Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.11

Pregunta 12. Los experimentos muestran que el radio se desintegra en una proporción proporcional a la cantidad de radio presente en ese momento. Su vida media es de 1590 años. ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año?

Solución:

Consideremos

la cantidad original de radio = P ₀

y la cantidad de radio en un momento particular ‘t’ = P

Tenemos,

dP/dt ∝ P

(dP/dt) = -kP (Donde k es constante proporcional)

(dP/P) = -kdt

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫(dP/P) = -∫kdt

Registro|P| = -kt + c …(i)

En t = 0, P = P ₀

Registro|P ₀ | = 0 + c

c = registro|P ₀ |

Registro|P| = -kt + Log|P ₀ |

Registro|P/P ₀ | = -kt …(ii)

Según la pregunta,

En t = 1590, P = (P ₀ /2)

Registro|P ₀ /2P ₀ | = -1590t

-Registro|2| = -1590k

k = Registro(2)/1590

Registro|P/P ₀ | = -[Log(2)/1590] × t

|P/P ₀ | = $e^{-\frac{Log|2|}{1590}t}$

Encuentre el radio después de 1 año.

|P/P ₀ | = $e^{-\frac{Log|2|}{1590}}$

PAG = 0.9996 × PAG ₀

Porcentaje de desaparecidos en 1 año,

= [(P ₀ – P)/P ₀ ] × 100

= [(1 – 0,9996)/1] × 100

= 0,04%

Pregunta 13. La pendiente de la tangente en un punto P(x, y) de una curva es -(x/y). Si la curva pasa por el punto (3, -4), encuentre la curva.

Solución:

La pendiente en un punto viene dada por = (dy/dx)

Según la pregunta,

(dy/dx) = -(x/y)

ydy = -xdx

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫ydy = -∫xdx

(y ² /2) = -(x ² /2) + c …(i)

La curva está pasando por (3, -4)

16/2 = -(9/2) + c

c = 25/2

Al poner el valor de c en la ecuación (i),

(y2 / ² ) = -(x2 / ² ) + 25/2

x ² + y ² = (5) ²

x2 + ^y2⁼ 25

Pregunta 14. Encuentra la ecuación de la maldición que pasa por el punto (2, 2) y satisface la ecuación diferencial y – x(dy/dx) = y ² + (dy/dx)

Solución:

Tenemos,

y – x(dy/dx) = y ² + (dy/dx)

(dy/dx)(x + 1) = y(1 – y)

[dy/y(1 – y)] = dx/(x + 1)

Al integrar ambos lados, obtenemos

$∫\frac{dy}{y(1-y)}=∫\frac{dx}{x+1}$

∫[1/y + 1/(1 – y)]dy = ∫dx/(x + 1)

Log|y| – Registro|1 – y| = Registro|x + 1| + c…(yo)

En x = 2, y = 2

Registro|2| – Registro|1 – 2| = Registro|3| +c

Registro|2/3| = do

Al poner el valor de c en la ecuación (i)

Log|y/(1 – y)| = Registro|x + 1| + Registro|2/3|

Log|y/(1 – y)| = Registro|2(x + 1)/3|

|y/(1 – y)| = |2(x + 1)/3|

y/(1 – y) = ±(2x + 2)/3

y/(1 – y) = (2x + 2)/3 o -(2x + 2)/3

El punto (2, 2) no satisface y/(1 – y) = (2x + 2)/3

Satisface la ecuación y/(1 – y) = -(2x + 2)/3

Asi que,

y/(1 – y) = -(2x + 2)/3

3y = -(2x + 2)(1 – y)

3y = -2x + 2xy – 2 + 2y

2xy – 2x – y – 2 = 0

Pregunta 15. Encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, π/4) y la tangente en cualquier punto que hace un ángel tan ^-1 (y/x – cos ² y/x) con el eje x.

Solución:

La pendiente de la curva viene dada por, (dy/dx) = tanθ

Tenemos,

(dy/dx) = tan{tan ^-1 (y/x – cos ² y/x)}

(dy/dx) = (y/x – cos ² y/x) …(i)

Sea y = vx

Al diferenciar ambos lados tenemos,

(dy/dx) = v + x(dv/dx)

v + x(dv/dx) = v – cos ² v

x(dv/dx) = -cos ² v

seg ² vdv = -(dx/x)

Al integrar ambos lados, obtenemos

∫seg ² vdv = -∫(dx/x)

tanv = -log|x| +c

tan(y/x) = -log|x| + c…(yo)

La curva pasa por (1, π/4)

Asi que,

tan(π/4) = -log|1| +c

c = 1

Al poner el valor de c en la ecuación (i)

tan(y/x) = -log|x| + 1

tan(y/x) = -log|x| + logo

tan(y/x) = log|e/x|

Pregunta 16. Encuentra la curva para la cual el corte de intersección por una tangente en el eje x es igual a cuatro veces la ordenada del punto de contacto.

