}{4}-\frac{h}{2})sin(\frac{\pi}{4})}{sin\frac{h}{2}}$

= $2(\frac{1}{2})$

= 1

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinxdx$ como límite de la suma es 1.

Pregunta 19. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a = 0, b = $\frac{\pi}{2}$ y f(x) = cos x.

=> h = $\frac{\pi}{2n}$

=> no = $\frac{2}{\pi}$

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(0)+f(h)+f(2h)+...+f((n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[cos0+cosh+cos2h+...+cos(n-1)h]$

= $\lim_{h\to0}h[\frac{cos(\frac{nh}{2}-\frac{h}{2})cos\frac{nh}{2}}{cos\frac{h}{2}}]$

= $\lim_{h\to0}h[\frac{cos(\frac{\pi}{4}-\frac{h}{2})cos\frac{\pi}{4}}{cos\frac{h}{2}}]$

= $2(\frac{1}{2})$

= 1

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx$ como límite de la suma es 1.

Pregunta 20. $\int_{1}^{4}(3x^2+2x)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{1}^{4}(3x^2+2x)dx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a =1, b = 4 y f(x) = 3x ² + 2x.

=> h = 3/n

=> nh = 3

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(0)+f(1+h)+f(1+2h)+...+f(1+(n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[(3+2)+[3(1+h)^2+2(1+h)]+[3(1+2h)^2+2(1+2h)]+...+[3(1+(n-1)h)^2+2(1+(n-1)h)]]$

= $\lim_{h\to0}h[5n+8h(1+2+3...+(n-1))+3h^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)]$

= $\lim_{h\to0}h[5n+8h(\frac{n(n-1)}{2})+3h^2(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

Ahora bien, si h −> 0, entonces n −> ∞. Entonces tenemos,

= $\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}[5n+\frac{24}{n}(\frac{n(n-1)}{2})+\frac{27}{n^2}(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

= $\lim_{n\to\infty}[15+\frac{36n^2}{n^2}(1-\frac{1}{n})+\frac{27n^3}{2n^3}(1-\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n})]$

= 15 + 36 + 27

= 78

Por lo tanto, el valor de $\int_{1}^{4}(3x^2+2x)dx$ como límite de la suma es 78.

Pregunta 21. $\int_{0}^{2}(3x^2-2)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{2}(3x^2-2)dx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a =0, b = 2 y f(x) = 3x ² − 2.

=> h = 2/n

=> nh = 2

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(0)+f(h)+f(2h)+...+f((n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[-2+[3h^2-2]+[3(2h)^2-2]+...+[3((n-1)h)^2-2]]$

= $\lim_{h\to0}h[-2n+3h^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)]$

= $\lim_{h\to0}h[-2n+3h^2(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

Ahora bien, si h −> 0, entonces n −> ∞. Entonces tenemos,

= $\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}[-2n+\frac{12}{n^2}(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

= $\lim_{n\to\infty}[-4+\frac{4n^3}{n^3}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})]$

= −4 + 8

= 4

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{2}(3x^2-2)dx$ como límite de la suma es 4.

Pregunta 22. $\int_{0}^{2}(x^2+2)dx$

Solución:

Tenemos,

yo = $\int_{0}^{2}(x^2+2)dx$

Sabemos,

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h\to0}h[f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)]$ , donde h = $\frac{b-a}{n}$

Aquí a =0, b = 2 y f(x) = x ² + 2.

=> h = 2/n

=> nh = 2

Entonces, obtenemos,

yo = $\lim_{h\to0}h[f(0)+f(h)+f(2h)+...+f((n-1)h)]$

= $\lim_{h\to0}h[2+(h^2+2)+[((2h)^2+2)]+...+[((n-1)h)^2+2]]$

= $\lim_{h\to0}h[2n+h^2(1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)]$

= $\lim_{h\to0}h[2n+h^2(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

Ahora bien, si h −> 0, entonces n −> ∞. Entonces tenemos,

= $\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}[2+\frac{4}{n^2}(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6})]$

= $\lim_{n\to\infty}[4+\frac{4n^3}{n^3}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})]$

= 4 + $\frac{4(2)}{3}$

= 4 + $\frac{8}{3}$

= $\frac{20}{3}$

Por lo tanto, el valor de $\int_{0}^{2}(x^2+2)dx$ como límite de la suma es $\frac{20}{3}$ .