Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.1

Determine el orden y el grado de la siguiente ecuación diferencial. Indique también si es lineal o no lineal (Pregunta 1-13)

Pregunta 1. $\frac{d^3x}{dt^3}+\frac{d^2x}{dt^2}+(\frac{dx}{dt})^2=e^t$

Solución:

Tenemos,

$\frac{d^3x}{dt^3}+\frac{d^2x}{dt^2}+(\frac{dx}{dt})^2=e^t$

Orden de función:

El orden más alto de la derivada de la función es 3, es decir, $( \frac{d^3x}{dt^3})$

Entonces, el orden de la derivada es igual a 3.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 1 (es decir, la potencia de $\frac{d^3x}{dt^3}$ es 1)

Entonces, el grado de función es 1.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

Pregunta 2. $\frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$

Solución:

Tenemos,

$\frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$

Orden de función:

Como el orden más alto de la derivada de la función es 2. (es decir, $\frac{d^2y}{dx^2}$ )

Entonces, el orden de la función es igual a 2.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 1 (es decir, la potencia de $\frac{d^2y}{dx^2}$ es 1)

Entonces, el grado de la función es igual a 1.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada es lineal.

Pregunta 3. $(\frac{dy}{dx})^2+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})}=2$

Solución :

Tenemos,

$(\frac{dy}{dx})^2+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})}=2$

$(\frac{dy}{dx})^3+1=2(\frac{dy}{dx})$

$(\frac{dy}{dx})^3-2(\frac{dy}{dx})+1=0$

Orden de función:

Como el orden más alto de la derivada de la función es 1 (es decir, $\frac{dy}{dx}$ )

Entonces, el orden de la función es igual a 1.

Grado de función

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 3 (es decir, la potencia de dy/dx es 3)

Entonces, el grado de la función es igual a 3.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

Pregunta 4. $\sqrt{[1+(\frac{dy}{dx})^2]} =(c\frac{d^2y}{dx^2})^\frac{1}{3}$

Solución :

Tenemos,

$\sqrt{[1+(\frac{dy}{dx})^2]} =(c\frac{d^2y}{dx^2})^\frac{1}{3}$

Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos

$[1+(\frac{dy}{dx})^2] =(c\frac{d^2y}{dx^2})^\frac{2}{3}$

Al elevar al cubo ambos lados, obtenemos

$1+3(\frac{dy}{dx})^2+3(\frac{dy}{dx})^4+(\frac{dy}{dx})^6=c^2(\frac{d^2y}{dx^2})^2$

$c^2(\frac{d^2y}{dx^2})^2-1-3(\frac{dy}{dx})^2-3(\frac{dy}{dx})^4-(\frac{dy}{dx})^6=0$

Orden de función:

Como el orden más alto de la derivada de la función es 2 (es decir, $\frac{d^2y}{dx^2})$

Entonces, el orden de la función es igual a 2.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 2. (es decir, la potencia de $(\frac{d^2y}{dx^2})$ es 2)

Entonces, el grado de la función es igual a 2.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

Pregunta 5. $\frac{d^2y}{dx^2}+(\frac{dy}{dx})^2+xy=0$

Solución:

Tenemos,

$\frac{d^2y}{dx^2}+(\frac{dy}{dx})^2+xy=0$

Orden de función:

Como el orden más alto de la derivada de la función es 2

Entonces, el orden de la función es igual a 2.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 1 (es decir, la potencia de $\frac{d^2y}{dx^2}$ es 1)

Entonces, el Grado de la función es igual a 1.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

Pregunta 6. $3\sqrt{\frac{d^2y}{dx^2}}= \sqrt\frac{dy}{dx}$

Solución :

Tenemos,

$3\sqrt{\frac{d^2y}{dx^2}}= \sqrt\frac{dy}{dx}$

Al elevar al cubo ambos lados, obtenemos

${\frac{d^2y}{dx^2}}=(\frac{dy}{dx})^\frac{3}{2}$

Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos

$({\frac{d^2y}{dx^2}})^2=(\frac{dy}{dx})^3$

Orden de función:

Como el orden más alto de la derivada de la función es 2 (es decir, $\frac{d^2y}{dx^2}$ )

Entonces, el Orden de la función es igual a 2.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 2 (es decir, la potencia de $\frac{d^2y}{dx^2}$ es 2)

Entonces, el grado de la función es igual a 2.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

Pregunta 7. $\frac{d^4y}{dx^4}=[c+(\frac{dx}{dy})^2]^\frac{3}{2}$

Solución :

Tenemos,

$\frac{d^4y}{dx^3}=[c+(\frac{dy}{dx})^2]^\frac{3}{2}$

Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos

$(\frac{d^4y}{dx^4})^2=[c+(\frac{dy}{dx})^2]^3$

$(\frac{d^4y}{dx^4})^2=[c^3+(\frac{dy}{dx})^6+3c(\frac{dy}{dx})^2+3c^2(\frac{dy}{dx})]$

$(\frac{d^4y}{dx^4})^2-(\frac{dy}{dx})^6-3c(\frac{dy}{dx})^2-3c^2(\frac{dy}{dx})-c^3=0$

Orden de función:

El orden más alto de la derivada de la función es 4 (es decir, $\frac{d^4y}{dx^4}$ )

Entonces, el orden de la derivada es igual a 4.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 2 (es decir, la potencia de $\frac{d^4y}{dx^4}$ es 2)

Entonces, el grado de función es 2.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

Pregunta 8: $x+\frac{dy}{dx}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}$

Solución:

Tenemos,

$x+\frac{dy}{dx}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}$

Al elevar al cuadrado ambos lados, tenemos

$(x+\frac{dy}{dx})^2={1+(\frac{dy}{dx})^2}$

$x^2+2x\frac{dy}{dx}+(\frac{dy}{dx})^2=1+(\frac{dy}{dx})^2$

$2x\frac{dy}{dx}+x^2-1=0$

$\frac{dy}{dx}+\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}=0$

Orden de función:

Como el orden más alto de la derivada de la función es 1.

