Pregunta 1. El área de la superficie de un globo que se está inflando cambia a una velocidad proporcional al tiempo t. Si inicialmente su radio es de 1 unidad y después de 3 segundos es de 2 unidades, encuentre el radio después del tiempo t.
Solución:
Consideremos radio = r
y el área de la superficie del globo en un momento particular ‘t’ = S
El área de la superficie está dada por,
S = 4πr 2 …..(1)
Tenemos,
(dS/dt)∝ t
(dS/dt) = kt (donde k es constante proporcional)
Al diferenciar la ecuación (1), obtenemos
d/dt(4πr 2 ) = kt
8πr(dr/dt) = kt
ktdt = 8πrdr
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫ktdt = ∫8πrdr
kt 2 /2 = 8π(r 2 /2) + c …..(2)
En t = 0, r = 1 unidad y en t = 3 seg, r = 2 unidades
0 = 4π + c
c = -4π
Y,
k(3) 2 /2 = 8π(2 2 /2) – 4π
(9/2)k = 12π
k = (8π/3)
Al poner los valores de k en la ecuación (2)
(8π/3)(t 2 /2) = 8π(r 2 /2) – 4π
4t 2 /3 = 4r 2 -4
r 2 = 1 + (t 2 /3)
Por lo tanto, el radio después del tiempo t =
Pregunta 2. Una población crece a razón del 5% anual. ¿Cuánto tiempo tarda en duplicarse la población?
Solución:
Consideremos la población inicial = P 0
y la población en un momento particular ‘t’ = P’
Tenemos,
dP/dt = 5%P
dP/dt = 5P/100
dP/P = 0,05 dt
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫(dP/P) = ∫0.05dt
Registro|P| = 0.05t + c
En t = 0, P = P 0
registro|P 0 | = do
Registro|P| = 0,05t + log|P 0 |
Registro|P/P 0 | = 0,05 t
Ahora encontramos que el tiempo en que la población se duplica,
P = 2P 0
Registro|2P 0 /P 0 | = 0,05 t
Registro|2| = 0,05 t
t = 20Log|2| años
Pregunta 3. La tasa de crecimiento de una población es proporcional al número de población actual de una ciudad que se duplicó en los últimos 25 años, y la población actual 100000, ¿cuándo tendrá la ciudad una población de 500000?
Solución:
Consideremos
La población inicial = P 0
la población en un momento particular ‘t’ = P
y el crecimiento de la población = g’
Tenemos,
dP/dt = gP
dP/P = gdt
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫(dP/P) = g∫dt
Registro|P| = gt + c
En t = 0, P = P 0
registro|P 0 | = do
Registro|P| = gt + log|P 0 |
Registro|P/P 0 | = gt
La población de la ciudad se duplica en 25 años.
En t = 25, P = 2P 0
Registro|2P 0 /P 0 | = 25g
g = registro|2|/25
g = 0,0277
Registro|P/P 0 | = 0.0277t
Para P = 500000 y P 0 = 100000
Registro|500000/100000| = 0.0277t
t = Log|5|/0.0277
t = 58,08 años
t = 58 años
Pregunta 4. En un cultivo, el recuento de bacterias es 100000. El número aumenta en un 10 % en 2 horas. ¿En cuántas horas el conteo llegará a 200000, si la tasa de crecimiento de bacterias es proporcional al número de presentes?
Solución:
Supongamos que el número de bacterias cuenta en un momento determinado ‘t’ = P
Tenemos,
dP/dt ∝ P
(dP/dt) = kP (donde k es constante proporcional)
(dP/P) = kdt
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫(dP/P) = ∫kdt
Registro|P| = kt + c
En t = 0, P = 100000
Registro|100000| = do
Registro|P| = kt + Log|100000|
Después de t = 2 horas, el número aumenta en un 10%.