Solución:

Consideremos el punto de contacto de la tangente = P(x, y) y la curva es y = f(x).

Entonces, la ecuación de la tangente de la curva está dada por,

Y – y = (dy/dx)(X – x)

Donde (X, Y) es un punto arbitrario en la tangente.

Poniendo Y = 0, obtenemos

0 – y = (dy/dx)(X – x)

(X -x) = -y(dx/dy)

X = x – y(dx/dy)

Tenemos,

Según la pregunta,

x – y(dx/dy) = 4y

y(dx/dy) + 4y = x

(dx/dy) + 4 = x/y

(dx/dy) – (x/y) = -4

La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dx/dy) + Px = Q

Donde, P = -1/año, Q = -4

Entonces, SI = e ^∫Pdy

= e ^∫-dy/y

= e ^-log|y|

= 1/año

La solución de una ecuación diferencial es,

x(SI) = ∫Q(SI)dy + log|c|

x(1/y) = ∫(-4).(1/y)dy + log|c|

(x/y) = -4∫dy/y + log|c|

(x/y) = -4log|y| + log|c|

(x/y) = log|c/y ⁴ |

e ^x/y = c/y ⁴

Pregunta 17. Demostrar que la ecuación de la curva pendiente entera en cualquier punto es igual a y + 2x y que pasa por el origen es y + 2(x + 1) = 2e ^2x .

Solución:

(dy/dx) = y + 2x

(dy/dx) – y = 2x …(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -1, Q = 2x

Entonces, SI = e ^∫Pdx

= e ^-∫dx

= e- ^x

La solución de la ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e ^-x ) = ∫(e ^-x ).(2x)dx + c

y(e ^-x ) = 2x∫e ^-x dx – 2∫{(dx/dx)∫e ^-x dx}dx

e ^-x .y = -2xe ^-x + 2∫e ^-x dx + c

e ^-x .y = -2xe ^-x – 2e ^-x + c …(ii)

Como la curva pasa por el origen (0, 0)

0×e ^-0 = -0 – 2e ^-0 + c

c = 2

Al poner el valor de c en la ecuación (ii)

e ^-x .y = -2xe ^-x – 2e ^-x + 2

y = -2(x + 1) + 2e ^x

y + 2(x + 1) = 2e ^x

Pregunta 18. La tangente en cualquier punto (x, y) de una curva forma un ángulo tan ^-1 (2x + 3y) con el eje x. Encuentra la ecuación de la curva si pasa por (1, 2).

Solución:

La pendiente de la curva está dada por,

(dy/dx) = tanθ

θ = tan ^-1 (2x + 3y)

(dy/dx) = tan[tan ^-1 (2x + 3y)]

(dy/dx) = 2x + 3y

(dy/dx) – 3y = 2x

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -3, Q = 2x

Entonces, SI = e ^∫Pdx

= e ^-3∫dx

= e ^-3x

La solución de la ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e ^-3x ) = ∫(e ^-3x ).(2x)dx + c

y(e ^-3x ) = 2x∫e ^-3x dx – 2∫{(dx/dx)∫e ^-3x dx}dx

ye ^-3x = -(2/3)xe ^-3x + (2/3)∫e ^-3x dx + c

ye ^-3x = -(2/3)xe ^-3x – (2/9)e ^-3x + c …(i)

Como la curva pasa por (1, 2)

2e ^-3 = -(2/3)e ^-3 – (2/9)e ^-3 + c

c = (26/9)e ^-3

Al poner el valor de c en la ecuación (i)

ye ^-3x = -(2/3)xe ^-3x – (2/9)e ^-3x + (26/9)e ^-3

Pregunta 19. Encuentra la ecuación de la curva tal que la porción del eje x cortada entre el origen y la tangente en un punto es el doble de la abscisa y que pasa por el punto (1, 2).