Entonces, el Orden de la función es igual a 1.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 1.

Entonces, el grado de la función es igual a 1.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada es lineal.

Pregunta 9: $y\frac{d^2x}{dy^2}=y^2+1$

Solución:

Tenemos,

$y\frac{d^2x}{dy^2}=y^2+1$

$\frac{d^2x}{dy^2}-y-\frac{1}{y}=0$

Orden de función:

Como el orden más alto de la derivada de la función es 2 (es decir, $\frac{d^2x}{dy^2}$ )

Entonces, el orden de la derivada es igual a 2.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 1 (es decir, la potencia de $\frac{d^2x}{dy^2}$ es 1)

Entonces, el Grado de la función es igual a 1.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada es lineal.

Pregunta 10: $s^2\frac{d^2t}{ds^2}+st\frac{dt}{ds}=s$

Solución :

Tenemos,

$s^2\frac{d^2t}{ds^2}+st\frac{dt}{ds}=s$

Orden de función:

Como el mayor orden de derivada de la función es 2.

Entonces, el Orden de la función es igual a 2.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 1 (es decir, la potencia de $\frac{d^2t}{ds^2}$ es 1)

Entonces, el Grado de la función es igual a 1.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

Pregunta 11: $x^2(\frac{d^2y}{dx^2})^3+y(\frac{dy}{dx})^4+y^4=0$

Solución:

Tenemos,

$x^2(\frac{d^2y}{dx^2})^3+y(\frac{dy}{dx})^4+y^4=0$

Orden de función:

Como el mayor orden de derivada de la función es 2

Entonces, el Orden de la función es igual a 2.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 3. (es decir, la potencia de $\frac{d^2y}{dx^2}$ es 3)

Entonces, el grado de la función es igual a 3.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

Pregunta 12: $\frac{d^3y}{dx^3}+(\frac{d^2y}{dx^2})^3+(\frac{dy}{dx})+4y=siny$

Solución:

Tenemos,

$\frac{d^3y}{dx^3}+(\frac{d^2y}{dx^2})^3+(\frac{dy}{dx})+4y=siny$

Orden de función:

Como el mayor orden de derivada de la función es 3

Entonces, el Orden de la función es igual a 3.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 1. (es decir, la potencia de $\frac{d^3y}{dx^3}$ es 1)

Entonces, el Grado de la función es igual a 1.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

Pregunta 13: $(xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0$

Solución :

Tenemos,

$(y-x^2y)\frac{dy}{dx}+x(y^2+1)=0$

$(xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0$

$(y-x^2y)\frac{dy}{dx}+xy^2+x=0$

Orden de función:

Como el mayor orden de derivada de la función es 1

Entonces, el Orden de la función es igual a 1.

Grado de función:

Como la potencia de la derivada de mayor orden de la función es 1. (es decir, la potencia de dy/dx es 1)

Entonces, el Orden de la función es igual a 1.

Lineal o no lineal:

La ecuación dada no es lineal.

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Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.1 | Serie 1

Determine el orden y el grado de la siguiente ecuación diferencial. Indique también si es lineal o no lineal (Pregunta 1-13)

Pregunta 1. $\frac{d^3x}{dt^3}+\frac{d^2x}{dt^2}+(\frac{dx}{dt})^2=e^t$

Pregunta 2. $\frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$

Pregunta 3. $(\frac{dy}{dx})^2+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})}=2$

Pregunta 4. $\sqrt{[1+(\frac{dy}{dx})^2]} =(c\frac{d^2y}{dx^2})^\frac{1}{3}$

Pregunta 5. $\frac{d^2y}{dx^2}+(\frac{dy}{dx})^2+xy=0$

Pregunta 6. $3\sqrt{\frac{d^2y}{dx^2}}= \sqrt\frac{dy}{dx}$

Pregunta 7. $\frac{d^4y}{dx^4}=[c+(\frac{dx}{dy})^2]^\frac{3}{2}$

Pregunta 8: $x+\frac{dy}{dx}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}$

Pregunta 9: $y\frac{d^2x}{dy^2}=y^2+1$

Pregunta 10: $s^2\frac{d^2t}{ds^2}+st\frac{dt}{ds}=s$

Pregunta 11: $x^2(\frac{d^2y}{dx^2})^3+y(\frac{dy}{dx})^4+y^4=0$

Pregunta 12: $\frac{d^3y}{dx^3}+(\frac{d^2y}{dx^2})^3+(\frac{dy}{dx})+4y=siny$

Pregunta 13: $(xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0$

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