Por lo tanto, P = 100000 + (100000)(5/100)
P = 110000
Registro|110000| = 2k + Registro|100000|
k = (1/2)Logaritmo|11/10|
Registro|P| = (t/2)Logaritmo|11/10| + Registro|100000| …(i)
Poniendo el valor de k en la ecuación (i)
Sea en t = TP = 200000
Registro|200000| = (T/2)Logaritmo|11/10| + Registro|100000|
Registro|2| = (T/2)Logaritmo|11/10|
Pregunta 5. Si el interés se capitaliza continuamente al 6% anual, ¿cuánto valdrán RS 1000 después de 10 años? ¿Cuánto tiempo llevará duplicar RS? 1000?
Solución:
Supongamos que la cantidad inicial = P 0
y la cantidad en un momento particular ‘t’ = P
dP/dt = 6%P
dP/dt = 6P/100
dP/P = 0,06 dt
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫(dP/P) = ∫0.06dt
Registro|P| = 0.06t + c
En t = 0, P = P 0
registro|P 0 | = do
Registro|P| = 0,06t + log|P 0 |
Registro|P/P 0 | = 0,06 t
En t = 10 años encuentre la cantidad
Registro|P/P 0 | = 0,06 × 10
Registro|P/P 0 | = 0,6
P/P 0 = e 0,6
P = P0 × 1,8221
P = 1000 × 1,8221
P = 1822
¿A qué hora la cantidad se duplica?
P = 2P 0
Registro|2P 0 /P 0 | = 0,06 t
Registro|2| = 0,06 t
t = 16,66 Log e |2|
t = 11,55 años
Pregunta 6. La tasa de aumento en el número de bacterias en un determinado cultivo de bacterias es proporcional al número presente. Dado que el número se triplica en 5 horas, encuentre cuántas bacterias estarán presentes después de 10 horas. Además, encuentre el tiempo necesario para que la cantidad de bacterias sea 10 veces mayor que la cantidad inicial presente.
Solución:
Consideremos
El recuento inicial de bacterias = P 0
el recuento de bacterias en un momento determinado ‘t’ = P
y el crecimiento de bacterias = g veces.
Tenemos,
dP/dt ∝ P
dP/dt = gP
dP/P = gdt
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫(dP/P) = g∫dt
Registro|P| = gt + c
En t = 0, P = P 0
registro|P 0 | = do
Registro|P| = gt + log|P 0 |
Registro|P/P 0 | = gt
En t = 5 horas, P = 3P 0
Registro|3P 0 /P 0 | = 5g
g = Log e |3|/5
g = 0,219722
Registro|P/P 0 | = 0.219722t
En t = 10 horas encuentre el número de bacterias.
Registro|P/P 0 | = 0,219722 × 10
|P/P 0 | = e 2.19722
|P/P 0 | = 9
P = 9P 0
En el tiempo ‘T’, un número de bacterias se multiplica por 10.
En t = T, P = 10P 0
Registro|10P 0 /P 0 | = Log e |3|/5T
Registro|10| = T(Logaritmo e |3|/5)
Pregunta 7. La población de una ciudad aumenta a un ritmo proporcional al número de habitantes presentes en cualquier momento t. Si la población de la ciudad era 200000 en 1990 y 250000 en 2000. ¿Cuál será la población en 2010?
Solución:
Consideremos
La población inicial = P 0
la población en un momento particular ‘t’ = P
y el crecimiento de la población = g veces.