Solución:

Consideremos el punto de contacto de la tangente = P(x, y)

y la curva es y = f(x).

Entonces, la ecuación de la tangente de la curva está dada por,

Y – y = (dy/dx)(X – x)

Donde (X, Y) es un punto arbitrario en la tangente.

Poniendo Y = 0,

0 – y = (dy/dx)(X – x)

(X – x) = -y(dx/dy)

X = x – y(dx/dy)

Tenemos,

Según la pregunta,

La tangente en un punto es el doble de la abscisa (es decir, 2x)

x – y(dx/dy) = 2x

-x = y(dx/dy)

(dy/y) = -(dx/x)

Sobre la integración de ambos lados

∫(dy/y) = -∫(dx/x)

log|y| = -log|x| + log|c|

log|y| = registro|c/x|

y = c/x

xy = c …(yo)

La curva pasa por el punto (1, 2)

1 × 2 = c

c = 2

Al poner el valor de c en la ecuación (i)

xy = 2

Pregunta 20. Encuentra la ecuación de la curva que satisface x(x + 1)(dy/dx) – y = x(x + 1) y pasa por (1, 0).

Solución:

Tenemos,

x(x + 1)(dy/dx) – y = x(x + 1)

(dy/dx) – [y/x(x + 1)] = 1

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -1/x(x + 1), Q = 1

Entonces, SI = e ^∫Pdx

= e ^{-∫dx/x(x+1)}

$=e^{-∫(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx}$

$=e^{-log|x|+log|x+1|}$

$=e^{log|\frac{(x+1)}{x}|}$

= (x + 1)/x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y[(x + 1)/x] = ∫[(x + 1)/x]dx + c

y[(x + 1)/x] = ∫(1 + 1/x)dx

y[(x + 1)/x] = x + log|x| + c…(yo)

Como la línea pasa por (1, 0)

0 = 1 + 0 + c

c = -1

y[(x + 1)/x] = x + log|x| – 1

y(x + 1) = x(x + log|x| – 1)

Pregunta 21. Encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto (3, -4) y tiene la pendiente 2y/x en cualquier punto (x, y) sobre ella.

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = 2y/x

(dy/2y) = (dx/x)

Sobre la integración de ambos lados

∫(dy/2y) = ∫(dx/x)

(1/2)log|y| = registro|x|+registro|c| …(i)

Como la curva pasa por (3,-4)

(1/2)registro|-4| = registro|3| + log|c|

registro|2| – registro|3| = registro|c|

registro|c| = registro|2/3|

Al poner el valor de log|c| en la ecuación (i)

log|y| = 2log|x| + 2log|2/3|

log|y| = registro|4x ² /9|

y = 4x ² /9

9y – 4x ² = 0

Pregunta 22. Encuentra la ecuación de la curva la pendiente que pasa por el origen y tiene la pendiente x+3y-1 en cualquier punto de ella.

Solución:

La pendiente de una curva es (dy/dx)

Tenemos,

(dy/dx) = x + 3y – 1

(dy/dx) – 3y = (x – 1)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -3, Q = (x – 1)

Entonces, SI = e ^∫Pdx

= e ^-∫3dx

= e ^-3x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e ^-3x ) = ∫(x – 1)e ^-3x dx + c

y(e ^-3x ) = ∫xe ^-3x dx – ∫e ^-3x dx – ∫e ^-3x dx + c

y(e ^-3x ) = x∫e ^-3x dx – ∫{(dx/dx)∫e ^-3x dx + (e ^-3x /3) + c

y(e ^-3x ) = -(x/3)e ^-3x + ∫(e ^-3x /3) + (e ^-3x /3) + c

y(e ^-3x ) = -(x/3)e ^-3x – (e ^-3x /9) + (e ^-3x /3) + c

y = -(x/3)-(1/9) + (1/3) + ce ^3x

y = -(x/3) + 2/9 + ce ^3x

La curva pasa por el origen. x = 0 y y = 0

0 = 0 + 2/9 + ce ⁰

c = -2/9

y = -(x/3) + (2/9) – (2/9)e ^3x

y + x/3 = (2/9)(1 – e ^3x )

(3y + x) = (2/3)(1 – e ^3x )

3(3y + x) = 2(1 – e ^3x )

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.11 | conjunto 2

Pregunta 12. Los experimentos muestran que el radio se desintegra en una proporción proporcional a la cantidad de radio presente en ese momento. Su vida media es de 1590 años. ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año?

Pregunta 13. La pendiente de la tangente en un punto P(x, y) de una curva es -(x/y). Si la curva pasa por el punto (3, -4), encuentre la curva.

Pregunta 14. Encuentra la ecuación de la maldición que pasa por el punto (2, 2) y satisface la ecuación diferencial y – x(dy/dx) = y ² + (dy/dx)

Pregunta 15. Encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, π/4) y la tangente en cualquier punto que hace un ángel tan ^-1 (y/x – cos ² y/x) con el eje x.

Pregunta 16. Encuentra la curva para la cual el corte de intersección por una tangente en el eje x es igual a cuatro veces la ordenada del punto de contacto.

Pregunta 17. Demostrar que la ecuación de la curva pendiente entera en cualquier punto es igual a y + 2x y que pasa por el origen es y + 2(x + 1) = 2e ^2x .

Pregunta 18. La tangente en cualquier punto (x, y) de una curva forma un ángulo tan ^-1 (2x + 3y) con el eje x. Encuentra la ecuación de la curva si pasa por (1, 2).

Pregunta 19. Encuentra la ecuación de la curva tal que la porción del eje x cortada entre el origen y la tangente en un punto es el doble de la abscisa y que pasa por el punto (1, 2).

Pregunta 20. Encuentra la ecuación de la curva que satisface x(x + 1)(dy/dx) – y = x(x + 1) y pasa por (1, 0).

Pregunta 21. Encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto (3, -4) y tiene la pendiente 2y/x en cualquier punto (x, y) sobre ella.

Pregunta 22. Encuentra la ecuación de la curva la pendiente que pasa por el origen y tiene la pendiente x+3y-1 en cualquier punto de ella.

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Pregunta 12. Los experimentos muestran que el radio se desintegra en una proporción proporcional a la cantidad de radio presente en ese momento. Su vida media es de 1590 años. ¿Qué porcentaje desaparecerá en un año?

Pregunta 13. La pendiente de la tangente en un punto P(x, y) de una curva es -(x/y). Si la curva pasa por el punto (3, -4), encuentre la curva.

Pregunta 14. Encuentra la ecuación de la maldición que pasa por el punto (2, 2) y satisface la ecuación diferencial y – x(dy/dx) = y 2 + (dy/dx)

Pregunta 15. Encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, π/4) y la tangente en cualquier punto que hace un ángel tan -1 (y/x – cos 2 y/x) con el eje x.

Pregunta 16. Encuentra la curva para la cual el corte de intersección por una tangente en el eje x es igual a cuatro veces la ordenada del punto de contacto.

Pregunta 17. Demostrar que la ecuación de la curva pendiente entera en cualquier punto es igual a y + 2x y que pasa por el origen es y + 2(x + 1) = 2e 2x .

Pregunta 18. La tangente en cualquier punto (x, y) de una curva forma un ángulo tan -1 (2x + 3y) con el eje x. Encuentra la ecuación de la curva si pasa por (1, 2).

Pregunta 19. Encuentra la ecuación de la curva tal que la porción del eje x cortada entre el origen y la tangente en un punto es el doble de la abscisa y que pasa por el punto (1, 2).

Pregunta 20. Encuentra la ecuación de la curva que satisface x(x + 1)(dy/dx) – y = x(x + 1) y pasa por (1, 0).

Pregunta 21. Encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto (3, -4) y tiene la pendiente 2y/x en cualquier punto (x, y) sobre ella.

Pregunta 22. Encuentra la ecuación de la curva la pendiente que pasa por el origen y tiene la pendiente x+3y-1 en cualquier punto de ella.

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Pregunta 14. Encuentra la ecuación de la maldición que pasa por el punto (2, 2) y satisface la ecuación diferencial y – x(dy/dx) = y ² + (dy/dx)

Pregunta 15. Encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, π/4) y la tangente en cualquier punto que hace un ángel tan ^-1 (y/x – cos ² y/x) con el eje x.

Pregunta 17. Demostrar que la ecuación de la curva pendiente entera en cualquier punto es igual a y + 2x y que pasa por el origen es y + 2(x + 1) = 2e ^2x .

Pregunta 18. La tangente en cualquier punto (x, y) de una curva forma un ángulo tan ^-1 (2x + 3y) con el eje x. Encuentra la ecuación de la curva si pasa por (1, 2).