Tenemos,
dP/dt ∝ P
dP/dt = gP
dP/P = gdt
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫(dP/P) = g∫dt
Registro|P| = gt + c …(i)
En t = 1990, P = 200000 y en t = 2000, P = 250000
Registro|200000| = 1990g + c …(ii)
Registro|250000| = 2000g + c …(iii)
Al restar la ecuación (iii) de (ii)
10g = Registro|250000/200000|
g = (1/10)Logaritmo|5/4|
Al poner el valor de ‘g’ en la ecuación (i)
Registro|200000| = 1990 × (1/10)Logaritmo|5/4| +c
c = Registro|200000| – 199 × Log|5/4|
Población en 2010,
Registro|P| = (1/10)Logaritmo|5/4| × 2010 + Registro|200000| – 199 × Log|5/4|
Registro|P| = 201Registro|5/4| – 199Registro|5/4| + Registro|200000|
Registro|P| = Registro|5/4| 201 – Registro|5/4| 199 + Registro|200000|
Registro|P| = Registro|(5/4) 201 (4/5) 199 | + registro|200000|
Registro|P| = Registro|5/4| 2 + registro|200000|
Registro|P| = Registro|(25/16)200000|
Registro|P| = Registro|312500|
P = 312500
Pregunta 8. Si el coste marginal de fabricar un determinado artículo está dado por C'(x) = (dC/dx) = 2 + 0,15x. Encuentre la función de costo total C(x), dado que C(0) = 100
Solución:
Tenemos,
CC/dx = 2 + 0,15x
CC = (2 + 0,15x)dx
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫dC = ∫(2 + 0.15x)dx
C(x) = 2x + (0.15/2)x 2 + c 1
En C(0) = 100, tenemos
100 = 2(0) + (0,15/2)(0) 2 + c 1
c 1 = 100
C(x) = 0.075x 2 + 2x + 100
Pregunta 9. Un banco paga intereses mediante capitalización continua, es decir, tratando la tasa de interés como la tasa de cambio instantáneo del principal. Suponga que en una cuenta se acumula un interés del 8% anual, con capitalización continua. Calcule el porcentaje de aumento en dicha cuenta durante un año.
Solución:
Consideremos
La población inicial = P 0
y la población en un momento particular ‘t’ = P
Tenemos,
dP/dt = (8/100)P
dP/dt = (2/25)P
dP/P = (2/25)dt
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫(dP/P) = (2/25)∫dt
Registro|P| = (2/25)t + c …(yo)
En t = 0, P = P 0
Registro|P 0 | = 0 + c
c = Registro|P 0 |
Al poner el valor de c en la ecuación (i)
Registro|P| = (2/25)t + Log|P 0 |
Registro|P/P 0 | = (2t/25)
Cantidad después de 1 año,
Registro|P/P 0 | = (2/25)
e (2/25) = |P/P 0 |
e 0.08 = |P/P 0 |
1.0833 = |P/P 0 |
P = 1.0833P 0
Incremento porcentual = [(P – P 0 )/P 0 ] × 100%
= [(1.0833P 0 – P 0 )/P 0 ] × 100%
= 0.0833 × 100%
= 8,33%
Pregunta 10. En un circuito simple de resistencia R, autoinductancia L y voltaje E, la corriente i en cualquier momento viene dada por L(di/dt) + Ri = E. Si E es constante e inicialmente no pasa corriente por el circuito, demuestre que i = (E/R){1 – e -(R/L)t }
Solución:
Tenemos,
L(di/dt) + Ri = E
(di/dt) + (R/L)i = E/L
La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma
(dy/dx) + Py = Q
Donde, P = (R/L), Q = E/L
Entonces, SI = e ∫Pdi
= e ∫(R/L)di
= e (D/I)t
La solución de una ecuación diferencial es,
i(SI) = ∫Q(SI)dt + c
e (R/L)t × i = (E/L)∫e (R/L)t dt + c
e (R/L)t × i = (E/L)(L/R)e (R/L)t + c
e (R/L)t × i = (E/R)e (R/L)t + c …(i)
En t = 0, i = 0
e 0 × 0 = (E/R) e 0 + c
c = -(E/R)
Al poner el valor de c en la ecuación (i)
e (R/L)t × i = (E/R)e (R/L)t – (E/R)
i = (E/R) – (E/R)e -(R/L)t
Pregunta 11. La tasa de decaimiento del radio en cualquier momento t es proporcional a su masa en ese momento. Encuentre el tiempo en que la masa se reducirá a la mitad de su masa inicial.
Solución:
Consideremos
radio inicial = R 0
y radio en un tiempo particular ‘t’ = R
Tenemos,
dR/dt ∝ R
dR/dt = -kR
dR/R = -kdt
Al integrar ambos lados, obtenemos
∫(dR/R) = -k∫dt
Registro|R| = -kt + c …(i)
En t = 0, R = R 0
Registro|R 0 | = 0 + c
c = Registro|R 0 |
Registro|R| = -kt + Log|R 0 |
kt = Log|R 0 /R|
En el tiempo ‘T’ la masa se convierte en R 0 /2
Registro|2| = kT
T = (1/k)Logaritmo|2|
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA